將 x³ − 4x + 5 除以 x² + 2，求商與餘式。

Step-by-step solution

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   把兩個多項式的每個次方都寫出來。 被除式沒有 $x^2$ 項，除式沒有 $x$ 項：

   $\text{被除式}=x^3+0x^2-4x+5,\qquad \text{除式}=x^2+0x+2$

   除式的次數是 $2$，所以綜合除法不適用，長除法才是正確的工具。

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   由首項係數求出商的第一項。

   $\frac{x^3}{x^2}=x$

   把除式乘以 $x$：$x\left(x^2+2\right)=x^3+2x$。再從被除式減掉：

   $\left(x^3+0x^2-4x+5\right)-\left(x^3+0x^2+2x\right)=-6x+5$

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   檢查演算法能不能繼續。 剩下的 $-6x+5$ 次數是 $1$，而除式的次數是 $2$。因為 $1<2$，已經沒有項可以再取出，所以做完一步就停：

   $\text{商}=x,\qquad \text{餘式}=-6x+5$

   商只有一項是意料中的：兩者的次數恰好差一，所以商的次數是 $3-2=1$。

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   寫出答案的兩種標準形式。

   $\frac{x^3-4x+5}{x^2+2}=x+\frac{-6x+5}{x^2+2}$

   $x^3-4x+5=\left(x^2+2\right)x+(-6x+5)$

   第二種沒有分數，是驗算時要用的恆等式。

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   驗算，並看看餘式說明了什麼。 展開得 $\left(x^2+2\right)x=x^3+2x$，而 $x^3+2x-6x+5=x^3-4x+5\;\checkmark$。因為餘式不是零，$x^2+2$ 不是因式——這與 $x^2+2$ 的根是 $x=\pm i\sqrt2$ 一致，把 $x^2=-2$ 代進被除式得 $x\cdot(-2)-4x+5=-6x+5\ne 0$，正好就是餘式。