看完不会？让 AI 一步步解给你看

Algebra questions asked by real students

Real algebra questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.

证明：dim W₁ < dim W₂ 时 W₂ 中存在与 W₁ 正交的非零向量

用 x ↦ ⟨x, ·⟩ 把 W₂ 映到 W₁ 的对偶空间，像空间的维数不超过 dim W₁，由秩零化度定理，核 W₂ ∩ W₁⊥ 的维数至少是 dim W₂ − dim W₁ ≥ 1。

为什么 |x| = 5 − 10 无解

本题无解。把右边化简得到 |x| = −5，而绝对值表示到原点的距离，永远不可能等于一个负数。

解 |2x + 5| = 0：绝对值等于零的特殊情形

唯一的解是 x = −5/2。当绝对值等于零时不需要分类讨论，因为到原点距离为零的数只有零本身。

分两种情形解绝对值方程 |3x − 5| = 5

解为 x = 0 和 x = 10/3。因为 |A| = 5 意味着 A = 5 或 A = −5，这一个绝对值方程就化成了两个普通的一次方程。

解 |3x + 4| = 2：拆成两个一次方程

两个解是 x = −2/3 和 x = −2。绝对值等于正数时会分出两种情形，3x+4 = 2 与 3x+4 = −2，每个都一步可解。

解 |4x + 3| = 2：得到两个分数解

解为 x = −1/4 和 x = −5/4。把 |4x + 3| = 2 拆成 4x + 3 = 2 与 4x + 3 = −2 两种情形，再分别解这两个一次方程。

解 |5 − x| = 5：未知数带负号的绝对值方程

解为 x = 0 和 x = 10。把方程拆成 5 − x = 5 与 5 − x = −5；正是 x 前面的负号，使第二种情形给出 x = 10。

用 |−x| = |x| 解绝对值方程 |−x| = 3.4

解为 x = 3.4 和 x = −3.4。绝对值里的负号不起任何作用，因为一个数与它的相反数到原点的距离相同。

去分母解绝对值方程 |(2x − 3)/7| = ½·|(x + 3)/4|

解为 x = 5 和 x = 3/23。先把常数提到绝对值外面，交叉相乘化为 8|2x − 3| = 7|x + 3|，再两边平方得到 23x² − 118x + 15 = 0。

按零点分段解方程 |x| + |x−1| = 3

解为 x = −1 和 x = 2。以 x = 0 和 x = 1 为分界点分成三段；中间那段化为 1 = 3，因而无解。

解 |x² − 13| = 3：拆成两个一元二次方程

共有四个解：x = ±4 和 x = ±√10。套在二次式外面的绝对值拆成 x²−13 = 3 与 x²−13 = −3，每个都给出两个根。

解绝对值不等式 |2x − 1| ≤ 3

答案是 −1 ≤ x ≤ 2。小于等于型的绝对值不等式化成一个闭的双向不等式 −3 ≤ 2x − 1 ≤ 3，两边加 1 再除以 2 即可。

解绝对值不等式 |2x + 5| < 13

答案是 −9 < x < 4。小于型的绝对值不等式化成一个双向不等式 −13 < 2x + 5 < 13，三边减 5 再除以 2 即可求出。

先分离绝对值再解不等式 7|w − 6| ≥ 2

答案是 w ≤ 40/7 或 w ≥ 44/7。先两边除以 7，再把大于等于型的绝对值拆成向外的两条射线，而不是一个区间。

解 7|w − 6| ≥ 21，两个端点都要保留

解为 w ≤ 3 或 w ≥ 9。两边除以 7 得到 |w − 6| ≥ 3，读作：w 到 6 的距离至少是 3，方向不限。

两边平方解绝对值不等式 |a − 1| < |2a|

解为 a < −1 或 a > 1/3。两边都是绝对值时平方是等价变形，问题于是转化为一元二次不等式 3a² + 2a − 1 > 0。

解 −2|3m| + 3 < −51：先变号再分类

解为 m < −9 或 m > 9。先分离出 |3m|，除以 −2 时不等号变向得到 |3m| > 27，再把向外型的不等式拆成两个分支。

解 −2|3m| + 3 < 51：全体实数都满足

解是全体实数。除以 −2 之后不等式变成 |3m| > −24，而绝对值永远非负，所以它恒成立。

分类讨论解 |x²−5x+6| + |x−4| ≥ −x²+5x+7

答案是 x ≤ (11 − √97)/4 或 x ≥ 5，约为 x ≤ 0.288 或 x ≥ 5。以 2、3、4 为分界点分成四段，只有最外侧两段有解。

解 |2x − 3| ≤ x − 1：右边含未知数

解为 4/3 ≤ x ≤ 2。右边含未知数时必须先强制它非负，然后再解夹逼式 −(x−1) ≤ 2x−3 ≤ x−1。

解 |x−1|/(x²−4) ≥ 0：解集中含一个孤立点

解为 x < −2、x = 1 或 x > 2。分子永远非负，所以符号由分母决定，而 x = 1 使整个分式恰好等于零。

用符号表求解 (|x−2|−x)/(x²−4) ≤ 0 的绝对值分式不等式

(|x−2|−x)/(x²−4) ≤ 0 的解集是 (−2, 1] ∪ (2, +∞)。在 x = 2 处拆开绝对值，列符号表逐段判号，并说明为什么 x = 1 能取到而 ±2 必须排除。

计算 1/√2 + 1/√2 并把结果分母有理化

答案是 √2，约等于 1.414214。同类项相加得到 2/√2，再乘以 √2/√2 有理化，分子分母的 2 相消，恰好剩下 √2。

同类根式相加：2 倍 4 的五次方根加 5 倍 4 的五次方根

结果是 7 倍 4 的五次方根。因为两项的根指数和被开方数本来就相同，只需把系数 2 与 5 相加。

先化简再相加：5√50 + 3√32

结果等于 37 倍根号 2。先把 √50 化成 5√2、把 √32 化成 4√2，再把所得系数 25 与 12 相加。

三个二次多项式的加减运算并求次数

结果是 7x² − 7x + 9，次数为 2。先把减号分配到第三个多项式的每一项上，再分别合并 x²、x 和常数项。

两个三次多项式相加并指出和的次数

和是 −x³ + 8x² − 15x − 4，次数为 3。把同次项的系数相加即可；三次项没有抵消，所以次数仍然是 3。

合并同类项计算 (−x² + 9) + (−3x² − 11x + 4)

和是 −4x² − 11x + 13。本文讲清如何按次数对齐同类项、为什么孤零零的 −11x 原样保留，以及怎样在 x = 1 处检验结果。

合并同类项求 f(x) = 5x + 2 与 g(x) = x − 6 的和函数

(f + g)(x) = 6x − 4，定义域是全体实数。把两个解析式叠起来，一次项 5x + x = 6x，常数项 2 − 6 = −4，最后说明定义域。

求 f(x) = 2 − x² 与 g(x) = x² + 4x − 60 的和函数

(f + g)(x) = 4x − 58，定义域是全体实数。两个 x² 项恰好互为相反数而相消，所以两个二次函数相加得到的是一次函数。

用平方法化简 √(3+√5) + √(3−√5)

结果等于 √10。两边平方得到 6 + 2√(9−5) = 10，而两个根式都是正数，所以和取正根而不是 −√10。

多项式加法：(x² − 2yz + z²) + (3yz − z² + 5x²)

答案是 6x² + yz。因为两组是相加而不是相减，可以直接去括号，而两个 z² 项恰好完全抵消。

通分计算 x/(x − 8) + (x − 8)/x

结果是 2(x² − 8x + 32) / (x(x − 8))。通分到公分母 x(x − 8) 后分子为 x² + (x − 8)²，展开整理后提取公因数得 2(x² − 8x + 32)。

以 2(x−1)(x+2) 为公分母计算 (x+5)/(2x−2) + 3x/(x²+x−2)

结果是 (x²+13x+10)/(2(x−1)(x+2))。把 2x−2 分解成 2(x−1)、把 x²+x−2 分解成 (x+2)(x−1)，就能看出最简公分母，再把两个分子相应扩大。

多卖 20 张后比例由 9∶4 变成 8∶3，求各类票数

原来卖出成人票 108 张、儿童票 48 张，之后成人票增至 128 张。把票数设成 9k 和 4k 只留一个未知数，由 3(9k + 20) = 8(4k) 得 k = 12。

年龄问题：现在是 8 倍，8 年后是 3 倍

哥哥现在 25 又 3/5 岁。设弟弟年龄为 x，列出 8x + 8 = 3(x + 8)，解得 5x = 16，再乘回去得到哥哥的年龄。

年龄问题：现在是 8 倍，8 年后变成 3 倍

答案是哥哥 128/5 = 25.6 岁，弟弟 16/5 = 3.2 岁。把弟弟的年龄设为 x，得到 8x + 8 = 3(x + 8)，于是 5x = 16。

年龄问题：父亲现在是我的 4 倍，12 年前是 10 倍

孩子 18 岁，父亲 72 岁。由方程 4x − 12 = 10(x − 12) 解得 x = 18，十二年前两人分别是 6 岁和 60 岁，比值恰好是 10。

年龄问题：现在是 5 倍，5 年后是 3 倍

哥哥 25 岁，弟弟 5 岁。由 5a + 5 = 3(a + 5) 得 2a = 10；两人增加的都是同样的 5 岁，这正是倍数下降的原因。

年龄问题：母亲现在是我的 3 倍，10 年前是 5 倍

我 20 岁，母亲 60 岁。两人年龄各减 10 得到 3x − 10 = 5(x − 10)，解得 x = 20；十年前两人是 10 岁和 50 岁，比值为 5。

年龄和为 46，四年前一人是另一人的两倍

两人的年龄是 88/3 岁和 50/3 岁，约合 29.33 岁和 16.67 岁。两个条件给出两个方程，代入消元后化为 3D − 4 = 46。

周长48米、长比宽多4米的长方形面积怎么求

面积是 140 m²。设宽为 x，则长为 x + 4；解 2(2x + 4) = 48 得 x = 10，所以两条边分别是 10 m 和 14 m。

周长 52 m、长比宽多 6 m 的长方形，面积是多少

面积是 160 m²。设宽为 x，长写成 x + 6，解方程 2(x + (x+6)) = 52 得 x = 10，再用 16 × 10 求出面积。

已知 u₁ = 1/3、u₈ = 26，求等差数列的公差

由 u₈ = u₁ + 7d 得 7d = 26 − 1/3 = 77/3，所以 d = 11/3。代回验算：1/3 + 7 × (11/3) = 78/3 = 26，说明这个分数没算错。

由 u₄ = 10 和 u₄ + u₆ = 26 求等差数列的公差 d

把 u₄ = 10 代入第二个条件得 u₆ = 16。再用 u₆ − u₄ = 2d 得到 2d = 6，所以 d = 3；顺手回推首项 u₁ = 1，整个数列 1, 4, 7, 10, … 就出来了。

已知 u2 = 3、u4 = 7，求等差数列的第 15 项

由 u4 − u2 = 2d 得公差 d = 2、首项 u1 = 1，于是 u15 = 1 + 14×2 = 29，选 D。看着很像的 31 其实是 u16，多走了一步。

等差数列：由首项 u₁ = 3 和公差 d = 2 求第 5 项

通项公式 uₙ = u₁ + (n − 1)d 中代入 u₁ = 3、d = 2，得 u₅ = 3 + 4×2 = 11。依次写出 3, 5, 7, 9, 11 也能确认第 5 项就是 11。

