化簡分子為 x² − 9、分母為 x + 3 的分式。

Step-by-step solution

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   化簡之前先記下定義域。 分母在 $x+3=0$ 時為零，所以原式在 $x=-3$ 沒有定義。先記下這一點很重要，因為化簡會把它藏起來。

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   用平方差把分子因式分解。 把 $9=3^2$ 寫出來，套用 $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$：

   $x^2-9=(x-3)(x+3)$

   因式分解後才看得出共同因式；逐項亂約是永遠找不到它的。

3. 3

   約掉公因式。

   $\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}=x-3$

   只要是原式有定義的 $x$（也就是 $x+3\neq 0$ 的地方），這個約分都合法。

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   把限制條件與答案一起寫出來。

   $\frac{x^2-9}{x+3}=x-3,\qquad x\neq -3$

   兩邊不是同一個函數：左邊在 $x=-3$ 有一個洞，直線 $x-3$ 則沒有。這是可去間斷點的標準例子，而 $\lim_{x\to-3}\frac{x^2-9}{x+3}=-6$ 就是那個洞「想要」的值。

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   代值檢查。 取 $x=1$：原式為 $\frac{1-9}{4}=-2$，而 $x-3=-2$ ✓。取 $x=-3$ 時原式是 $\frac00$，沒有定義，而 $x-3$ 會給出 $-6$ —— 這正說明那個限制不是可有可無的。