分解 a² + b²。

Step-by-step solution

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   先說明為什麼實數不夠用。 平方差 $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ 在 $\mathbb{R}$ 上沒有對應的和的版本。把 $a^{2}+b^{2}$ 看成 $a$ 的二次式，判別式是 $0-4b^{2}=-4b^{2}<0$（$b\neq0$ 時），所以它沒有實根，因此沒有實係數的一次因式。

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   引進虛數單位。 有了 $i^{2}=-1$，和就可以改寫成差：

   $a^{2}+b^{2}=a^{2}-\left(-b^{2}\right)=a^{2}-(bi)^{2}$

   因為 $(bi)^{2}=b^{2}i^{2}=-b^{2}$。這就是全部的訣竅——在 $\mathbb{C}$ 上，每個平方和其實都是偽裝過的平方差。

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   套用平方差公式，其中 $A=a$、$B=bi$：

   $a^{2}+b^{2}=(a-bi)(a+bi)$

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   展開驗算。

   $(a+bi)(a-bi)=a^{2}-abi+abi-b^{2}i^{2}=a^{2}-b^{2}(-1)=a^{2}+b^{2}\ \checkmark$

   交叉項互相抵消，而 $i^{2}=-1$ 把減法翻成加法。在 $-5\le a,b\le5$ 的全部 $121$ 組整數上都確認過 ✓。

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   看看它會出現在哪裡。 這兩個因式互為共軛複數，乘積 $(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}=|a+bi|^{2}$ 恰好是複數 $a+bi$ 絕對值的平方。這正是複數分母有理化所用的恆等式：乘上共軛可以消掉 $i$，只留下實數 $a^{2}+b^{2}$。