手机套餐月费表达式 30 + 0.05t + 0.10x 怎么列、怎么求值

打 t 分钟电话、发 x 条短信时，月费是 30 + 0.05t + 0.10x 美元。代入五组用量分别得 40、38.80、41.25、43.50 和 42.50 美元；短信单价是通话的两倍，所以多打电话更省。

连不等式 (x+1)(x+2) ≥ (x+3)(x+4) ≥ (x+5)(x+6) 怎么解

解集是 x ≤ −9/2，即区间 (−∞, −9/2]。把连不等式拆成两个不等式，注意两边的 x² 项会全部抵消，最后对两个解集取交集而不是并集。

用换底公式求 log 1576 ÷ log 2.44 的值

log 1576 / log 2.44 就是以 2.44 为底 1576 的对数，等于 8.2541。同底的两个对数相除时底数被约掉；再用 2.44 的 8.2541 次方得 1575.99 反过来验证。

判断三个含 S 的小数表达式是否相等

答案：只有后两个相等。第一个化简为 0.015S − 0.955，第二、第三个都化简为 0.0138462S − 0.789231，两者只在 S = 431/3 这一个取值上相等。

60 枚硬币共值 450：面值 5 和面值 10 的各有多少枚

面值 5 的 30 枚，面值 10 的 30 枚。把第二种的枚数写成 60 − x，就能把「共 60 枚」和「共值 450」两个条件并成一个方程 5x + 10(60 − x) = 450。

80 枚硬币总值 650，求 5 单位与 10 单位各多少枚

共有 30 枚 5 单位硬币和 50 枚 10 单位硬币。一个方程 5x + 10(80 − x) = 650 就同时装下了枚数条件和总价值条件。

把 (2x + 1)² + 2(2x + 1) + 1 化成完全平方

原式等于 (2x + 2)² = 4(x + 1)²。不用硬展开，只要认出 A² + 2A + 1 这个完全平方形式（取 A = 2x + 1），最后再把括号里的公因数 2 提出来。

合并同类项：4x + 2x − 5x 化简后等于 x

答案是 x，既不是 1x 也不是 0。把系数连符号一起相加得 4 + 2 − 5 = 1，而系数为 1 时按惯例不写出来，直接写变量本身。

合并同类项：6xy² − 3xy² − 12xy² 等于多少

答案是 −9xy²。三项的字母部分都是 xy²，完全一致，所以只需合并系数：6 − 3 − 12 = −9，字母部分原样带下来即可。

合并同类项：9x − 14x + 6x 化简的每一步

答案是 x。三项含的字母部分完全相同，所以只把系数相加：9 − 14 + 6 = 1，而系数为 1 时按惯例不写出来，结果既不是 0 也不是 1。

合并同类项化简 3x² + 2x − x² + 5x − 7

化简结果是 2x² + 7x − 7。只有字母和次数都相同的项才能合并：先把符号跟到各项上，再分别合并 x² 项与 x 项，常数 −7 单独保留。

合并同类项化简 -x⁵ - 15x⁴ - 10x³ + 10x³ - 6x + 1

化简结果是 -x⁵ - 15x⁴ - 6x + 1。只有两个 x³ 项是同类项，它们正好互相抵消，三次项因此整个消失。

合并同类项解方程 −20 + 7x + 17 − 15x + 3x − 9 = 0

答案是 x = −12/5 = −2.4。先把三个含 x 的项合成 −5x，三个常数项合成 −12，得到 −5x − 12 = 0，再两边同除以 −5 写成分数。

合并同类项：−12xy + 9xy − 3xy 等于 −6xy

结果是 −6xy。三项的字母部分都是 xy，完全一样，所以只需把系数相加：−12 + 9 − 3 = −6，字母部分 xy 原样保留、不参与运算。

解方程 31192041.56x + 31719594.84x + 24088814.72x = 99464.37

答案是 x ≈ 0.0011432627。三项都是同类项，先把系数加成 87,000,451.12，再做一次除法就解完了。

比较 3 − 2a 与 3 − 2b：负系数会把不等号翻过来

若 a < b，则 3 − 2a > 3 − 2b；反过来也一样。两边同减 3 不影响方向，但同除以 −2 会让不等号反向，这是唯一会翻号的一步。

比较 4a − 3 与 4b − 3：乘正数不改变不等号方向

若 a < b，则 4a − 3 < 4b − 3。乘以正数 4 和两边同减 3 都保持不等号方向不变，所以符号始终与 a、b 原来的大小关系一致。

比较 a³+b³ 与 a²b+ab² 的大小：作差法完整证明

当 a、b 为正数时恒有 a³+b³ ≥ a²b+ab²，当且仅当 a = b 时取等号。原因是作差后可以分解成 (a+b)(a−b)²，是一个正数乘非负数的乘积。

比较两个一次函数 G 和 H 的初始值，Kelly 说得对吗

G 和 H 的初始值都是 −1，所以 Kelly 说错了。G 直接从 (0, −1) 读出截距，H 先由 (8, 3) 和 (10, 4) 求出斜率 1/2，再回推到 x = 0。

配方 3x² − 4x + 2：求最小值和它的复数零点

配方结果是 3(x − 2/3)² + 2/3，最小值为 2/3。判别式等于 −8，所以它没有实根，零点是一对共轭复数 (2 ± i√2)/3。

用配方法化 x² − 2x + 3 并求它的最小值

配方结果是 (x − 1)² + 2，所以最小值是 2，在 x = 1 处取到。判别式为 −8，这正是它在实数范围内无法因式分解的原因。

解 −0.2 = 4.3957x² + 1.7334x + 0.0496：判别式为负无实根

答案是没有实数解，x = −0.19717 ± 0.13382i。先把 −0.2 移过去得到 4.3957x² + 1.7334x + 0.2496 = 0，再算出判别式 −1.38399 为负。

复合函数怎么求：f(x)=4x−7、g(x)=8x²−2x−3、h(x)=4x³+9x−2

(g∘f)(x) = 128x² − 456x + 403，(h∘f)(2) = 11，(f∘h)(x) = 16x³ + 36x − 15。做法就是把内层函数整体代到外层函数里每一个变量出现的位置上。

解连不等式 1 < x + 4 ≤ 2：三个部分同时减 4

解集是 −3 < x ≤ −2，即 (−3, −2]。把连不等式的三个部分同时减去 4，一步就能把 x 单独分离出来，而且全程不涉及变号。

解连不等式 10 < 60(1+x)/7 < 11：三边同时运算

解集是 1/6 < x < 17/60。乘 7、除以 60、再减 1，这些操作乘除的都是正数，所以两个不等号方向都保持不变，两个端点均不能取到。

复合不等式 11 < 60(1+x)/7 < 12 怎么解（三部分同步运算）

解集是开区间 (17/60, 2/5)。三个部分同时乘 7、除以 60、再减 1，乘除的都是正数所以不等号方向不变；把两个端点代回去正好取到 11 和 12，因此端点必须排除。

连不等式 16 < 3y − 8 ≤ 40 怎么解：三边同时运算

解集是 8 < y ≤ 16，即区间 (8, 16]。三个部分同时加 8、再同时除以 3，除数为正所以两个不等号方向都不变；右端带等号，故 y = 16 能取到，而左端是严格不等号，y = 8 要排除。

拆开连不等式解 5x − 4 > 3 ≥ 1 − x

解集是 x > 7/5。未知数出现在链条的两端，不能三段一起运算，必须拆成两个不等式分别求解，再把两个解集取交集。

解连不等式 7 < 60(1+x)/7 < 8，为什么解集全是负数

答案是 −11/60 < x < −1/15。因为 60/7 本身已经约等于 8.57，要落进 (7, 8) 这个窗口，1 + x 必须被压到 1 以下，所以两个端点都是负数。

为什么 8 < 60(1+x)/7 < 7 根本无解

这个不等式无解。它要求同一个数既大于 8 又小于 7；照常做代数变形，最后得到的上下界正好颠倒，印证了这一点。

解 8 < 60(1+x)/7 < 9：一个跨过 0 的解集区间

答案是 −1/15 < x < 1/20。这个区间会跨过 0，因为 60/7 约等于 8.57，x = 0 时中间的式子已经落在目标范围里了。

连写的不等式链无解：常数本身就自相矛盾

这题无解。把 4018 − 2734 算成 1284 之后，链条同时要求 3818 ≤ 499x − 20y < 1284 和 1284 ≤ 33x − 78y < −2534，两段的下界都大于上界，都不可能成立。

解连不等式 −4 ≤ 3x − 1 ≤ 8

答案是 −1 ≤ x ≤ 3。三个部分一起处理：先都加 1 得到 −3 ≤ 3x ≤ 9，再同时除以正数 3，不等号不需要变向。

解 1/6 < (2x−13)/12 ≤ 2/3：去分母后端点的开闭怎么定

解集是 15/2 < x ≤ 21/2，即区间 (7.5, 10.5]。三边同乘 12 得 2 < 2x − 13 ≤ 8，再加 13、除以 2；左端来自严格不等号取不到，右端来自 ≤ 可以取到。

由 5logx − 4log(x²+1) + 5log(x−1) = logA 求 A

A = x⁵(x − 1)⁵ / (x² + 1)⁴。用幂的运算法则把每个系数搬进指数，系数为负的那一项就落到分母上；答案还要带上定义域 x > 1。

(x²−16)/(1+4x−5x²) ≥ 0 有多少个整数解

答案是 7 个整数：−4、−3、−2、−1、2、3、4。分子分母都因式分解，注意分母提负号时不等号要翻向，再按 −4、−1/5、1、4 列符号表逐段判号。

特征多项式为 x³(x−1)⁴ 的复矩阵有多少个相似类

一共 15 个相似类。在复数域上若尔当标准形是完全不变量，所以答案就是 p(3)·p(4) = 3·5 = 15，即两个特征值重数各自的整数分拆数相乘。

解立方根方程 ∛(5 − 3x) = 4：为什么不用检验增根

答案是 x = −59/3，约 −19.667。两边同时立方得 5 − 3x = 64；与平方根不同，立方根没有定义域限制，也不会产生增根，解永远唯一。

解方程 (2x + 2)^(1/3) = −4：分数指数与立方根

实数解是 x = −33。两边同时立方消掉 1/3 次幂，解出 2x + 2 = −64，并说明为什么奇次方根不会像平方那样产生增根。

解三次方程 1.5708x³ − 0.01446x² + 1.35803e−5 x + 1.0159e−12 = 0

三个实根是 x ≈ −7.4802e−8、0.00106167 和 0.00814390。先令 x = t/1000 做尺度变换，量级悬殊的小数系数就变成了一个性态良好的三次方程。

三次方程 20.2x³ − 80.8x² + 60.6 = 0 怎么解：试根加综合除法

三个根是 x = 1 和 x = (3 ± √21)/2 ≈ 3.791288、−0.791288。先乘 10 去掉小数并约简成整数系数，试出有理根 1，用综合除法降次解二次方程，最后用韦达定理验算。

用卡尔达诺公式解三次方程 2s³ + 33s² + 180s + 300 = 0

一个实根 s ≈ −3.086409，一对共轭复根 −6.706796 ± 1.902385i。方程没有有理根，先降次成 y³ − 3y/4 − 49/4 = 0，再套卡尔达诺公式。

