化簡 √(20x²y²/z⁵)。

Step-by-step solution

1. 1

   把每個因式拆成完全平方乘以餘項。

   $20=4\cdot 5,\qquad z^5=z^4\cdot z$

   於是被開方數變成

   $\frac{4\cdot 5\cdot x^2y^2}{z^4\cdot z}$

2. 2

   把完全平方開出來，該加絕對值的地方要加。 $\sqrt{u^2}=|u|$，不是 $u$：

   $\sqrt4=2,\quad\sqrt{x^2}=|x|,\quad\sqrt{y^2}=|y|,\quad\sqrt{z^4}=z^2$

   $z^2$ 本身已經非負，不必加絕對值。目前的結果是：

   $\frac{2|x||y|\sqrt5}{z^2\sqrt z}$

3. 3

   留意定義域。 原式要求 $z>0$（根號內的分母是 $z$ 的奇數次方），這正是 $z$ 本身不需要絕對值的原因。

4. 4

   分母有理化。 分子分母同乘 $\sqrt z$：

   $\frac{2|x||y|\sqrt5}{z^2\sqrt z}\cdot\frac{\sqrt z}{\sqrt z}=\frac{2|xy|\sqrt{5z}}{z^3}$

   因為 $\sqrt5\cdot\sqrt z=\sqrt{5z}$ 且 $z^2\cdot z=z^3$。

5. 5

   數值驗算。 取 $x=2$、$y=3$、$z=4$：被開方數為 $\tfrac{20\cdot 4\cdot 9}{1024}=0.703125$，開根號得 $0.83853$。化簡式給出 $\tfrac{2\cdot 6\sqrt{20}}{64}=\tfrac{12\cdot 4.47214}{64}=0.83853$ $\checkmark$。若假設所有變數皆為正，答案也可以寫成 $\tfrac{2xy\sqrt{5z}}{z^3}$。