解 (515 − 0.27x)(368 − 0.27x)(98 − 0.18x) − (515 − 0.27x)·98² − (98 − 0.18x)·270² = 0，求 x。

Step-by-step solution

1. 1

   替三個一次因式各取一個代號。 令

   $A=515-0.27x,\qquad B=368-0.27x,\qquad C=98-0.18x,$

   再用 $98^{2}=9604$ 與 $270^{2}=72900$，方程式就是

   $ABC-9604A-72900C=0.$

   替因式命名可以讓帳目清楚，也讓公因式 $A$ 一眼可見。

2. 2

   展開 $BC$ 並重新分組。

   $BC=(368-0.27x)(98-0.18x)=36064-92.7x+0.0486x^{2},$

   所以 $BC-9604=26460-92.7x+0.0486x^{2}$，方程式變成

   $(515-0.27x)\bigl(0.0486x^{2}-92.7x+26460\bigr)-72900(98-0.18x)=0.$

3. 3

   用精確分數完整展開。 把 $0.27=\tfrac{27}{100}$、$0.18=\tfrac{18}{100}$ 當分數處理而不用小數，可以避免誤差累積；結果是

   $-0.013122x^{3}+50.058x^{2}-41762.7x+6482700=0,$

   原式再乘上 $-\tfrac{500000}{6561}$，就得到首項係數為一的三次式 $x^{3}-\tfrac{103000}{27}x^{2}+\tfrac{2320150000}{729}x-\tfrac{120050000000}{243}=0$。

4. 4

   找出那個精確根。 試幾個能讓括號變整齊的值：$x=\tfrac{24500}{27}$ 恰好使 $0.27x=245$，用精確分數代入三次式後結果為 $0$。因此 $\left(x-\tfrac{24500}{27}\right)$ 是一個因式，$x=\tfrac{24500}{27}=907.\overline{407}$ 是一個根。

5. 5

   除去這個因式，再解二次方程式。 綜合除法後留下 $x^{2}-\tfrac{78500}{27}x+\tfrac{4900000}{9}=0$，也就是

   $27x^{2}-78500x+14700000=0,$

   判別式為 $78500^{2}-4(27)(14700000)=4574650000$。由於 $4574650000=10^{4}\cdot 457465$，而 $457465=5\cdot 91493$ 不含平方因數，兩根仍是無理數：

   $x=\frac{39250\pm 50\sqrt{457465}}{27}.$

6. 6

   寫出三個根並驗證。 數值上 $x\approx 201.1822413$、$x=907.4074074$、$x\approx 2706.2251661$。把每個根代回原本的乘積形式，分別得到 $0$、$-9\times10^{-10}$、$0$——那個極小的殘差只是浮點雜訊，相對於 $10^{6}$ 量級的數值可以忽略。若展開時不小心得到 $-41777.7x+6479700$，那就錯了：那個三次式在 $24500/27$ 處並不為零。