解 2x³+33x²+180x−300 = 0：为什么只有一个实根

唯一的实根是 x ≈ 1.3210837。判别式 −42,120,000 为负，所以卡尔达诺公式给出一个实根加一对共轭复根；这个三次式没有有理根，硬凑因式是行不通的。

解 3.68x³ + 92.3x² − 500 = 0：求出三个实根

答案：x = −24.8617、−2.4502 和 2.2304。最快的检验是韦达定理：三根之和必须等于 −92.3/3.68 = −25.0815，三根之积等于 500/3.68 = 135.87。

用三角法解三次方程 49 − 112x + 21x² − x³ = 0

三个实根约为 0.4797、8.4956 和 12.0248。这个方程没有有理根，先化成不含二次项的 y³ − 35y + 49，再用不可约情形的余弦公式求出三个根。

解三次不等式 (x−1)(x+2)(x−3) < 0 并写成区间形式

解集是 (−∞, −2) ∪ (1, 3)。先求出三个零点把数轴分段，再用符号表逐段判断三个因式乘积的正负，最后注意严格不等号要把端点去掉。

解 (x³+1)(x²−2) < x(x³+1)：提公因式再逐个判号

解集是 (−∞, −1) ∪ (−1, 2)。提出公因式 x³ + 1 后化成 (x+1)²(x²−x+1)(x−2) < 0，只有 x − 2 可能为负，而 x = −1 处乘积为零必须挖掉。

用符号表解三次不等式 (x−2)(x+1)(x−4) < 0

解集是 (−∞, −1) ∪ (2, 4)。三个单根把数轴分成四段，各段符号交替出现；因为是严格不等号，三个根本身全都要排除在外。

已知零点和首项系数，求三次多项式的解析式

答案是 f(x) = 5(x + 3)(x − 6)(x − 10) = 5x³ − 65x² + 60x + 900。每个零点对应一个一次因式，首项系数 5 则定出了那个待定的比例常数。

看出这个三次方程其实是 (x − 0.005625)³ 加一个微小常数

唯一的实根是 x ≈ 0.00548128。认出 0.016875 = 3(0.005625)、9.4921875e−5 = 3(0.005625)²，整个三次式就塌缩成一个平移过的完全立方，剩下两根是共轭复数。

解三次方程 x³ + 12x² + 48x + 72 = 0：凑完全立方

唯一的实根是 x = −6。左边恰好是 (x+4)³ + 8，把方程化成 (x+4)³ = −8 后开立方即可；另两个根来自判别式为负的二次因式，是复数。

解缺一次项的三次方程 x³ - 14x² + 23 = 0

三个根是 x = -1.228936、1.348310 和 13.880626。由于缺了一次项，三根两两乘积之和为 0，这是检验数值解最有力的一条。

解 x³ − 245.711x² + 2.764156x + 0.074296 = 0 的三个根

三个根是 x = −0.012650903、0.023902272 和 245.699748632。求小根时可以丢掉 x³ 项化成二次方程，大根则用根之和 245.711 反推出来。

解 x³ − 245.711x² + 2.764156x + 0.093547 = 0 的三个根

三个根是 −0.014681475、0.025933162 和 245.699748313。先舍掉 x³ 求出两个贴近 0 的小根，再用根之和 245.711 把那个大根反推出来。

解三次方程 x³ − 245.711x² + 2.764156x + 0.115212 = 0

三个根是 x = −0.016747308、0.027999354 和 245.699747954。零点附近丢掉 x³ 求出两个小根，再用根之和 245.711 得到那个大根。

解量级悬殊的三次方程 x³ − 245.711x² + 2.764156x + 0.138128 = 0

三个根是 x = −0.018742545、0.029994971 和 245.699747574。先扔掉 x³ 项解出两个小根，再用三根之和 245.711 反推那个大根，最后用乘积验证。

解 x³ − 3x² + 3x − 2 = 0：认出它其实是 (x − 1)³ − 1

唯一的实数解是 x = 2。这个三次式正好是 (x − 1)³ − 1，方程于是化成 (x − 1)³ = 1，取实立方根得到 x − 1 = 1。

数值求解三次方程 x³ − 59x² − 420x + 10800 = 0

三个根是 x = −15.219737、11.273122 和 62.946615。10800 的因数没有一个是根，所以先靠变号把每个根框住，再用牛顿法逐个逼近。

解三次方程 x³ − 6x² + 11x − 6 = 1，只有一个实根

方程 x³ − 6x² + 11x − 6 = 1 只有一个实根 x ≈ 3.3247。左边可分解成 (x−1)(x−2)(x−3)，令 y = x − 2 化为 y³ − y − 1 = 0，判别式为负说明实根唯一。

x³ + 40x² + 400x + 2000 = 0 的实根 ≈ −28.3929，另有一对共轭复根

唯一实根 x ≈ −28.392868，另两根为共轭复根 −5.803566 ± 6.062907i。有理根检验先失败，作代换 x = y − 40/3 消去二次项得 y³ − 400y/3 + 38000/27，判别式大于 0 说明只有一个实根，再用卡尔达诺公式求值，最后用韦达定理验算。

摩托车比自行车快 40 km/h，骑车人走 30 km 用多久

骑车人用 1.5 小时，速度是 20 km/h。列式 30/v − 30/(v + 40) = 1，去分母化成 v² + 40v − 1200 = 0，它唯一的正根是 20。

已知 5 个函数值，求四次多项式所有根之和

所有根之和是 10。先减去 1、5、9、13 所在的直线 4x − 3，把差式分解成 a(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)，再用韦达定理，常数 a 恰好被约掉。

解八次方程：识破它其实是「完全平方加 1」

这个方程没有实数解。多项式恰好等于 (x⁴ − x³ + x² − x + 1)² + 1，而实数的平方永远不可能等于 −1，所以它在实轴上的最小值大于 1。

由 a² + (φx)² = c² 求 a：嵌套根式 √(6 − 2√5) 怎么化简

答案是 a = (√5 − 1)c/4。看着吓人的 √(6 − 2√5) 其实能脱套，因为 6 − 2√5 恰好是 (√5 − 1)² 这个完全平方，结果正是黄金比的倒数的一半。

双重根号化简：√(11 − √120) 怎么化成 √6 − √5

这个双重根号等于 √6 − √5 ≈ 0.2134。先把 11 − √120 写成 11 − 2√30，再找满足 m + n = 11、mn = 30 的 m 和 n，凑出完全平方 (√6 − √5)²。

作出 x + y ≤ 6 且 x ≥ 2 的解集：一个无界的角形区域

解集是以 (2,4) 为顶点的无界区域，左边界为 x = 2、上边界为 y = 6 − x。把每个不等式解成关于 y 的形式，两个半平面的公共部分就很容易画出来。

三阶行列式 [[9,2,2],[28,8,8],[18,5,4]] = −16

行列式的值是 −16。按第一行展开：9(32−40) − 2(112−144) + 2(140−144) = −72 + 64 − 8 = −16。文中还用提取公因数与行变换给出更省力的算法。

三阶行列式 [[9,2,2],[27,7,7],[18,5,4]] = −9（代数余子式）

行列式的值是 −9。按第一行展开：9(28−35) − 2(108−126) + 2(135−126) = −63 + 36 + 18 = −9。文末再用列变换造零的方法复核一遍。

四阶行列式 [[18,5,7,8],[18,3,4,4],[9,1,1,1],[9,2,3,4]] = 9

行列式的值是 9。先用第三行的倍数把第一列消成只剩一个 9，再按该列展开，剩下的三阶行列式算得 1，最后相乘即可。

四阶行列式 [[19,5,7,8],[18,4,4,4],[9,1,2,1],[9,2,3,4]] = −46

行列式的值是 −46。经过两轮行变换，把第一列化到只在左上角剩一个 1，再展开求出一个等于 −46 的三阶行列式即可。

用平方差公式化简 (2x+1)² − (2x−1)²

答案是 8x。不必把两个平方都展开，直接用 A² − B² = (A−B)(A+B)，取 A = 2x+1、B = 2x−1，二次项根本不会出现。文末用直接展开复核。

用平方差公式展开 4(x + 3)(x − 3)

4(x+3)(x−3) = 4(x²−9) = 4x²−36。两个括号是一对共轭式，用 a²−b² 一步就能合并，不必做完整的多项式乘法。反过来读，它也给出 4x²−36 的因式分解。

化简两个立方型分式平方之差

整个式子化为 −16a(a²+2)(a²+8)/(a²−4)²。关键是认出 a³+8 与 a³−8 的立方公式，把每个平方先并成一个分式再作减法，最后完全因式分解。

把 x²/9 − ((2x/3 − m)/4)² 用平方差公式分解

答案是 (2x + 3m)(2x − m)/48。两项本来就都是完全平方，取 a = x/3、b = (2x/3 − m)/4 = x/6 − m/4，直接套 a² − b² 即可。

用 A²−B²=(A−B)(A+B) 化简 (x+2y)² − (x−2y)²

答案是 8xy。按平方差公式分解，两个因式分别是 4y 和 2x，所有平方项在你动手展开之前就已经抵消了。文末给出展开验算与数值抽查。

把两个完全立方展开式之差因式分解

每个 20 项的式子都是一个完全立方，所以整体是 A³ − B³，而 A − B = (c − e)(y − b)。认出立方结构，就把 40 项压缩成三个因式。

化简 (9a²−4)/(2−3a) − (6a²−5a−6)/(3−2a) 结果为 0

答案是 0。两个分式各自约分后都等于 −(3a+2)，因为颠倒次序的分母恰好提供了一个因数 −1，所以相减后恒等于零。文中列出排除值。

求 f(x) = 5x² − 3x + 9 的差商并化简

差商化简后是 10x + 5h − 3。展开 f(x+h) 后所有不含 h 的项都抵消，于是分子能提出 h、正好与分母约掉。令 h→0 就得到导数 10x − 3。

求 f(x) = 7/(3x − 1) 的差商：通分后约分

结果是 −21/((3x+3h−1)(3x−1))。把括号里的两个分式先通分，分子就塌缩成 −21h，分母上的 h 随即约掉。令 h→0 得到导数 −21/(3x−1)²。

求二次函数 f(x) = x²−5x+2 的差商并化简

差商化简后是 2x + h − 5。展开 f(x+h)、减去 f(x)、把分子提出公因式 h 再约掉，并说明为什么不含 h 的项一定会全部抵消。

把 f(x) = −x² + 7x + 2 的差商写成 Ax + Bh + C

差商化简为 −2x − h + 7，所以 A = −2、B = −1、C = 7。所有不含 h 的项都抵消，分母上的 h 才能约掉。令 h→0 即得导数 −2x + 7。

√(5x + 1) 的差商：分子有理化

结果是 5/(√(5x+5h+1) + √(5x+1))。乘以共轭式后，两个根号之差变成 5h，分母上的 h 就能约掉。令 h→0 得到导数 5/(2√(5x+1))。

由 (m²+n²+1)(m²+n²+3) = 8 求点 P 到原点的距离

OP = 1。作整体换元 t = m² + n²，条件化成 t² + 4t − 5 = 0，两根是 1 和 −5；平方和不可能为负，所以只有 t = 1 能留下来。

(2m² + 3m − 4) ÷ (m + 5) 综合除法一步步算

答案是 2m − 7 + 31/(m + 5)。先按降幂重排成 2m² + 3m − 4，再用根 −5 做综合除法，最后把 m = −5 代回分子，验证余数确实是 31。

