求方程式 x^2 - 15 = (x + 15)^2 的根。

Step-by-step solution

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   把右邊展開。

   $(x+15)^2 = x^2 + 30x + 225$

   於是方程式成為 $x^2 - 15 = x^2 + 30x + 225$。

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   消去二次項。 兩邊各有剛好一個 $x^2$，所以同減 $x^2$ 就把它完全消掉：

   $-15 = 30x + 225$

   因此方程式是一次的，只有一個根——儘管兩邊都有平方，看起來像是會有兩個。

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   解出 x。

   $30x = -15 - 225 = -240 \quad\Longrightarrow\quad x = -8$

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   代回驗算。 左邊：$(-8)^2 - 15 = 64 - 15 = 49$。右邊：$(-8 + 15)^2 = 7^2 = 49$。兩邊都是 $49$。

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   用幾何觀點解讀。 這個方程式問的是：拋物線 $y = x^2$ 向下平移 $15$ 之後，與同一條拋物線向左平移 $15$ 之後，會在哪裡相交。兩條只差一個平移的全等拋物線恰好交於一點——這裡是 $(-8, 49)$——這就是只有一個根的結構性原因。