解四次方程式 x⁴ − 10x³ + 18x² − 40x − 18 = 0，實根請寫到小數點後七位。

Step-by-step solution

1. 1

   先排除有理根。 由有理根定理，任何有理根都要整除 $-18$，所以候選值是 $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \pm9, \pm18$。每一個代進去都不是零——例如

   $f(9) = 6561 - 7290 + 1458 - 360 - 18 = 351 \ne 0, \qquad f(-1) = 1 + 10 + 18 + 40 - 18 = 51 \ne 0$

   所以在 $\mathbb{Q}$ 上沒有一次因式。特別是 $x = 9$ 不是根，雖然 $9 \mid 18$ 讓人很想試它。

2. 2

   再排除拆成兩個整係數二次式的可能。 寫成 $f(x) = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$ 會逼出

   $a+c=-10, \quad ac+b+d=18, \quad ad+bc=-40, \quad bd=-18$

   把 $-18$ 的每一組整數因數對 $(b,d)$ 和每個整數 $a$ 全部掃過，找不到解。要小心一組差一點就成的 $b=9, d=-2$：它滿足前兩條式子，此時 $ac = 11$、$a,c = -5 \pm \sqrt{14}$，但接著 $ad+bc = -35 - 11\sqrt{14} \approx -76.2 \ne -40$。四個條件都要檢查，不能只檢查三個。

3. 3

   用正負號表定出實根的位置。 在一串取樣點上計算 $f$：

   $f(-1) = 51, \quad f(0) = -18, \quad f(8) = -210, \quad f(9) = 351$

   正負號在 $(-1, 0)$ 與 $(8, 9)$ 上各變了一次，由勘根定理（中間值定理）可知這兩段裡各有一個實根。又因為 $f$ 在整個 $[0, 8]$ 上都是負的，所以實根恰好只有兩個。

4. 4

   用牛頓法把根算準。 取 $f'(x) = 4x^3 - 30x^2 + 36x - 40$，從兩個區間的中點出發疊代 $x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)$：

   $x \approx 8.4610649, \qquad x \approx -0.3736462$

   在 40 位有效數字的工作精度下，它們滿足 $|f(x)| < 10^{-36}$，所以上面列出的位數都是正確的。

5. 5

   交代剩下的兩個根。 把這對實根除掉之後，剩下的二次式判別式為負，給出一對共軛複數

   $x \approx 0.9562906 \pm 2.1861170\,i$

   於是實係數的二次因式分解是 $\left(x^2 - 8.0874187x - 3.1614449\right)\left(x^2 - 1.9125813x + 5.6935992\right)$，裡面沒有任何一個係數是有理數。

6. 6

   用根與係數關係驗算。 四個根的和必須是 $10$，乘積必須是 $-18$：

   $8.4610649 - 0.3736462 + 2(0.9562906) = 9.9999999 \ \checkmark$

   $(8.4610649)(-0.3736462)\left(0.9562906^2 + 2.1861170^2\right) = -18.0000 \ \checkmark$

   兩個等式都成立，等於獨立於牛頓法之外再交叉檢查了一次數值。