求 (x³ + 6x² + 11x + 6) ÷ (x² + 4x + 3) 的商。

Step-by-step solution

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   動手之前先把商的次數預判出來。 次數是相減的：3 次的被除式除以 2 次的除式，商是 $3 - 2 = 1$ 次。所以答案必然是 $x + c$ 這種一次式，這一下就排除了「只是個常數」或「是個二次式」的選項。

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   第一輪：用除式的最高次項去除。 除式是二次的，所以要拿 $x^2$ 去除，而不是 $x$：

   $\frac{x^3}{x^2} = x$

   把整個除式乘以 $x$ 再相減：

   $x(x^2 + 4x + 3) = x^3 + 4x^2 + 3x$

   $(x^3 + 6x^2 + 11x + 6) - (x^3 + 4x^2 + 3x) = 2x^2 + 8x + 6$

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   第二輪：次數正好抵消。 剩下的式子以 $2x^2$ 打頭，與除式同次：

   $\frac{2x^2}{x^2} = 2$

   所以商的下一項是常數 $2$ —— 不是 $2x$。這一步正是把除式次數搞混就會出錯的地方。

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   相減，確認除法結束。 乘回去：

   $2(x^2 + 4x + 3) = 2x^2 + 8x + 6$

   $(2x^2 + 8x + 6) - (2x^2 + 8x + 6) = 0$

   餘式是 $0$，所以商恰好就是 $x + 2$。

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   把兩個多項式都因式分解來交叉驗證。 它們在整數範圍內都能完全分解：

   $x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = (x+1)(x+2)(x+3), \qquad x^2 + 4x + 3 = (x+1)(x+3)$

   約掉公因式 $(x+1)(x+3)$ 剩下 $x + 2$，與長除法結果一致，也說明對一切 $x \neq -1, -3$ 這個除法都是整除的。