解不等式 |x² − 5x + 6| + |x − 4| ≥ −x² + 5x + 7。

Step-by-step solution

1. 1

   把絕對值裡的式子因式分解，找出所有斷點。 因為 $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$，這個式子在 $x=2$ 與 $x=3$ 變號；第二個絕對值則在 $x=4$ 變號。三個斷點把數線切成四個區間：

   $(-\infty,2),\quad [2,3),\quad [3,4),\quad [4,\infty)$

   在每一個區間上，兩個絕對值都會變成普通多項式，不等式也就成了二次不等式。

2. 2

   情況 $x<2$：括號內分別為正與為負。 這裡 $(x-2)(x-3)>0$ 而 $x-4<0$，所以左邊是 $x^2-5x+6-(x-4)=x^2-6x+10$。不等式變成

   $x^2-6x+10\ge -x^2+5x+7\ \Longrightarrow\ 2x^2-11x+3\ge 0$

   它的根是 $x=\dfrac{11\pm\sqrt{97}}{4}$，也就是約 $0.2878$ 與 $5.212$。開口向上的拋物線在兩根之外為非負，再與 $x<2$ 取交集，剩下

   $x\le\frac{11-\sqrt{97}}{4}$

3. 3

   情況 $2\le x<3$：裡面的二次式變號。 現在 $(x-2)(x-3)\le 0$，所以 $|x^2-5x+6|=-x^2+5x-6$，而 $|x-4|=4-x$ 不變。不等式變成

   $-x^2+4x-2\ge -x^2+5x+7$

   兩邊的 $-x^2$ 互相消掉，剩下一次的條件 $-9\ge x$。$[2,3)$ 裡沒有任何一點滿足 $x\le -9$，所以這個情況是空的。

4. 4

   情況 $3\le x<4$：二次式又變回正的。 這裡 $|x^2-5x+6|=x^2-5x+6$ 而 $|x-4|=4-x$，得到與情況 1 相同的不等式 $2x^2-11x+3\ge 0$，其解集是 $x\le 0.2878$ 或 $x\ge 5.212$。兩個區域都碰不到 $[3,4)$，所以這個情況也是空的。

5. 5

   情況 $x\ge 4$：兩個絕對值都直接展開為正。 現在 $|x-4|=x-4$，所以

   $x^2-4x+2\ge -x^2+5x+7\ \Longrightarrow\ 2x^2-9x-5\ge 0$

   這個式子分解得很漂亮：$2x^2-9x-5=(2x+1)(x-5)$，根是 $x=-\tfrac12$ 與 $x=5$。取兩根之外，再與 $x\ge 4$ 取交集，得到

   $x\ge 5$

6. 6

   把存活下來的情況取聯集並抽查。

   $\left(-\infty,\ \frac{11-\sqrt{97}}{4}\right]\cup[5,\infty)$

   第一個端點的數值是 $0.28779$。檢驗：在 $x=0$ 左邊是 $6+4=10$、右邊是 $7$，成立 ✓；在 $x=1$ 得到 $2+3=5$ 對上 $11$，不成立 ✓；在 $x=5$ 兩邊都等於 $7$，所以端點包含在內 ✓；在 $x=6$ 得到 $12+2=14$ 對上 $1$ ✓。