化簡 (a − 2b)² + 8ab。

Step-by-step solution

1. 1

   先把平方展開。 用 $(p-q)^2=p^2-2pq+q^2$，取 $p=a$、$q=2b$：

   $(a-2b)^2=a^2-2(a)(2b)+(2b)^2=a^2-4ab+4b^2$

2. 2

   加上外面那一項並合併同類項。 只有 $ab$ 的項會互動：

   $a^2-4ab+4b^2+8ab=a^2+4ab+4b^2$

   因為 $-4ab+8ab=4ab$。

3. 3

   認出結果是完全平方。 現在 $a^2$、$4b^2=(2b)^2$ 與中間項 $2\cdot a\cdot 2b=4ab$ 全都對上了和的平方的形式：

   $a^2+4ab+4b^2=(a+2b)^2$

4. 4

   看清背後的結構性理由。 $(a\pm 2b)^2$ 這兩個平方相差的正好是 $2\cdot 2\cdot(a)(2b)=8ab$：

   $(a+2b)^2-(a-2b)^2=8ab$

   所以在差的平方上加 $8ab$，必然會得到和的平方。這個恆等式就是本題背後的一般性事實。

5. 5

   數值檢查。 取 $a=3$、$b=1$：原式為 $(3-2)^2+24=1+24=25$，而 $(3+2)^2=25$ $\checkmark$。