求方程式 7(s + 9)² − 20(s + 9) = 3 的實數解。

Step-by-step solution

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   先看出重複出現的整塊。 式子裡 $s+9$ 以平方和一次方各出現一次，其他地方都沒有。這就是該做代換的訊號：這個方程式對那一整塊而言是二次的，而不是直接對 $s$ 二次。

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   令 u = s + 9。 方程式變成 $7u^2-20u=3$，把 $3$ 移過去就是標準式 $7u^2-20u-3=0$。先展開平方也行得通，但數字會變大，而且沒有任何好處。

3. 3

   把 u 的二次式因式分解。 找兩個數，乘積是 $7\cdot(-3)=-21$、和是 $-20$，得到 $-21$ 與 $1$，於是 $7u^2-21u+u-3=7u(u-3)+(u-3)=(7u+1)(u-3)=0$。因此 $u=3$ 或 $u=-\frac17$。

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   把代換換回去。 因為 $u=s+9$，所以 $s=u-9$。由 $u=3$ 得 $s=-6$；由 $u=-\frac17$ 得 $s=-\frac17-9=-\frac{64}{7}$。

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   把兩個根代回原方程式檢查。 取 $s=-6$：$s+9=3$，所以 $7(9)-20(3)=63-60=3$。取 $s=-\frac{64}{7}$：$s+9=-\frac17$，所以 $7\cdot\frac{1}{49}+\frac{20}{7}=\frac17+\frac{20}{7}=3$。兩者都恰好等於 $3$。