2x³+x²−4x−2 除以 2x+1：商是 x²−2，余数为 0

答案是商 x² − 2、余数 0。长除法两步就除尽；用分组分解也能确认，因为 2x³+x²−4x−2 恰好等于 x²(2x+1) − 2(2x+1)。

多项式长除法：2x² − 1 除以 2x + 1 的商与余数

商是 x − 1/2，余数是 −1/2。先把缺失的 0x 项补上，再两次做首项相除；除式首项系数不是 1，所以商里出现分数是正常的。

(2x² + 2x + 1) ÷ (2x + 3) 的商与余式怎么求

商是 x − 1/2，余式是 5/2。两轮首项相除就能做完；除式首项系数不是 1，所以商里出现分数是正常的，最后用带余除法恒等式回验。

化简 (2x²+7x+3)/(x+3)：先把分子因式分解再约分

答案是 2x + 1，且 x ≠ −3。用 6 和 1 拆开中间项，分组分解成 (2x+1)(x+3)，再约掉公共的二项式因式；x = −3 处留下一个可去间断点。

(3p² + 4p − 2) ÷ (p − 1)：商是 3p + 7，余数是 5

结果是 3p + 7 + 5/(p − 1)。先把分子按降幂排好，再用综合除法除以根 1；余数 5 恰好等于分子在 p = 1 处的取值。

(3x² − 5) ÷ (x + 1)：求商与余数

商是 3x − 3，余数是 −2。做除法之前先补上缺失的 0x 项，算完再用余数定理在 x = −1 处代入验算。

用长除法计算 (3x⁴ − 4x² + 8x − 1) ÷ (x − 2)

商是 3x³ + 6x² + 8x + 24，余数 47。关键是缺掉的 x³ 项必须先补成 0x³ 再除，最后可以用余数定理算 f(2) = 47 快速核对。

(4a²−b²)/(b+2a) 除以 (b−2a)²，化简结果是 1/(2a−b)

把 4a² − b² 用平方差分解成 (2a−b)(2a+b)，其中 (2a+b) 与 (b+2a) 约掉，剩下 (2a−b)/(b−2a)²，再化简就得到 1/(2a−b)。

(4p² − 5p + 4) ÷ (p − 2)：综合除法与余数 10

答案是 4p + 3 + 10/(p − 2)。先把分子按降幂排成 4p² − 5p + 4，用根 2 做综合除法，再把 p = 2 代入分子验证余数确实是 10。

分式除法：(9−a²)/(a²−8a+15) 除以 (2a²−10a)/(a²−10a+25)

化简结果是 −(a+3)/(2a)，且 a ≠ 0, 3, 5。关键在于把 9 − a² 分解成 −(a−3)(a+3) 不丢负号，再把除法改成乘以倒数逐个约分。

用综合除法算 2x⁴ - x³ - 5x² + 2x + 2 除以 x - 1

商是 2x³ + x² - 4x - 2，余数为 0，所以 x = 1 是一个根。综合除法最后一行直接给出商的各项系数。

分式除法化简：四个二次式分解后只剩 (a−1)/(a−2)

四个二次式分别分解成 (a−6)(a+3)、(2a+1)(a−6)、(a+3)(a−2) 和 (2a+1)(a−1)。除号变乘号后约掉三对相同因式，最后只剩 (a−1)/(a−2)。

(20x²y² + 16x²y − 12xy²) 除以单项式 4xy

商是 5xy + 4x − 3y。把一个分式拆成三个分式，系数相除、同底数幂指数相减，最后再用「除式 × 商」乘回去，看是不是原来的被除式。

用综合除法计算 (f³ + 64) ÷ (f + 4)

答案是 f² − 4f + 16，余数为 0。先把缺失的 f² 项和 f 项写成 0，用 −4 做综合除法，最后认出这其实是立方和的因式分解。

用综合除法计算 (j³ − 64) ÷ (j − 4)

答案是 j² + 4j + 16，余数为 0。系数按 1, 0, 0, −64 排开，根取 +4；这其实就是立方差公式，所以商里的三项符号全是正的。

x³ 除以 x + 1：商是 x² − x + 1，余数为 −1

结果是 x² − x + 1 − 1/(x + 1)。把分子补成 x³ + 0x² + 0x + 0 再做长除法，得商 x² − x + 1、余数 −1，与余数定理算出的 f(−1) 完全一致。

长除法：x³ − 3x² + 5x − 3 除以 x − 1

商是 x² − 2x + 3，余数为 0，说明 x − 1 是它的一个因式。完整走三轮「除—乘—减」，最后再用因式定理复核一遍。

(x³ + 6x² + 11x + 6) ÷ (x² + 4x + 3)：除式是二次式怎么做长除法

商是 x + 2，余式为 0。三次除以二次，商必然是一次的，只需两轮；关键是每轮都用 x² 去除首项，而不是用 x，最后用因式分解交叉验证。

(x⁴ + 5x³ − 3x − 15) 除以 (x³ − 3) 的商怎么求

(x⁴ + 5x³ − 3x − 15) ÷ (x³ − 3) 的商是 x + 5，余式为 0。先比次数确定商是一次式，再做长除法，最后用分组分解法和 x = 2 代入两重验算。

(x² − 12x + 5) ÷ (3x + 9)：商 x/3 − 5，余数 50

商是 (x/3) − 5，余数是 50。除式首项是 3x 而被除式首项是 x²，所以商里必然出现分数系数；不能先把 3 提到括号外，否则余数的含义就变了。最后用被除式 = 除式×商 + 余数验算。

多项式长除法：x⁵ + 20x³ − x − 8 除以 x² − 2x + 7

商是 x³ + 2x² + 17x + 20，余式为 −80x − 148。先把两个多项式按降幂排好、给缺项补零，再做四轮「除—乘—减」即可。

(y² − 81) 除以一个分式：乘倒数、分解、约分

结果是 (y − 9)(y² + 9)/(y − 5)。先把除法改写成乘以倒数，再把平方差和二次三项式都分解，最后约掉上下共有的因式 (y + 9)。

多项式除法表里缺的那一格 A 是多少

答案是 A = 5。用 x + 1 去除 2x³ − x² + 2x + 5，商是 2x² − 3x + 5，所以标着 A 的第三项（常数项）就是 5。

求 f(x) = 1/√(x + 2) 的定义域，用区间表示

定义域是开区间 (−2, +∞)。根号里的式子要非负，分母又不能为零，两个条件叠在一起，把 x + 2 逼成了严格大于 0。

分解分母求 2/(x² − 12x + 35) 的定义域

定义域是除去 5 和 7 之外的全体实数，写成三段区间。把分母分解成 (x − 5)(x − 7)，就能一眼看出是哪两个值让它变成零。

(2x+1)/(x⁴ − 5x² + 4) 的定义域怎么写成区间

定义域要挖掉 x = ±1 和 ±2 这四个点，剩下五个开区间。分母是双二次式，令 u = x² 分解成 (x²−1)(x²−4) 就能一次找齐所有零点。

求 f(x) = 6/(x−15) + 6/(x+12) 的定义域并用区间表示

定义域是 (−∞, −12) ∪ (−12, 15) ∪ (15, +∞)。两个分母分别为零给出 x = 15 和 x = −12，把这两点从实数轴上挖掉即可；限制必须从原式读，不能等通分约分后再看。

求繁分式函数 f(x) = 1/(8/(x−5) − 2) 的定义域

定义域是 (−∞, 5) ∪ (5, 9) ∪ (9, ∞)。繁分式里藏着两个限制：内层分母和外层分母都不能为零，先化简再求定义域就会把 x ≠ 5 弄丢。

求分式函数 f(x) = (2x + 9)/(x³ + 3x² − x − 3) 的定义域

定义域是 (−∞, −3) ∪ (−3, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, +∞)。分母用分组分解得到 (x − 1)(x + 1)(x + 3)，三个根 x = 1、−1、−3 让分母为零必须挖掉；分子在这些点都不为零，所以它们是真正的垂直渐近线。

两个多项式函数之差 f − g 的定义域是什么

定义域是 (−∞, +∞)。f(x) = 2 − x² 与 g(x) = x² + 4x − 60 都是多项式，对每个实数都有定义，它们的差自然也处处有定义。

求 √(x−4) + √(x+15) 的定义域，用区间表示

定义域是 [4, +∞)。两个根号里的式子都必须大于等于 0，分别给出 x ≥ 4 和 x ≥ −15；取交集后只留下更严格的那一个条件。

求 f(x) = √(x + 10) 的定义域，用区间表示

定义域是 [−10, +∞)。根号下必须非负，由 x + 10 ≥ 0 解得 x ≥ −10；因为 √0 = 0 是有意义的，所以 −10 本身也要包含进来。

f(x) = x² − 2x + 9 的定义域怎么求（用区间表示）

定义域是 (−∞, +∞)。多项式既没有分母，也没有偶次根号和对数，任何实数都能代进去；判别式为负只限制值域，跟定义域无关。

求 f(x) = √(4x − 12) 的定义域，用区间表示

定义域是 [3, +∞)。根号要求被开方数非负，由 4x − 12 ≥ 0 解得 x ≥ 3；左端点要取到，因为 √0 = 0 是有定义的。

x / ∛(x² − 36) 的定义域：立方根可以取负数

定义域是 (−∞,−6) ∪ (−6,6) ∪ (6,∞)。立方根对任何实数都有定义，所以只需排除让根号内为零、也就是让分母为零的那两个点。

解双向不等式 −1 < x² − x − 1 < 1：中间是二次式必须拆开

解集是 (−1, 0) ∪ (1, 2)。中间不是单调的一次式，不能三边同时加减，必须拆成两个二次不等式分别解，再取交集，中间会被挖掉 [0, 1] 这一段。

若 a − 2b + 4c = 0 且方程有两个相等实根，则 a = b

正确结论是 a = b。把 b² = 4ac 与 2b = a + 4c 联立，得到 (a − 4c)² = 0，于是 a = 4c；再代回去得 b = 4c，所以 a = b。

解方程 (5x + 7)² = (5x − 6)²：分两种情况讨论

唯一的根是 x = −0.1。两数平方相等意味着 5x + 7 = ±(5x − 6)；取正号得到 7 = −6 不成立，取负号得到 10x = −1。

求过 (10, −5) 和 (1, −8) 的直线方程（斜截式）

直线是 y = x/3 − 25/3。斜率里两个负号相除得到正的 1/3；截距是分数，要保留精确值，不要写成小数。

求过 (−6, 1) 和 (−3, 7) 的直线方程（斜截式）

直线是 y = 2x + 13。横坐标是负数时，减去负数等于加，横向变化量是 3 而不是 −9；斜率 2 比较陡，所以截距比两点的纵坐标都高出不少。

解 (x+1)² + (x−1)² = (x+1)² + (1−x)²：其实是恒等式

任何实数都是它的解。因为 1 − x 与 x − 1 互为相反数，平方之后完全相等，所以等号两边根本就是同一个式子。

x² 项互相抵消的分数方程：解出 x = 11

解是 x = 11。两边展开后，x² 项都是 (1/2)x²，正好抵消，剩下的是一个一元一次方程，解出来就是 11。

解 (7/20)x + (x−2)/15 + x²/12 = (x+3)²/12 − (2x+3)/20，x² 会抵消

解是 x = 44。把 (x+3)² 展开后两边都出现 x²/12，直接抵消，看起来是二次方程，实际只剩一个分母为 12 和 20 的一元一次方程。

按运算顺序求 2 + 8(x − 2)³ 在 x = 6 处的值

结果是 514。先算括号里得 4，再立方得 64，乘以 8 得 512，最后才把括号外面那个 2 加上去。

求 C = 8x³ + 12x³ + 6x + 1 在 x = 1/2 处的值

结果是 13/2，即 6.5。先合并同类项把 8x³ + 12x³ 化成 20x³，这样 (1/2)³ 只需算一次，再算出 5/2、3、1 三部分通分相加，最后用小数验算。

