函數 f 定義為 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 為常數。方程式 f(x) = 0 的解為 x = 1 與 x = -7。若 a 是大於 1 的整數，則對每個這樣的 f 都有 a + b 大於或等於 n，求常數 n 的最大可能值。

Step-by-step solution

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   先把兩根寫成因式形式。 二次式由它的兩根決定，只差一個倍率。因為 $f(1)=0$、$f(-7)=0$，所以 $(x-1)$ 與 $(x+7)$ 都是 $f$ 的因式：

   $f(x)=a(x-1)(x+7)$

   其中的 $a$ 就是 $ax^{2}+bx+c$ 裡的首項係數，因為 $(x-1)(x+7)$ 的首項係數是 $1$。

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   展開後用 $a$ 表示 $b$。

   $f(x)=a\left(x^{2}+6x-7\right)=ax^{2}+6ax-7a,$

   比較係數得 $b=6a$、$c=-7a$。現在整個式子只由單一未知數 $a$ 控制。

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   把要估界的量寫出來。

   $a+b=a+6a=7a.$

   所以「若 $a+b\ge n$ 恆成立，$n$ 最大可以多大？」其實就是在問「$7a$ 最小可以多小？」

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   在 $a$ 的允許範圍內取最小值。 條件是 $a$ 為大於 1 的整數，所以可能值是 $a=2,3,4,\dots$，最小為 $a=2$。（這裡 $a\ne 0$ 自動成立——二次式的首項係數本來就不能為零。）因此 $a+b$ 的最小值是

   $7(2)=14.$

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   把最小值轉換成答案。 不等式 $a+b\ge n$ 必須對每一個允許的 $f$ 都成立，所以 $n$ 最多只能取到 $a+b$ 的最小值。這個最小值 $14$ 確實達得到（$a=2$ 時 $f(x)=2x^{2}+12x-14$），所以 $n=14$ 可行，再大就不行了：

   $n_{\max}=14.$