解方程式 2x + 2λx + μ = 0 求 x，其中 λ 與 μ 視為參數。

Step-by-step solution

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   把 $x$ 項收在一起並提出公因式。 $2x$ 與 $2\lambda x$ 都只帶一次的 $x$，所以可以合併：

   $2x+2\lambda x=2x(1+\lambda)$

   方程式便成為

   $2x(1+\lambda)+\mu=0$

   寫成這個形式才是重點：$x$ 的係數現在是看得見的單一個量 $2(1+\lambda)$，而一切都取決於它是不是零。

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   解一般情形 $\lambda\neq -1$。 這時 $2(1+\lambda)\neq 0$，可以放心相除：

   $2x(1+\lambda)=-\mu\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{-\mu}{2(1+\lambda)}$

   解恰好只有一個。舉例來說 $\lambda=3,\ \mu=5$ 給出 $x=-\frac{5}{8}$，而且確實 $2(-0.625)+6(-0.625)+5=0$。

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   處理 $\lambda=-1$ 這個退化情形。 此時 $1+\lambda=0$，$x$ 那一項完全消失，方程式退化成一個常數的敘述

   $\mu=0$

   這裡沒有東西能拿來除以零，所以必須直接把兩個子情形讀出來。

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   把退化情形拆成兩半。 若 $\lambda=-1$ 且 $\mu=0$，方程式就是 $0=0$：它對每一個實數 $x$ 都成立，所以解集合是整個 $\mathbb{R}$——這是恆等式，不是只有一個根的方程式。若 $\lambda=-1$ 而 $\mu\neq 0$，方程式等於在說 $\mu=0$ 卻又 $\mu\neq 0$：這是矛盾，所以解集合是空集合。

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   把這個三分法整理一遍。 一次方程式 $Ax+B=0$ 總是這樣分成三種情形，這裡 $A=2(1+\lambda)$、$B=\mu$：

   $\lambda\neq-1:\quad x=\frac{-\mu}{2(1+\lambda)}\ \text{（唯一解）}$

   $\lambda=-1,\ \mu=0:\quad x\in\mathbb{R}\ \text{（無限多解）}$

   $\lambda=-1,\ \mu\neq0:\quad \text{無解}$

   略過分情況討論是典型的錯誤：不檢查 $1+\lambda$ 是否為零就拿它去除，會無聲無息地把後兩種可能丟掉。