解不等式 7|w − 6| ≥ 2。

Step-by-step solution

1. 1

   拆任何東西之前，先把絕對值孤立出來。 $|A|$ 的改寫規則只有在絕對值單獨站著時才適用。這裡它被乘上 $7$，所以兩邊除以正數 $7$（不必翻轉不等號）：

   $|w-6|\ge\frac{2}{7}$

2. 2

   把大於等於型的絕對值拆成兩條射線。 當 $b>0$ 時，$|A|\ge b$ 說的是 $A$ 到 $0$ 的距離至少是 $b$，這只會發生在遠離原點的兩側，而不是在它們之間：

   $w-6\le-\frac{2}{7}\qquad\text{或}\qquad w-6\ge\frac{2}{7}$

   連接詞是或，絕不是且：沒有哪個 $w$ 能同時既在極左又在極右。

3. 3

   兩個分支各加 6 解出。 把 $6$ 換成七分之幾，分數才好合併，$6=\tfrac{42}{7}$：

   $w\le\frac{42}{7}-\frac{2}{7}=\frac{40}{7}\qquad\text{或}\qquad w\ge\frac{42}{7}+\frac{2}{7}=\frac{44}{7}$

4. 4

   寫出解集。 用區間記法是

   $\left(-\infty,\tfrac{40}{7}\right]\cup\left[\tfrac{44}{7},\infty\right)$

   兩個端點都包含在內，因為原來的關係允許取等號。從數值上看，被排除的空隙是以 $w=6$ 為中心的短開區間 $(5.714\ldots,\,6.285\ldots)$。

5. 5

   驗邊界，也驗那段空隙。 在 $w=\tfrac{40}{7}$：$7\left|\tfrac{40}{7}-6\right|=7\cdot\tfrac{2}{7}=2\ge2$ ✓（取等號，所以端點屬於解集）。在中心 $w=6$：$7|0|=0$，這不滿足 $\ge2$ ✗，正好印證那段空隙。把原始不等式與宣稱的解集在 $500$ 個精確有理點上比對，處處吻合 ✓。