不等式 |ax + 5| ≤ b 的解為 −4 ≤ x ≤ 6，求 a − b。

Step-by-step solution

1. 1

   把不等式改寫成「中心與半徑」的說法。 當 $a\ne 0$ 時，

   $|ax+5|\le b\iff |a|\left|x+\frac5a\right|\le b\iff \left|x-\left(-\frac5a\right)\right|\le\frac{b}{|a|}$

   所以解集合一定是以 $-\tfrac5a$ 為中心、$\tfrac{b}{|a|}$ 為半徑的閉區間。這條捷徑讓我們不必再對 $a$ 的正負分情況討論。

2. 2

   從給定的區間讀出中心與半徑。 對 $[-4,6]$ 而言，

   $\text{中心}=\frac{-4+6}{2}=1,\qquad \text{半徑}=\frac{6-(-4)}{2}=5$

3. 3

   對上中心求出 $a$。

   $-\frac{5}{a}=1\ \Longrightarrow\ a=-5$

4. 4

   對上半徑求出 $b$。 因為 $|a|=5$，

   $\frac{b}{5}=5\ \Longrightarrow\ b=25$

   注意 $b=25\ge 0$，這是必要的——$b$ 若是負數，$|ax+5|\le b$ 就會無解。

5. 5

   算出 $a-b$ 並驗證原不等式。

   $a-b=-5-25=-30$

   檢查：取 $a=-5$、$b=25$，不等式變成 $|-5x+5|\le 25$，也就是 $5|x-1|\le 25$，即 $|x-1|\le 5$，即 $-4\le x\le 6$——正是題目給的解集合。兩個端點分別給出 $|-5(-4)+5|=25$ 與 $|-5(6)+5|=25$，都剛好取到上界，這正是等號成立所要求的。

6. 6

   一般化的做法。 對任何 $|ax+c|\le b$：解區間的中點是 $-c/a$，半長是 $b/|a|$。把這兩個數對上題目給的區間中點與半長，一步就能定出 $a$ 與 $b$，完全不必分正負號的情況。