證明恆等式 x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y)。

Step-by-step solution

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   先決定證明的方向。 證明恆等式是把一邊變形成另一邊；不可以像解方程式那樣把項移過等號。右邊比較複雜，所以展開右邊，目標是化到 $x^3+y^3$。這個方向只需要展開，不必看出任何因式分解的訣竅。

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   展開二項式的立方。 由二項式定理，

   $(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$

   中間兩項的係數都是 3，這正是為什麼帶有因數 3 的修正項有辦法把它們消掉。

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   展開修正項。

   $3xy(x+y)=3xy\cdot x+3xy\cdot y=3x^2y+3xy^2$

   它與立方展開所產生的那一對交叉項逐項相同。

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   相減，看交叉項消失。

   $(x+y)^3-3xy(x+y)=\left(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\right)-\left(3x^2y+3xy^2\right)=x^3+y^3$

   中間兩項剛好完全互消，證明就此完成：右邊等於 $x^3+y^3$，所以這個恆等式對每一組 $x,y$ 都成立。

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   為什麼這個恆等式值得記住。 它把 $x^3+y^3$ 只用兩個基本對稱式 $s=x+y$ 與 $p=xy$ 表示出來，也就是 $x^3+y^3=s^3-3ps$。當題目給的是兩根的和與積、而不是兩根本身時，這就是求 $x^3+y^3$ 的標準路線。

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   數值抽查。 取 $x=2,\,y=3$：左邊是 $8+27=35$；右邊是 $5^3-3\cdot 6\cdot 5=125-90=35$。兩者相等，與代數推導預測的一致。