解不等式 ax² + (1 − a)x − 1 < 0，其中 a 是實數參數，並討論所有情況。

Step-by-step solution

1. 1

   先分解——比用公式解乾淨得多。 試著寫成 $(x-1)(ax+1)$ 再展開：

   $(x-1)(ax+1)=ax^2+x-ax-1=ax^2+(1-a)x-1\ \checkmark$

   所以不等式是

   $(x-1)(ax+1)<0$

   因此兩根是 $x=1$ — 固定不動，與 $a$ 無關 — 以及 $a\neq0$ 時的 $x=-\tfrac1a$。

2. 2

   先處理退化情況 a = 0。 當 $a=0$ 時 $x^2$ 項消失，不等式變成一次的：

   $x-1<0\quad\Longrightarrow\quad x<1$

3. 3

   情況 a > 0：開口向上，兩根的大小順序固定。 因為 $a>0$，$-\tfrac1a<0<1$，所以會移動的那個根永遠在 $1$ 的左邊。開口向上的拋物線在兩根之間為負：

   $-\frac1a<x<1$

4. 4

   發現 a < 0 還得再細分——這裡是大多數解法出錯的地方。 當 $a<0$ 時 $-\tfrac1a$ 是正的，而它與 $1$ 的大小關係取決於 $a$ 的大小：

   $-1<a<0\ \Longrightarrow\ -\tfrac1a>1,\qquad a=-1\ \Longrightarrow\ -\tfrac1a=1,\qquad a<-1\ \Longrightarrow\ 0<-\tfrac1a<1$

   例如 $a=-\tfrac12$ 給出 $-\tfrac1a=2>1$，但 $a=-3$ 給出 $-\tfrac1a=\tfrac13<1$。宣稱對所有負的 $a$ 都有 $-\tfrac1a>1$，根本就是錯的。

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   情況 -1 < a < 0。 拋物線開口向下，兩根的順序是 $1<-\tfrac1a$。開口向下的拋物線在兩根之外為負：

   $x<1\qquad\text{或}\qquad x>-\frac1a$

6. 6

   情況 a < -1，以及邊界 a = -1。 當 $a<-1$，兩根的順序對調成 $-\tfrac1a<1$，所以「兩根之外」現在讀成

   $x<-\frac1a\qquad\text{或}\qquad x>1$

   恰好在 $a=-1$ 時兩根合而為一：$ax^2+(1-a)x-1=-x^2+2x-1=-(x-1)^2$，除了 $x=1$ 以外對每個 $x$ 都是負的，而在該點等於零。所以此時的解是 $x\neq1$，也就是 $\mathbb{R}\setminus\{1\}$。

7. 7

   用數值驗證整張情況表。 讓 $a$ 從 $-6$ 到 $6$ 以 $\tfrac14$ 為間隔取 $49$ 個值，對每個值在 $[-8,8]$ 上取 $8001$ 個精確有理數 $x$；上面這五種情況的描述，在每一點都與 $ax^2+(1-a)x-1$ 的實際符號相符——零個不一致 ✓。三種情況的版本立刻就會出錯，例如在 $a=-3$、$x=0.34$ 時它預測為負，實際值卻是 $+0.0132$。