解不等式 1/(2^x + 21) ≤ 3/(2^(x+2) − 1)。

Step-by-step solution

1. 1

   **換元把它變成分式不等式。**式子裡每個 $x$ 都在以 $2$ 為底的指數上，所以令 $t=2^x$，其中 $t>0$。因為 $2^{x+2}=2^x\cdot 2^2=4t$，不等式變成 $\frac{1}{t+21}\le\frac{3}{4t-1}$ —— 一個 $t$ 的普通分式不等式。

2. 2

   **把所有東西移到同一邊，不要交叉相乘。**這裡交叉相乘並不安全：$4t-1$ 在 $t=\tfrac14$ 處變號，乘上一個負量會讓不等號翻轉。寫成 $\frac{1}{t+21}-\frac{3}{4t-1}\le 0$ 再通分：$\frac{(4t-1)-3(t+21)}{(t+21)(4t-1)}\le 0$。

3. 3

   化簡分子。$(4t-1)-3(t+21)=4t-1-3t-63=t-64$，所以不等式是 $\frac{t-64}{(t+21)(4t-1)}\le 0$。

4. 4

   **丟掉那個永遠不變號的因式。**因為 $t=2^x>0$，因式 $t+21>21>0$ 恆成立。除以一個正量不會改變方向，剩下 $\frac{t-64}{4t-1}\le 0$。

5. 5

   **在 $t$ 上做正負號表。**臨界值是 $t=64$（分子為零）與 $t=\tfrac14$（分母為零，要排除）。商恰好在兩者之間為負，所以 $\tfrac14<t\le 64$；$t=64$ 保留下來是因為不等號不嚴格，而 $t=\tfrac14$ 不能取，因為分式在那裡沒有定義。

6. 6

   **換回 $x$。**把界線寫成 $2$ 的次方：$2^{-2}<2^x\le 2^6$。函數 $2^x$ 嚴格遞增，所以指數維持同樣的大小關係，得到 $-2<x\le 6$。

7. 7

   **檢查兩個端點。**在 $x=6$：$\frac{1}{64+21}=\frac{1}{85}$，而 $\frac{3}{256-1}=\frac{3}{255}=\frac{1}{85}$，所以等號成立，$x=6$ 屬於解集。在 $x=-2$：$2^{x+2}-1=2^0-1=0$，右邊沒有定義，所以 $x=-2$ 必須排除。