求方程式 (5x − 8)² − 25x² = 0 的根。

Step-by-step solution

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   展開完全平方。

   $(5x-8)^2 = 25x^2 - 80x + 64$

   方程式因此變成 $25x^2 - 80x + 64 - 25x^2 = 0$。

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   看著二次項互相消掉。 $25x^2 - 25x^2 = 0$，只剩下

   $-80x + 64 = 0$

   這個方程式只是看起來像二次式；因為兩個平方項的係數同樣是 $25$，它其實是一次式，恰有一個根而不是兩個。

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   解這個一次方程式。

   $80x = 64 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{64}{80} = \frac{4}{5} = 0.8$

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   再用平方差的路徑確認一次。 不展開而改成因式分解：

   $(5x-8)^2 - (5x)^2 = \left[(5x-8) - 5x\right]\left[(5x-8) + 5x\right] = (-8)(10x - 8)$

   要它等於零就必須 $10x - 8 = 0$，也就是 $x = 0.8$——常數因式 $-8$ 永遠不可能為零，這是看出只有一個根的另一種方式。

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   驗算。 取 $x = 0.8$：$(4 - 8)^2 - 25(0.64) = 16 - 16 = 0$。正確。