展開並化簡 (√2 + √3 + √5)²。

Step-by-step solution

1. 1

   **用三項和的平方公式。**對任意 $a,b,c$，

   $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$

   交叉項有三個，不是一個 —— 漏掉其中一組是三項式平方的標準錯誤。

2. 2

   **把每一項平方。**平方會把根號完全消掉：

   $\left(\sqrt2\right)^{2}+\left(\sqrt3\right)^{2}+\left(\sqrt5\right)^{2}=2+3+5=10$

3. 3

   **寫出三個交叉項。**每一個都是一對數乘積的兩倍，並用 $\sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab}$：

   $2\sqrt2\sqrt3=2\sqrt6,\qquad 2\sqrt3\sqrt5=2\sqrt{15},\qquad 2\sqrt5\sqrt2=2\sqrt{10}$

4. 4

   全部相加。$\sqrt6$、$\sqrt{10}$、$\sqrt{15}$ 都不能再化簡，彼此之間也不能合併，因為 $6$、$10$ 與 $15$ 都沒有平方因數且互不相同：

   $\boxed{10+2\sqrt6+2\sqrt{10}+2\sqrt{15}}$

5. 5

   數值驗算。$\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5=1.41421+1.73205+2.23607=5.38233$，而 $5.38233^{2}=28.9695$。答案給出 $10+2(2.44949)+2(3.16228)+2(3.87298)=10+4.89898+6.32456+7.74597=28.9695$ ✓。