求 (2x + 3)² − (2x − 1)² − 6x 在 x = 1 处的值：两种算法

值是 18。用平方差公式把前两项化成 (4x + 2)·4 = 16x + 8，整个式子其实是一次式 10x + 8，在 x = 1 处等于 18。

先化简再代入：(2x+5)² − 4(x+3)(x−3) 在 x = 1/20 处的值

结果是 62。先展开会把整个式子塌缩成 20x + 61，这样 x = 1/20 这个别扭的分数就根本不用去求平方了。

x = 1/2 时 8x³ + 12x³ + 6x + 1 的值：先合并同类项

把 8x³ 和 12x³ 合并成 20x³ + 6x + 1，代入 x = 1/2 得 5/2 + 3 + 1 = 13/2。注意别看成 8x³ + 12x² + 6x + 1 = (2x + 1)³，那样算出来是 8。

已知 3x − 2y = 20，求 9x² − 12xy + 4y² 的值

答案是 400。9x² 与 4y² 都是完全平方，而 12xy 恰好是两个平方根乘积的两倍，所以整个式子收成 (3x − 2y)² = 20²。

已知 x/y = 2/3，求 (3x²−2xy+5y²)/(5x²−3xy+3y²) 的值

答案是 45/29。分子分母都是二次齐次式，值只由比值 x:y 决定，所以设 x = 2k、y = 3k 代入即可约去 k²；文末还给出分子分母同除以 y² 换成 r = x/y 的更快解法。

求 −28.9 ln(x) + 64.449 在 x = 90.1 处的值：别提前取整

结果约为 −65.63。要把 ln(90.1) = 4.500920 保留到小数点后六位：改用 4.5017 这样的粗糙值，答案会跑到 −65.65，因为 −28.9 会把误差放大约 29 倍。

三段分段函数在 x = 4 处的值怎么求

答案是 f(4) = 9。先判断 x = 4 满足哪个条件：它落在 3 ≤ x ≤ 10 里，所以用中间那条式子 x² − 7，算得 16 − 7 = 9。

分段函数 g 在 x = −1、7、0、−2 处的取值

g(−1) = −6，g(7) = 38，g(0) = −4，而 g(−2) 无定义。第一段要求 −2 < x，是严格不等号，把端点 −2 本身排除在外。

m = 3、n = 2 时 m − m²n/(3n) 的值：先把 n 约掉

结果是 0。代入 m = 3、n = 2 得 3 − 18/6 = 3 − 3；先把 n 约掉会更清楚：式子其实就是 m − m²/3，在 m = 3 处正好为零，跟 n 取多少无关。

求和式 Σ(i² − 1)（i 从 2 到 5）的值怎么算

Σ(i² − 1)（i 从 2 到 5）等于 50。逐项代入得 3 + 8 + 15 + 24，再用平方和公式拆成 54 − 4 验证，并指出把 −1 只减一次的常见错误。

求 x² − 5(x − y) 在 x = 8、y = 4 时的值

结果是 44。先把数值代进去，再按运算顺序处理括号和乘方，然后才做乘法和减法：64 − 5(4) = 64 − 20 = 44。

代入 x = 7 求 x² − 6x + 3 的值

结果是 10。把 x = 7 代入得到 49 − 42 + 3：先平方再做乘法，6x 整体算作一次减法，最后从左到右算完。

已知 x − 4y = 5，求 x² − 8xy + 16y² 的值

值是 25。这个式子恰好是完全平方 (x − 4y)²，所以可以把已知条件整体代进去，根本不需要分别求出 x 和 y 各是多少。

已知 x = 2、y = x 乘 x，代入求 y 的值

答案是 y = 4。整个方法就是代入：把第二个式子里的 x 换成它的值，得到 2 乘 2，等于 4，而不是 2 加 2。

已知 z = 2 + i、u = 3 − 2i，求 z² − 3u³ + 2v 的值

结果是 29 + (142 − √3)i。(3 − 2i)³ = −9 − 46i，乘上 −3 变成 27 + 138i，实部虚部都由它主导；先平方再乘一次比直接展开立方稳得多。

证明任意矩阵都存在广义逆 B，使得 ABA = A

用秩标准形 PAQ = D 把问题化到分块矩阵上：先给 D 造一个把维数交换过的同形块矩阵，验证 DD⁻D = D，再取 B = QD⁻P 变回去。广义逆一般不唯一，只有 A 可逆时才与逆矩阵重合。

展开并化简 (1 − 2x)(5 − 3x) + (4 − x)²

结果是 7x² − 21x + 21。乘积用 FOIL 展开，平方用完全平方公式展开，再逐项相加合并；三个系数还都含公因数 7。

用配对计数法展开 (1 + x + x² + x³)² − x³

结果是 x⁶ + 2x⁵ + 3x⁴ + 3x³ + 3x² + 2x + 1。平方后的系数是回文的 1、2、3、4、3、2、1，减去 x³ 只把中间的 4 降成 3。

展开 (10x³+3x+8)(4x³−8x−9)：逐项相乘再按次数合并

乘积是 40x⁶ − 68x⁴ − 58x³ − 24x² − 91x − 72。把左边三项分别乘遍右边三项得到九项，再按次数归并同类项，最后用首项和常数项快速核对。

展开 (2x − √2x − 1)(2x + √2x − 1)：用平方差公式

乘积化简后是 4x² − 6x + 1。把 (2x−1) 看成一整块、√(2x) 看成另一块，整个乘积就变成 (2x−1)² − 2x，根号一步就消掉了。

用完全平方公式展开 (4x² − 3)²

(4x² − 3)² 展开后是 16x⁴ − 24x² + 9。套用 (a − b)² = a² − 2ab + b²，取 a = 4x²、b = 3，比一项一项去乘要快得多。

展开 5(x−3)(x²+4x+1)：最后那个 5 千万别忘了乘

展开结果是 5x³ + 5x² − 55x − 15。先乘两个括号得 x³ + x² − 11x − 3，再把 5 分配进去；常见选项里给的正是没乘 5 的那个式子。

展开 (515 − 0.27x) × 98²：先算平方再用乘法分配律

(515 − 0.27x) × 98² = 4946060 − 2593.08x。先把 98 平方算成 9604，再分配：515 × 9604 = 4946060，0.27 × 9604 = 2593.08 就是 x 项的系数。

展开 (5x² + 6x)(9x² − 8)：多项式相乘的分配律做法

展开结果是 45x⁴ + 54x³ − 40x² − 48x。先数清应该得到 4 项，再逐项用分配律相乘并按次数排列；四项次数各不相同，没有同类项可合并，最后代 x = 1 验算。

七项多项式乘以 5y²：单项式乘多项式怎么展开

展开结果是 5x²y³ − 10xy² − 25y⁶ − 10y⁵ + 25y⁴ + 30y³ − 25y²。系数一律乘 5，x 的次数不变，y 的次数一律加 2。

展开 (7x + 7)(x² + 4x − 7)：两项各乘遍三项

乘积是 7x³ + 35x² − 21x − 49。先用 7x 乘遍三项式，再用 7 乘一遍，然后把两个 x² 项和两个 x 项各自合并。

逐项相乘展开 (7x²+7x−5)(5x²−4x+2)

乘积是 35x⁴ + 7x³ − 39x² + 34x − 10。把左边的三项分别乘遍右边的三项式，再按 x 的次数合并同类项。

展开 (98 − 0.18x) × 270² 得到 7144200 − 13122x

(98 − 0.18x) × 270² = 7144200 − 13122x。先算出 270² = 72900，再分别算 98 × 72900 = 7144200 和 0.18 × 72900 = 13122，x 的系数正好是整数。

展开 (8 − 6xy − x²y² − 6x³ − 5y³ − 7y + 4x) × 8xy

展开结果是 −48x⁴y − 8x³y³ − 48x²y² + 32x²y − 40xy⁴ − 56xy² + 64xy。把 8xy 逐项乘进去，系数相乘，x 与 y 的指数各自相加。

展开并合并 ((a₁(x−y)+b₁)(x−y)+(a₂y+b₂)y)/x

分子展开后是 a₁x² − 2a₁xy + (a₁+a₂)y² + b₁x + (b₂−b₁)y。原式写成了秦九韶（Horner）式的嵌套形式，一层一层往外拆最稳妥。

展开 (515−0.27x)(368−0.27x)(98−0.18x)：两个括号先乘

结果是 −0.013122x³ + 50.058x² − 57477.78x + 18572960。三个一次因式相乘必得三次式，先乘系数相同的那两个括号，最后用首项和常数项两头对账。

展开化简 (1 + √2)(√2 − 4)：含根号的二项式相乘

结果是 −2 − 3√2。用 FOIL 把四项都乘出来，关键一步是 √2·√2 = 2，再把有理数项与含 √2 的项分别合并，最后代入小数验算。

√6(2 − √7) 怎么展开化简：根式的分配律

结果是 2√6 − √42。先把根号按分配律乘进括号，再用 √6·√7 = √42 把两个根号并成一个；42 = 2·3·7 没有平方因子，所以已是最简。

展开 (m − 2)²：完全平方公式，中间项千万别丢

答案是 m² − 4m + 4。中间项是 m 与 2 乘积的两倍并带负号，末项则是正的，因为平方永远不会是负数。

把 −6(7 − 3x³) + 2x(x² − 3) 化成降幂排列的多项式

标准形式是 20x³ − 6x − 42。把两个乘积分别展开，留意 −6 乘 −3x³ 时负负得正，最后把两个三次项合并起来。

把 (1/3)(x − 2)² − 3 展开成一般式

一般式是 x²/3 − 4x/3 − 5/3。先把括号平方，再把 1/3 乘进去，最后把 3 写成 9/3 与 4/3 合并，得到 −5/3。

把 (1/3)(x − 5)(x + 1) 展开成一般式

答案是 x²/3 − 4x/3 − 5/3。先把两个括号乘开得到 x² − 4x − 5，再把 1/3 分配到全部三项上，而不是只乘在首项前面。

展开化简 (p − 1)(q − 1) + 1，结果是 pq − p − q + 2

答案是 pq − p − q + 2。先展开得到 pq − p − q + 1，括号外那个 1 会把常数项抬到 2，而不是把它抵消掉。

展开 (√2 + √3 + √5)² = 10 + 2√6 + 2√10 + 2√15

用三项和的平方公式 (a+b+c)² = a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)：平方项给出 2+3+5 = 10，三个交叉项给出 2√6 + 2√10 + 2√15，一共三个不能漏。

用二项式定理展开 (x − 2/√x) 的四次方

答案是 x⁴ − 8x^(5/2) + 24x − 32/√x + 16/x²。分数指数让每一项的次数每次降 3/2 而不是降 1，这里最容易出错。

化简 (x+1)⁴ − (x+3)⁴ − 272 = −8(x³ + 6x² + 13x + 44)

