已知 3x − 2y = 20，求 D = 9x² − 12xy + 4y² 的值。

Step-by-step solution

1. 1

   **先開出兩個平方項的平方根。**要套用 $A^2 - 2AB + B^2$ 這個形式，得先找出 $A$ 與 $B$：

   $A^2 = 9x^2 \Rightarrow A = 3x, \qquad B^2 = 4y^2 \Rightarrow B = 2y$

   這裡的領導係數 $9$ 與 $4$ 本身就是完全平方數，正是這個公式可以套用的訊號。

2. 2

   **動手之前先檢查中間項。**這個形式要求中間項恰好等於 $2AB$：

   $2AB = 2(3x)(2y) = 12xy$

   它與式子裡的 $-12xy$ 相符，而負號表示要用 $(A - B)^2$ 而不是 $(A + B)^2$。中間項的係數只要不是 $12$，整個式子就根本不是完全平方。

3. 3

   改寫成單一個平方。

   $D = 9x^2 - 12xy + 4y^2 = (3x - 2y)^2$

4. 4

   **代入題目給的關係式。**由 $3x - 2y = 20$：

   $D = 20^2 = 400$

   同樣是把整個括號一次換掉；題目的條件不足以分別定出 $x$ 與 $y$，而我們也不需要。

5. 5

   **用兩組滿足 3x − 2y = 20 的具體解驗算。**取 $y = 2$、$x = 8$：$9(64) - 12(16) + 4(4) = 576 - 192 + 16 = 400 \ \checkmark$。取 $y = -1$、$x = 6$：$324 + 72 + 4 = 400 \ \checkmark$。答案與選哪一組解無關，正如預期。