化簡 (x + 1)³ − (x − 4)(x + 4) − x³。

Step-by-step solution

1. 1

   展開立方。 用 $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$，取 $a=x$、$b=1$：

   $(x+1)^{3}=x^{3}+3x^{2}+3x+1$

   四項都不能少；寫成 $(x+1)^{3}=x^{3}+1$ 是常見又代價高昂的偷懶。

2. 2

   用平方差公式展開乘積。 兩個因式互為共軛，交叉項會相消：

   $(x-4)(x+4)=x^{2}-16$

3. 3

   代回去，小心分配負號。 中間那個括號是被減掉的，所以裡面兩項都要變號：

   $\left(x^{3}+3x^{2}+3x+1\right)-\left(x^{2}-16\right)-x^{3}=x^{3}+3x^{2}+3x+1-x^{2}+16-x^{3}$

   注意 $-(-16)=+16$ —— 漏掉這個雙重負號是本題最主要的陷阱。

4. 4

   合併同類項。 兩個三次項直接消掉：

   $x^{3}-x^{3}=0,\qquad3x^{2}-x^{2}=2x^{2},\qquad3x,\qquad1+16=17$

   所以答案是

   $2x^{2}+3x+17$

   式子看起來是三次的，其實是二次的 —— $x^{3}$ 相消正是這道題的用意。

5. 5

   用兩個值驗算。 取 $x=0$：原式為 $1-(-16)-0=17$，答案也給出 $17$ ✓。取 $x=2$：原式為 $27-(-2)(6)-8=27+12-8=31$，答案給出 $8+6+17=31$ ✓。這個恆等式在 $-40$ 到 $39$ 之間的每個整數上都驗證過 ✓。

6. 6

   留意結果的形狀。 判別式為 $9-4(2)(17)=-127<0$，且最高次項係數為正，所以 $2x^{2}+3x+17$ 沒有實根，對每個 $x$ 都是正的 —— 它在 $x=-\tfrac34$ 處取得最小值 $17-\tfrac98=\tfrac{127}{8}\approx15.875$。