结果是 −8x³ − 48x² − 104x − 352，即 −8(x³ + 6x² + 13x + 44)。用二项式定理逐项展开，两个 x⁴ 项相消后次数降到三次，再提出公因数 −8；代入 x = 0 和 x = 1 可快速验算。

用 FOIL 展开 (x + 2)(x − 3)，结果是 x² − x − 6

乘积是 x² − x − 6。外项 −3x 与内项 +2x 合并成 −x，两个常数因为符号相反，相乘得到 −6。

用 FOIL 法则展开 (x + 2)(x + 5)

乘积是 x² + 7x + 10。FOIL 给出 x²、5x、2x 和 10；中间两项之所以合成 7x，是因为 2 与 5 的和是 7、积是 10。

用完全平方展开 (x²+8x+16)(x²−4x+4)

乘积是 x⁴ + 4x³ − 12x² − 32x + 64。两个因式都是完全平方，所以整个乘积可以收成 (x² + 2x − 8)²，只需要平方一次。

指数方程 9 的 (x − 1/2) 次方 − 4/3 的 (1 − x) 次方 = −1 怎么解

答案是 x = 0 和 x = 1。把 9 写成 3 的平方，再用负指数把分母那一项挪上来，令 t = 3 的 (x − 1) 次方，方程就化成二次方程 3t² − 4t + 1 = 0。

换元 t = 2^x 解指数分式不等式 1/(2^x+21) ≤ 3/(2^(x+2)−1)

解集是 −2 < x ≤ 6。令 t = 2^x 把它化成分式不等式，两边通分后列符号表定出 t 的范围，再把 t 的边界换回 x。

解指数不等式 (2/5)^x < √((4/25)^((3x+2)/x))

解集是 ((3−√17)/2, 0) ∪ ((3+√17)/2, +∞)。先把两边化成同底，因为底数 2/5 小于 1 要把不等号反向，再对 (x²−3x−2)/x 列符号表判号。

解指数分式不等式 (10ˣ − 25·2ˣ − 2·5ˣ + 50)/(5x − x² − 4) ≥ 0

解集是 2 ≤ x < 4。把 10ˣ 拆成 2ˣ·5ˣ 后分组分解出 (2ˣ − 2)(5ˣ − 25)，分母分解为 (x − 1)(4 − x)，再列四段符号表；x = 1 分子分母同时为零，永远取不到。

解指数分式不等式 (14^x − 7^(x+1) − 2^(x+1) + 14)/(−x² + 4x) ≥ 0

解集是 0 < x ≤ log₇2 或 log₂7 ≤ x < 4。把 14^x 写成 2^x·7^x 后分组，分子分解成 (7^x − 2)(2^x − 7)，分母分解成 x(4 − x)，再列符号表逐段判号。

分子是完全平方的指数分式不等式怎么解

解集是 x = 0 以及 1 < x < log₂3。令 t = 2^x 化成分式不等式，第三个分母恰好等于前两个之积；通分后分子是 2(t−1)²，恒非负，于是只剩分子为零或分母为负两种情况。

由 12(x + 1) = 7(y − 1) 用 y 表示 x，并求 x = 2 时的 y

去括号得 12x + 12 = 7y - 7，所以 x = (7y - 19)/12。把 x = 2 代回原式得 36 = 7y - 7，于是 y = 43/7。

把 (1/16)x⁶ + x³ + 4 彻底因式分解的完整过程

(1/16)x⁶ + x³ + 4 = (1/16)(x + 2)²(x² − 2x + 4)²。先换元 u = x³ 看出完全平方 (u + 8)²，再用立方和公式继续分解，剩下的二次式判别式为负，不能再分。

10x² − 3x − 4 分解因式 = (2x + 1)(5x − 4)

分解结果是 (2x + 1)(5x − 4)。二次项系数不是 1，用 ac 法（拆中间项）：先算 10 × (−4) = −40，找出积为 −40、和为 −3 的一对整数 5 与 −8，把 −3x 拆成 5x − 8x，再两两分组提公因式得到公共括号 2x + 1。十字相乘法本质相同。

用立方差公式分解 125x³ − 64 的完整步骤

125x³ − 64 = (5x − 4)(25x² + 20x + 16)。先确认 125x³ = (5x)³、64 = 4³，再套立方差公式 a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)；二次因式判别式是 −1200，在实数范围内不能再分解。

12x + 18 怎么因式分解：提取最大公因数 6

结果是 6(2x + 3)。12 = 2²·3、18 = 2·3²，公共质因数各取最低次幂得最大公因数 6；只有第一项含 x，所以字母提不出来。括号里的 2 与 3 互质，说明已经分解到底。

因式分解 12x² − 176x + 480：它在整数范围内分解不了

公因数是 4，提出后剩 3x² − 44x + 120，其判别式 496 不是完全平方数，所以根是 (22 ± 2√31)/3，而不是 6 和 20/3。

把 18abc² − 12a²b²c 分解到底：提公因式 6abc 的完整步骤

结果是 6abc(3c − 2ab)。系数取 18 与 12 的最大公约数 6，字母取每个变量在两项中的最低次幂 abc，再逐项相除得到括号，最后用展开和代数值两种方式验算。

分组分解 21x³ − 49x² − 18x + 42 并求出它的根

两两分组提取公因式得 (3x − 7)(7x² − 6)，根是 x = 7/3 与 ±√42/7 ≈ ±0.92582。文中说明为什么先试根会卡住：唯一的有理根是分数 7/3，在一堆候选里很容易漏掉。

因式分解 2x³ − x² − 5x − 2：拆成三个一次因式

答案是 (x − 2)(2x + 1)(x + 1)。分组分解在这里走不通，改用有理根定理试出 x = 2，综合除法除完剩下 2x² + 3x + 1，再拆中项分解。

提取公因式 x 分解 2x − 9xy

答案是 x(2 − 9y)。两项唯一共有的是 x：2 和 9 互质提不出数字，字母 y 又只出现在第二项里。

2x² − 10x − 12 分解因式 = 2(x − 6)(x + 1)

答案是 2(x − 6)(x + 1)。三个系数都是偶数，第一步必须先提公因数 2，括号里剩下首项系数为 1 的 x² − 5x − 6；再找乘积为 −6、和为 −5 的两个数 −6 与 1 即可。常见错误是漏掉提出来的 2，不过它不影响方程的根。

用 AC 分组法分解因式 2x² − 3x − 2

分解结果是 (x − 2)(2x + 1)。先算 2 × (−2) = −4，把 −3x 拆成 −4x + x，四项分组后提出公共的二项式因子即可。

2x² − 3x − 20 怎么因式分解：拆项分组法完整步骤

2x² − 3x − 20 = (2x + 5)(x − 4)。先算 ac = −40，找出积为 −40、和为 −3 的两个整数 5 和 −8，据此拆开中间项分组提取公因式，最后展开并代数值验算。

2x² − 4x + 1 能因式分解吗：判别式与带根号的因式

在整数范围内不能，但在实数范围内可以：2x² − 4x + 1 = (√2(x−1) − 1)(√2(x−1) + 1)。判别式为 8，大于 0 却不是完全平方数。

用分组分解法分解因式 2x² - x - 6xy + 3y

分解结果是 (2x - 1)(x - 3y)。把前两项提成 x(2x - 1)、后两项提成 -3y(2x - 1)，就露出了可以再提的公共括号。

提公因式分解 2x² + 4x：公因式怎么找才提得干净

2x² + 4x = 2x(x + 2)。公因式要把系数的 gcd(2, 4) = 2 和字母的最低次幂 x 一起提，再检查括号内提不动了，最后由零积性质读出根 x = 0 与 x = −2。

32x²y² − 24x 提公因式 = 8x(4xy² − 3)

答案是 8x(4xy² − 3)。数字部分取 32 与 24 的最大公约数 8，字母部分只取两项都含有的 x 的最低次幂；第二项没有 y，所以 y 提不出来。提完还要检查括号里能不能继续分解。

因式分解 3x³ + 7x² − 4 的完整步骤

3x³ + 7x² − 4 = (x + 1)(x + 2)(3x − 2)。先用有理根定理列候选根、试出 x = −1，综合除法降次得到 3x² + 4x − 4，再用 AC 法（十字相乘）拆成两个一次因式并展开验证。

3x² − 14xy + 15y² + 13x − 23y + 4 怎么因式分解：待定系数法

结果是 (3x − 5y + 1)(x − 3y + 4)。先把二次齐次部分分解成 (3x − 5y)(x − 3y)，再设两个待定常数 p、q，用 x 与 y 的一次项系数列方程组解出 p = 1、q = 4，展开验算无误。

用因式分解解四次方程 3x⁴ + 24x³ + 82x² + 136x + 63 = 0

它可分解为 (3x² + 12x + 7)(x² + 4x + 9)，得到两个实根 (−6 ± √15)/3 和一对共轭复根 −2 ± i√5。猜出来的分解式一定要展开回去核对。

分解 4AB² − 4A²B − B³：提出负号后识别完全平方

结果是 −B(2A − B)²。先提公因式 B，把括号按 A 降幂排列后提出负号，剩下的 4A² − 4AB + B² 正是完全平方；文中还说明整个式子的符号总与 B 相反。

分解 4m² − 4m − 5：为什么整数拆不开，用求根公式怎么写

两种整数拆法只能凑出 ±8m，判别式 Δ = 96 不是完全平方数，所以整数范围内分解不出来。两根为 (1 ± √6)/2，实数范围内 4m² − 4m − 5 = 4(m − (1+√6)/2)(m − (1−√6)/2)。

因式分解 4m²n − 8mn² − 2mn：提取公因式 2mn

答案是 2mn(2m − 4n − 1)。最后一项本身就等于公因式，提出去之后括号里留下的是 −1 而不是凭空消失，这一步最容易做错。

用平方差公式分解 4x² − 9 并解出方程的根

答案是 (2x − 3)(2x + 3)。两项都是完全平方：4x² 就是 (2x)²，9 就是 3²，所以 4x² − 9 = 0 的根是 x = 3/2 和 −3/2。

因式分解 4x²+4xy+y²−4x−2y−3 = (2x+y−3)(2x+y+1)

答案是 (2x + y − 3)(2x + y + 1)。二次部分恰好是完全平方 (2x + y)²，一次部分是 −2(2x + y)，于是换元 u = 2x + y 化成 u² − 2u − 3 再分解，最后把 u 还原回去。

分解因式 4x²y + 12xy + 9y，结果是 y(2x + 3)²

答案是 y(2x + 3)²。先提出公因式 y，剩下的 4x² + 12x + 9 恰好是完全平方三项式，因为 12x 正好等于 2 × 2x × 3。

5x⁴ − 80 怎么彻底因式分解：先提公因数再连用平方差

5x⁴ − 80 = 5(x − 2)(x + 2)(x² + 4)。先提出公因数 5 露出 x⁴ − 16，两次使用平方差公式，并说明平方和 x² + 4 在实数范围内不可约，分解到此为止。

把 a 当作第二个字母，因式分解 6x² − 7ax + 2a² − 6x + 5a − 12

分解结果是 (3x−2a+3)(2x−a−4)。先把二次部分 6x²−7ax+2a² 分解成 (3x−2a)(2x−a)，再设常数 p、q 使 pq = −12，并让 −6x 与 +5a 两项也对上。

