化簡 (a − b)/(a + b + 2√(ab)) 乘上 (√a + √b)/(√a − √b)。

Step-by-step solution

1. 1

   心裡先把變數換成 $\sqrt a$ 與 $\sqrt b$。 這個式子的每一塊都是用 $u=\sqrt a$ 與 $v=\sqrt b$ 堆出來的。改寫成

   $\frac{u^2-v^2}{u^2+v^2+2uv}\cdot\frac{u+v}{u-v}$

   之後，兩個陌生的根式就變成代數裡最標準的兩個恆等式。

2. 2

   把分子用平方差分解。

   $a-b=(\sqrt a)^2-(\sqrt b)^2=(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)$

3. 3

   認出分母是完全平方。 依 $u^2+2uv+v^2$ 的形式，

   $a+b+2\sqrt{ab}=(\sqrt a+\sqrt b)^2$

   交叉項 $2\sqrt{ab}=2\sqrt a\sqrt b$ 正好就是湊成平方所需的 $2uv$——看出這一點是全題的關鍵。

4. 4

   把兩個因式分解都代進去。

   $\frac{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)}{(\sqrt a+\sqrt b)^2}\cdot\frac{\sqrt a+\sqrt b}{\sqrt a-\sqrt b}$

5. 5

   有系統地約分。 因式 $\sqrt a-\sqrt b$ 上下各出現一次；$\sqrt a+\sqrt b$ 上下各出現兩次。全部約光，只剩下

   $1$

   這些約分之所以合法，正是因為 $a\neq b$（所以 $\sqrt a-\sqrt b\neq0$）以及 $a,b>0$（所以 $\sqrt a+\sqrt b>0$）。

6. 6

   代數字驗證。 取 $a=4,b=9$：$\tfrac{-5}{4+9+12}\cdot\tfrac{2+3}{2-3}=\tfrac{-5}{25}\cdot(-5)=1$ ✓。取 $a=2.5,b=7.3$ 直接用小數計算，同樣得到 $1.000000$ ✓。