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Algebra · real student question

解聯立方程式：(1/3)x − (1/3)y = −1 − m；−(1/3)x + y − (1/2)z = −4w；(5/6)z − (1/2)y = 4w + m；x = 30 + z；y = 6w。

Question

解出 xx、yy、zz、ww 與 mm：

13x−13y=−1−m,−13x+y−12z=−4w,\frac13x-\frac13y=-1-m,\qquad -\frac13x+y-\frac12z=-4w,
56z−12y=4w+m,x=30+z,y=6w.\frac56z-\frac12y=4w+m,\qquad x=30+z,\qquad y=6w.

Step-by-step solution

  1. 用兩個現成的代換式減少未知數個數。 最後兩式直接給出 x=30+zx=30+z 與 y=6wy=6w，所以只剩下 zz、ww 與 mm。代入第一式：

    13(30+z)−13(6w)=−1−m  ⟹  10+z3−2w=−1−m,\frac13(30+z)-\frac13(6w)=-1-m\;\Longrightarrow\;10+\frac{z}{3}-2w=-1-m,

    於是

    m=−11−z3+2w.m=-11-\frac{z}{3}+2w.

  2. 把第二式化成 ww 與 zz 之間的關係。

    −13(30+z)+6w−z2=−4w  ⟹  −10−z3−z2+6w=−4w.-\frac13(30+z)+6w-\frac{z}{2}=-4w\;\Longrightarrow\;-10-\frac{z}{3}-\frac{z}{2}+6w=-4w.

    由於 13+12=56\tfrac13+\tfrac12=\tfrac56，這就是 −10−56z+10w=0-10-\tfrac56z+10w=0，因此

    w=1+z12.w=1+\frac{z}{12}.

    這一式完全不含 mm，這正是整個聯立不必大費周章消去就能解開的原因。

  3. 化簡第三式。 代入 y=6wy=6w，

    56z−3w=4w+m  ⟹  m=56z−7w.\frac56z-3w=4w+m\;\Longrightarrow\;m=\frac56z-7w.

  4. 把兩個 mm 的表示式劃上等號，解出 zz。

    56z−7w=−11−z3+2w  ⟹  76z+11=9w.\frac56z-7w=-11-\frac{z}{3}+2w\;\Longrightarrow\;\frac76z+11=9w.

    代入 w=1+z12w=1+\tfrac{z}{12}，也就是 9w=9+34z9w=9+\tfrac34z：

    76z+11=9+34z  ⟹  (1412−912)z=−2  ⟹  512z=−2  ⟹  z=−245.\frac76z+11=9+\frac34z\;\Longrightarrow\;\left(\frac{14}{12}-\frac{9}{12}\right)z=-2\;\Longrightarrow\;\frac{5}{12}z=-2\;\Longrightarrow\;z=-\frac{24}{5}.

  5. 回代求出其餘四個未知數。

    w=1−2460=35,y=6w=185,x=30−245=1265,m=56(−245)−7⋅35=−4−215=−415.w=1-\frac{24}{60}=\frac35,\quad y=6w=\frac{18}{5},\quad x=30-\frac{24}{5}=\frac{126}{5},\quad m=\frac56\left(-\frac{24}{5}\right)-7\cdot\frac35=-4-\frac{21}{5}=-\frac{41}{5}.

  6. 逐一驗證五個式子皆恰好成立。 換成小數是 x=25.2x=25.2、y=3.6y=3.6、z=−4.8z=-4.8、w=0.6w=0.6、m=−8.2m=-8.2。用有理數運算檢查：13(25.2)−13(3.6)=7.2=−1−(−8.2)\tfrac13(25.2)-\tfrac13(3.6)=7.2=-1-(-8.2) ✓；−8.4+3.6+2.4=−2.4=−4(0.6)-8.4+3.6+2.4=-2.4=-4(0.6) ✓；−4+(−1.8)=−5.8=4(0.6)+(−8.2)-4+(-1.8)=-5.8=4(0.6)+(-8.2) ✓；30−4.8=25.230-4.8=25.2 ✓；6(0.6)=3.66(0.6)=3.6 ✓。五式全部成立，因此這個聯立方程式相容且有唯一解。

Answer

x=1265,y=185,z=−245,w=35,m=−415x=\frac{126}{5},\quad y=\frac{18}{5},\quad z=-\frac{24}{5},\quad w=\frac35,\quad m=-\frac{41}{5}

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