分解因式 6x(x − y)² + 3(y − x)(y − x)²，结果是 3(x − y)²(x + y)

分解结果是 3(x − y)²(x + y)。先把第二项收成 3(y − x)³，再用 (y − x)³ = −(x − y)³ 把两项统一，最后提出 3(x − y)²。

把 75a⁶ − 147b¹⁶ 彻底因式分解：先提公因数再用平方差

75a⁶ − 147b¹⁶ = 3(5a³ − 7b⁸)(5a³ + 7b⁸)。原式两项都不是完全平方，必须先提出公因数 3，指数除以 2 开方后才能套平方差公式。

7x² − 7x − 140 分解因式 = 7(x − 5)(x + 4)

完全分解结果是 7(x − 5)(x + 4)。三个系数都能被 7 整除，所以先提公因数 7 化成 7(x² − x − 20)；再找积为 −20、和为 −1 的两个整数 −5 与 4 即可。不先提 7 会让配对变得很难，而漏掉 7 则答案不完整。

用平方差公式分解 81x² − 121y²

结果是 (9x − 11y)(9x + 11y)。因为 81x² = (9x)²、121y² = (11y)²，两项又是相减，正好符合平方差公式 a² − b² = (a − b)(a + b)；展开时交叉项相消，可以立刻验证。

9x³ − 9x 怎么分解到底：先提 9x 再用平方差

结果是 9x(x − 1)(x + 1)。两项的公因式是 9x 而不只是 9，漏掉字母 x 正是这道题最常见的半途而废；提出后括号里的 x² − 1 是平方差，再拆成 (x − 1)(x + 1) 即分解彻底。

因式分解 9x² + 6x + 1：它是 (3x + 1) 的完全平方

分解结果是 (3x + 1)²。首尾两项都是平方数，而中间项 6x 恰好是 3x 与 1 乘积的 2 倍，这一点验证了完全平方公式适用。

展开并分解 (ax+by+ay)² + (bx−ay)(ax+by+ay) + (bx−ay)²

结果是 (a² + ab + b²)(x² + xy + y²)。把两个重复出现的括号记作 A、B，识别出 A² + AB + B² 的结构后逐项展开，x²、xy、y² 三组系数竟然完全相同，提出即得答案。

轮换式因式分解：(b−c)(b+c)⁴ + (c−a)(c+a)⁴ + (a−b)(a+b)⁴

结果是 −(a−b)(b−c)(c−a)[3(a²+b²+c²) + 5(ab+bc+ca)]。先用试根法看出 (a−b)(b−c)(c−a) 是因式，再由次数判定余因式为二次对称式，代两组数定出待定系数。

分解 (a+x)^(m+1)(b+x)^(n-1) − (a+x)^m(b+x)^n：提最低次幂

答案是 (a − b)(a+x)^m(b+x)^(n-1)。每个底数各提最低次幂，括号里相减时两个 x 正好抵消，只剩常数差 a − b。

a⁴ + 4b⁴ = (a² − 2ab + 2b²)(a² + 2ab + 2b²)

结果是 (a² − 2ab + 2b²)(a² + 2ab + 2b²)，这就是索菲·热尔曼恒等式。四次方之和本来无法直接分解，做法是加上再减去 4a²b² 凑出完全平方 (a² + 2b²)²，把它化成平方差；两个二次因式判别式为负，在实数范围内不能再分。

分解 a⁴ + a³ + a² + a + 1：有理数域不可约，实数域可分

它等于 (a⁵ − 1)/(a − 1)，在有理数域上不可约；但在实数域上能分解成两个二次式，系数里含黄金比例 (1 ± √5)/2。

分数系数怎么提公因式：(1/2)x⁴y² + (1/3)x³y³ + (1/4)x²y⁴ 的分解

结果是 (1/12)x²y²(6x² + 4xy + 3y²)。字母部分取各变量的最低次幂 x²y²，系数部分取分母 2、3、4 的最小公倍数得 1/12，除以它相当于乘 12，最后用判别式说明括号内不可再分。

因式分解 (a+b)²(ab−1) + 1：拆成两个对称的二次式

答案是 (a²+ab−1)(ab+b²−1)，也可以写成 (a(a+b)−1)(b(a+b)−1)。先完全展开看清目标，再用特殊值 a = 1 试出一个因式，最后乘开逐项核对。

配对括号分解因式 (x-1)(x-2)(x+3)(x+6) - 5x²

答案是 (x² + 6x - 6)(x² - 6)。把括号两两配对，使两个乘积的常数项都是 -6，再令 y = x² + x - 6，就化成了关于 y 的简单二次式。

把关于 y′ 的二次式 (y′)² − 4x²y′ + 4x⁴ − x² 因式分解

把 y′ 当未知数、x 当参数，式子先配成 (y′ − 2x²)² − x²，再用平方差公式得到 (y′ − 2x² − x)(y′ − 2x² + x)。常数项拆成 4x⁴ 与 −x² 正是为了凑这个平方。

8x⁴−6x³+30x²−18x+18 = 0 无实根，四根 (3±i√39)/8 与 ±i√3

该方程没有实数解，四个根是 (3 ± i√39)/8 和 ±i√3。先提出公因数 2，再用待定系数法把四次式拆成 (4x² − 3x + 3)(x² + 3)，两个二次式的判别式都小于 0，所以实数范围内无解。

五次式 3x⁵ + 9x⁴ + 4x³ − 9x² − 15x − 10 的因式分解与实根

分解结果是 (x + 2)(3x² − 5)(x² + x + 1)。先用有理根定理试出 x = −2 并综合除法降次，再用待定系数法把四次式拆成两个二次式；实根共三个：−2 和 ±√15/3 ≈ ±1.290994。

a⁶ + b⁶ 怎么因式分解：把 6 次看成立方和

结果是 (a² + b²)(a⁴ − a²b² + b⁴)。和式要靠奇数次幂才分解得动，所以把 a⁶ + b⁶ 读成 (a²)³ + (b²)³ 用立方和公式；中间项是 −a²b² 而不是 −2a²b²，在整数范围内已分解到底。

分组分解 a² − 4x² + 12x − 9：先凑完全平方再用平方差

分解结果是 (a − 2x + 3)(a + 2x − 3)。把含 x 的三项分成一组，正好是一个完全平方，于是整个式子变成平方差。

分解 a² + 4a + 4：完全平方公式的判定与套用

结果是 (a + 2)²。首项和常数项都是平方数，中间项 4a 恰好等于 2·a·2，符合 a² + 2ab + b² 的形式；再用十字相乘法交叉验证，重复的因式对正是完全平方的标志。

a² + b² 怎么分解：复数范围内拆成 (a + bi)(a − bi)

实数范围内平方和分解不了，因为判别式 −4b² < 0。引入虚数单位后把和改写成差：a² + b² = a² − (bi)²，于是得到 (a + bi)(a − bi)，两个因式恰好是一对共轭复数。

利用对称性分解 (x²−6x+1)(x²+x+1) + 12x²

答案是 (x−1)²(x²−3x+1)。展开后得到系数回文的四次式 x⁴−5x³+8x²−5x+1，可设成 (x²+ax+1)(x²+bx+1)，比较系数得 a = −2、b = −3。

分解 x² − 3x + 2 并解方程 x² − 3x + 2 = 0

分解结果是 (x − 1)(x − 2)，两个根是 x = 1 和 x = 2。常数项为正而一次项为负，就把两个因式里的数逼成了负数。

x² − 4x + 3 = (x−1)(x−3)，方程的根 x = 1 或 x = 3

分解结果是 (x − 1)(x − 3)，方程 x² − 4x + 3 = 0 的根是 x = 1 和 x = 3。用积为 3、和为 4 定出两个数，常数项为正而一次项为负说明两数同为负；再用零因子性质求根。

分组分解六项式 4x²y³ + 4x³y² + a²x + a²y + 12x + 12y

分解结果是 (x + y)(4x²y² + a² + 12)。把六项两两配对，每一对里都藏着二项式 x + y，把它提到括号外面，题目就做完了。

f² − 16g² + 24gh − 9h² 怎么分解：三项配成完全平方再用平方差

结果是 (f − 4g + 3h)(f + 4g − 3h)。后三项提出 −1 之后是完全平方 (4g − 3h)²，整式就变成 f² 减一个平方，按 3+1 分组用平方差公式展开，注意去括号时的变号。

因式分解 −x⁴y + 6x³y − 5x²y：分解成四个因式

完全分解的结果是 −x²y(x − 1)(x − 5)。先提出公因式 x²y，再把 −x² + 6x − 5 前面的负号提出来，然后分解剩下的三项式。

把 -3x⁶ + 12x¹² 分解彻底，别只做一半

完整的分解是 3x⁶(2x³ - 1)(2x³ + 1)。提出 3x⁶ 后剩下 4x⁶ - 1，它仍是平方差，必须再拆一次。

把 (9/16)c² − 1 因式分解：分数系数怎么开平方

(9/16)c² − 1 = (3c/4 − 1)(3c/4 + 1)，也可以写成 (1/16)(3c − 4)(3c + 4)。分数开方要分子分母各开各的，不是把分数减半；由因式还能直接读出根 c = ±4/3。

−c¹⁰n⁶ + 1/49 = (1/7 − c⁵n³)(1/7 + c⁵n³)

结果是 (1/7 − c⁵n³)(1/7 + c⁵n³)。先把正项调到前面写成 1/49 − c¹⁰n⁶，凑出 A² − B² 的形式：分数开平方是分子分母各自开方得 1/7，字母部分把指数减半得 c⁵n³，再套平方差公式。两个因式都不能再分解。

立方和与立方差公式：分解 27x³+y³、x³−8y³、x³+512

27x³+y³=(3x+y)(9x²−3xy+y²)，x³−8y³=(x−2y)(x²+2xy+4y²)，x³+512=(x+8)(x²−8x+64)。关键是先认出两个完全立方，再按公式写出两个因式。

因式分解 x³ − 7x + 6 的完整步骤

x³ − 7x + 6 = (x − 1)(x − 2)(x + 3)。常数项 6 的约数给出候选根，试出 x = 1 后综合除法得 x² + x − 6，再十字相乘；式中缺 x² 项说明三根之和为 0，正好可以用韦达定理反查。

x³ + 3x² − 4 怎么分解：试根加综合除法

结果是 (x − 1)(x + 2)²。常数项 −4 的因数给出候选根，代入发现 f(1) = 0，用综合除法除以 (x − 1) 得商 x² + 4x + 4，它是完全平方 (x + 2)²，所以 −2 是二重根，图像在那里与 x 轴相切而不穿过。

两两分组分解 x³ + 3x² − 4x − 12 的完整步骤

答案是 (x + 3)(x − 2)(x + 2)。两两分组后露出公因式 x + 3，剩下的 x² − 4 再用平方差公式拆开。

分解 x³ + 3x² + 7x + 5 并求出全部根

分解结果是 (x + 1)(x² + 2x + 5)，三个根为 x = −1 和 x = −1 ± 2i。用有理根定理试根找到 x = −1，综合除法降次后判别式为 −16，说明二次因式在实数范围内不可再分。

分解 x³ + 4x² − 5：先在有理数范围，再到实数范围

试根找到 x = 1，除出 (x − 1)(x² + 5x + 5)。判别式 5 不是完全平方数，所以二次因式在有理数范围内不可约，但在实数范围内还能拆成两个带 √5 的一次因式。

