用立方和或立方差公式分解 125x³ − 64。

Step-by-step solution

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   先確認兩項真的都是立方。$125=5^{3}$，而 $x^{3}$ 本來就是立方，所以 $125x^{3}=(5x)^{3}$；另外 $64=4^{3}$。因為兩者之間是減法，所以要用立方差公式。

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   寫下恆等式。 $a^{3}-b^{3}=(a-b)\left(a^{2}+ab+b^{2}\right),$ 其中 $a=5x$、$b=4$。注意二次因式裡中間項的符號是 $+$，與二項因式裡的符號相反。

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   組出一次因式。 $a-b=5x-4 .$

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   組出二次因式。 $a^{2}=(5x)^{2}=25x^{2},\qquad ab=(5x)(4)=20x,\qquad b^{2}=4^{2}=16,$ 所以第二個因式是 $25x^{2}+20x+16$。它的判別式是 $400-1600=-1200<0$，所以在實數範圍內不能再分解。

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   寫出結果並驗算。 $125x^{3}-64=(5x-4)\left(25x^{2}+20x+16\right).$ 乘開來看：$5x\cdot 25x^{2}=125x^{3}$，其餘各項兩兩相消，最後剩下 $-4\cdot 16=-64$。