解聯立方程式 1/x + 1/y = −1 與 3/x − 2/y = 7。

Step-by-step solution

1. 1

   把兩個倒數換成新的變數。 直接去分母會冒出 $xy$ 這種二次的交叉項。改成令

   $a = \frac{1}{x}, \qquad b = \frac{1}{y}$

   聯立方程式就變得完全是一次的：

   $a + b = -1, \qquad 3a - 2b = 7$

   原方程式要有意義，$x$ 與 $y$ 本來就都不能是零，所以這樣代換不會漏掉任何解。

2. 2

   消去一個未知數。 由第一式得 $a = -1 - b$。代進第二式：

   $3(-1 - b) - 2b = 7 \quad\Longrightarrow\quad -3 - 5b = 7 \quad\Longrightarrow\quad b = -2$

3. 3

   回代求 a。

   $a = -1 - (-2) = 1$

4. 4

   把代換換回去。 因為 $a = \tfrac1x = 1$ 得 $x = 1$，又因為 $b = \tfrac1y = -2$ 得

   $y = -\frac{1}{2}$

   兩個值都不是零，所以都合法。

5. 5

   代回原方程式檢查。 $\tfrac{1}{1} + \tfrac{1}{-1/2} = 1 - 2 = -1$，且 $\tfrac{3}{1} - \tfrac{2}{-1/2} = 3 + 4 = 7$。兩式都完全成立。