解 32log₃(x − 5) = 49，求 x。

Step-by-step solution

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   動手解之前先寫下定義域。 對數的真數必須嚴格為正，所以

   $x-5>0\qquad\Longrightarrow\qquad x>5$

   任何候選答案都必須過這一關；先把限制寫下來，最後的檢查才有意義，而不只是事後補上的形式。

2. 2

   把對數孤立出來。 兩邊同除以係數 $32$：

   $\log_3(x-5)=\frac{49}{32}$

   右邊保留成精確分數 $\tfrac{49}{32}=1.53125$，答案才會是精確的。

3. 3

   改寫成指數形式。 對數的定義等價關係是

   $\log_b(A)=c\iff A=b^{\,c}$

   這裡 $b=3$、$A=x-5$、$c=\tfrac{49}{32}$，所以

   $x-5=3^{49/32}$

4. 4

   解出 x。 兩邊同加 $5$：

   $x=5+3^{49/32}$

   這就是精確答案；沒辦法再化簡了，因為 $\tfrac{49}{32}$ 不是整數，而 $49$ 與 $32$ 都跟 $3$ 沒有公因數。

5. 5

   算出數值並確認定義域。 因為 $3^{49/32}=3^{1.53125}=5.37764$，

   $x=5+5.37764=10.37764$

   做個量級檢查：$3^{1.5}=\sqrt{27}\approx5.196$，而 $3^{1.53125}$ 應該略大一些——確實如此 ✓。而且 $x\approx10.378>5$，所以對數有定義，這個解是合格的。

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   代回去驗算。 取 $x=10.3776424$：$x-5=5.3776424$，而 $\log_3(5.3776424)=\dfrac{\ln 5.3776424}{\ln 3}=1.531250$，所以 $32\times1.53125=49.0000$ ✓。