證明 x = 1 是 (2x² − 4x + 3)(x² − 2x + 2) = 1 的根，且此方程式沒有其他的根。

Step-by-step solution

1. 1

   用代入法驗證題目給的根。 在 $x=1$：

   $2(1)-4(1)+3=1,\qquad 1-2(1)+2=1$

   所以左式是 $1\cdot 1=1$ ✓。存在性到此解決；真正的工作是唯一性。

2. 2

   對第一個因式配方。 把每個因式由下方界住是關鍵想法，因為兩個各自至少是 $1$ 的量相乘，只有在兩者都恰好等於 $1$ 時乘積才會是 $1$：

   $2x^{2}-4x+3=2\left(x^{2}-2x\right)+3=2\left[(x-1)^{2}-1\right]+3=2(x-1)^{2}+1$

3. 3

   對第二個因式配方。

   $x^{2}-2x+2=(x-1)^{2}+1$

   現在兩個因式都明顯是「非負的平方再加上 $1$」的形式。

4. 4

   把每個因式界住。 對每個實數 $x$ 都有 $(x-1)^{2}\ge 0$，所以

   $2x^{2}-4x+3\ge 1\qquad\text{且}\qquad x^{2}-2x+2\ge 1$

   兩式的等號都只在 $x=1$ 時成立。

5. 5

   用乘積的論證作結。 兩個各自 $\ge 1$ 的數相乘，結果也 $\ge 1$，而乘積等於 $1$ 只發生在兩個因式都等於 $1$ 的時候。所以

   $\left[2(x-1)^{2}+1\right]\left[(x-1)^{2}+1\right]=1\ \Longleftrightarrow\ (x-1)^{2}=0\ \Longleftrightarrow\ x=1$

   $\boxed{x=1\text{ 是唯一的實根}}$

6. 6

   用展開做交叉檢查。 令 $u=(x-1)^{2}\ge 0$，方程式變成 $(2u+1)(u+1)=1$，即 $2u^{2}+3u=0$，即 $u(2u+3)=0$。根是 $u=0$ 與 $u=-\tfrac32$；後者對一個平方而言不可能，只剩下 $u=0$ 與 $x=1$ ✓ — 與代數推導得到同樣的結論。