因式分解 x³ + x² − 4x − 4：两两分组分解

答案是 (x + 1)(x − 2)(x + 2)。两两分组能提出公共因式 x + 1，剩下的 x² − 4 是平方差，还得再分一步才算分解完全。

把 x³ + x² − x − 1 分解成 (x + 1)²(x − 1)

完全分解的结果是 (x + 1)²(x − 1)。分组后得到 (x + 1)(x² − 1)，而第二个因式本身还是平方差，必须继续拆开。

x⁵+x⁴+x³+x²+x+1 分解因式 = (x+1)(x²+x+1)(x²−x+1)

完全分解结果是 (x + 1)(x² + x + 1)(x² − x + 1)。六项是等比数列求和，可写成 (x⁶ − 1)/(x − 1)；把 x⁶ − 1 先按平方差、再按立方差与立方和分解，约掉 x − 1 即得。也可用分组提公因式交叉验证。

用奇次幂之和公式分解 x⁵ + y⁵

答案是 (x + y)(x⁴ − x³y + x²y² − xy³ + y⁴)。幂之和只有在指数为奇数时才能分解，而且长因式里的符号是正负交替的。

x⁴ + 2x³ + 3x² + 2x + 1 怎么分解：系数回文猜完全平方

答案是 (x² + x + 1)²。系数 1、2、3、2、1 是回文，先猜它是某个回文二次式的平方，比较系数定出 b = c = 1，再用判别式说明 x² + x + 1 在实数范围内不可约。

因式分解 x⁴ + 2x³y + 3x²y² + 2xy³ + y⁴：三项式的完全平方

分解结果是 (x² + xy + y²)²。系数 1、2、3、2、1 左右对称，这正是「三项式取平方」而不是「二项式取平方」的标志。

把 x⁴ + x³ + 2x² - x + 3 分解成两个二次式

答案是 (x² + 2x + 3)(x² - x + 1)。这个四次式没有有理根，所以改用待定系数法，按 (x²+ax+b)(x²+cx+d) 且 bd = 3 去配系数。

把 x⁴ + x² − 2ax + 1 − a² 彻底因式分解（a 为参数）

x⁴ + x² − 2ax + 1 − a² = (x² − x + 1 − a)(x² + x + 1 + a)。关键是添项拆项凑出 (x² + 1)² − (x + a)²，再用平方差；令 a = 0 就退回经典恒等式 x⁴ + x² + 1。

分解 (x+1)⁴ + (x−1)⁴ − 82 = 2(x−2)(x+2)(x²+10)

完全分解的结果是 2(x − 2)(x + 2)(x² + 10)。两个四次方相加时奇次项自动抵消，得 2x⁴ + 12x² + 2；减去 82 后提出公因数 2，令 y = x² 化为二次式分解，再用平方差拆开。

对称换元分解 (x + 1)⁴ + (x + 3)⁴ − 82

结果是 2x(x + 4)(x² + 4x + 14)。取两个底数的中点作换元 y = x + 2，它们变成 y − 1 和 y + 1，展开后奇次项相消，化为双二次式再用平方差分解，最后换回 x。

(x + 6)^(−1/5) − (x + 6)^(−6/5) 怎么提公因式化简

化简结果是 (x + 5)/((x + 6)^(6/5))。含分数负指数时，要提出底数的最小指数次幂，也就是最负的那个 −6/5；括号里化成 x + 5，再把负指数翻到分母上，注意定义域要求 x > −6。

分解并化简 (x + 7)^(1/3) − (x + 7)^(4/3)：按较小指数提公因式

结果是 −(x + 6)(x + 7)^(1/3)。同底数幂的公因式取较小的那个指数 1/3，两项相除后括号化为 1 − (x + 7) = −(x + 6)，最后代 x = 1 验算两边都等于 −14。

分解 x² − 100x + 48²：它为什么不是完全平方式

先把 48² 算成 2304。它不是 (x − 48)²，因为那样中间项会是 −96x；判别式 784 = 28² 给出两个不同的整数根 64 与 36，所以 x² − 100x + 48² = (x − 64)(x − 36)。

用换元 u = x − a 分解 x² − 2ax + x + a² − a − 2

分解结果是 (x − a − 1)(x − a + 2)。作换元 u = x − a 后整个式子塌缩成 u² + u − 2，立刻分解成 (u − 1)(u + 2)，参数 a 完全退场。

两步分解 x² − 2xy + y² − 9

答案是 (x − y − 3)(x − y + 3)。前三项先合成 (x − y)²，剩下的就是它和 3² 的平方差。

x² − 4x 分解因式 = x(x − 4)，根为 0 和 4

答案是 x(x − 4)。没有常数项就是该提公因式的信号，两项都只含一次的 x，公因式取 x 而不是 x²；由零因子性质得根 x = 0 与 x = 4，两边同除以 x 会把 0 这个根弄丢。

把 x² − 4x − y² − 6y − 5 配方成平方差再分解

分解结果是 (x − y − 5)(x + y + 1)。对 x 的项和 y 的项分别配方，式子变成 (x − 2)² − (y + 3)²，再套平方差公式 A² − B² = (A − B)(A + B)。

x² − 7x + 12 怎么因式分解：找和为 −7、积为 12 的两个数

x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4)。首项系数为 1 的二次三项式只需找出积为 12、和为 −7 的两个数；先用符号把范围缩到负数对，列出 (−3, −4) 后写出分解式并展开验算。

在复数范围内分解 x² − x + 1

判别式是 −3，所以在实数范围内分不开。在复数范围内它分解为 (x − (1 + i√3)/2)(x − (1 − i√3)/2)，两个根互为共轭。

x² + 25 能分解吗？平方和为什么分解不了

x² + 25 在实数范围内不可分解。平方和没有实根，所以不像 x² − 25 那样能拆成两个实系数一次因式的乘积。

因式分解 x² + (2a + 5)x + a² + 5a − 6 的十字相乘做法

x² + (2a + 5)x + a² + 5a − 6 = (x + a + 6)(x + a − 1)。把 a 当成常数，先把常数项分解为 (a + 6)(a − 1)，再验证两者之和正好等于一次项系数 2a + 5。

x² + 2x − 8y − 3xy − 4y² = (x − 4y)(x + y + 2)

结果是 (x − 4y)(x + y + 2)。五项要按次数分组：二次齐次部分 x² − 3xy − 4y² 分解为 (x − 4y)(x + y)，一次部分 2x − 8y = 2(x − 4y)，两组都出现 (x − 4y) 正是能分解的信号，提出来即得答案。展开可验算。

二元二次式 x² + 5xy + 6y² − 2x − 7y − 3 的因式分解

结果是 (x + 2y − 3)(x + 3y + 1)。先把二次齐次部分分解成 (x + 2y)(x + 3y)，答案的形状就定下来了；再由常数项之积以及 x、y 的系数待定出两个常数并展开验证。

x² + x − 12 怎么因式分解：找乘积 −12、和为 1 的两个数

结果是 (x + 4)(x − 3)。首项系数为 1 的二次三项式，只需找两个数，乘积等于常数项 −12、和等于一次项系数 1；乘积为负说明两数异号，正数绝对值大 1，于是取 4 与 −3。

因式分解 x² + x − 6：怎么找出那两个数

答案是 (x + 3)(x − 2)。常数项为负说明两数异号，而积为 −6、和为 +1 的组合只有 3 和 −2 这一对。

把 a 看作常数，分解 x² + x − (a² − a)

结果是 (x + a)(x − a + 1)。先小心去掉外层括号得到 x² + x − a² + a，再按首一二次式找和为 1、积为 a(1 − a) 的两式，恰好是 a 与 1 − a，最后展开并用根与系数关系复核。

分解 x² + x + 1：实数范围内不可约，复数范围内怎么拆

判别式 −3 < 0，所以实数范围内不可约。两根是 (−1 ± i√3)/2，于是 x² + x + 1 = (x + 1/2 − i√3/2)(x + 1/2 + i√3/2)；这两个根正是 1 的两个非实立方根 ω 与 ω²。

把 (x²+xy+y²)² − 4xy(x²+y²) 分解成完全平方

答案是 (x² − xy + y²)²。展开得到对称四次式 x⁴−2x³y+3x²y²−2xy³+y⁴，设成 (x²+axy+y²)(x²+bxy+y²) 比较系数，得 a = b = −1。

翻转第二个括号，分解 x²(x − y) + (y − x)

答案是 (x − y)(x − 1)(x + 1)。因为 y − x = −(x − y)，两个括号就对上了，余下的 x² − 1 又是一个平方差。

x²y − 4xy + 4y 分解因式 = y(x − 2)²

答案是 y(x − 2)²。这题要两步：先提出三项共有的公因式 y，括号里剩下 x² − 4x + 4，它正好是完全平方 (x − 2)²。只提公因式就停下来是最常见的失分点。代入 x = 5、y = 3 验算，两边都等于 27。

用幂差公式分解 x¹⁰⁵ − 1

答案是 (x − 1)(x¹⁰⁴ + x¹⁰³ + … + x + 1)。n 次幂之差不论 n 是多少都含因式 x − 1，而余下的那个因式是全正号的等比求和。

x¹⁰⁵ + 1 怎么因式分解：奇次幂和公式与 (x + 1) 因式

x¹⁰⁵ + 1 = (x + 1)(x¹⁰⁴ − x¹⁰³ + ⋯ − x + 1)。105 是奇数，代入 x = −1 得 0，由因式定理知 x + 1 是因式；再套奇次幂和公式，并说明这还不是最彻底的分解。

把 x⁴ − x² + 1/4 分解成关于 x² 的完全平方

分解结果是 (x² − 1/2)²。把 x² 当成变量，四次式就成了完全平方：因为 1/4 = (1/2)²，而 −2 乘 x² 再乘 1/2 恰好是 −x²。

对任意正整数 n，把 xⁿ - yⁿ 分解因式

结果是 (x - y)(x^(n-1) + x^(n-2)·y + … + y^(n-1))。后一个因式各项符号全为正，展开相乘时中间各项会逐项抵消。

把 x¹⁰ − y¹⁰ 彻底因式分解的完整步骤

x¹⁰ − y¹⁰ = (x − y)(x + y)(x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴)(x⁴ − x³y + x²y² − xy³ + y⁴)。先按平方差拆成两块，再分别套五次方差与五次方和公式，次数 1+1+4+4 正好凑够 10。

(xy−1)² + (x+y−2)(x+y−2xy) = (x−1)²(y−1)²

结果是 (x − 1)²(y − 1)²。展开后得到一个关于 x、y 对称的九项式，它恰好是 xy − x − y + 1 的完全平方，而后者分组可分解为 (x − 1)(y − 1)，所以原式恒大于等于 0。

已知 ax²+bx+1>0 的解集是 −1<x<2，求 ab 的值

答案是 ab = −1/4，其中 a = −1/2，b = 1/2。解集落在两根之间说明 a<0，而常数项恰好是 1，这一条定出了那个自由的比例系数。

由 2x^(2a−b−1) − 3y^(3a+2b−16) = 10 是二元一次方程求 a、b

二元一次方程要求两个指数都等于 1，于是得到 2a − b = 2 与 3a + 2b = 17，解这个方程组得 a = 3、b = 4。

已知不等式组解集为 1 < x < 2，求 a、b 的值

答案是 (a, b) = (4, −10)。两个二次不等式的解集各是一个开区间，交集为 (1, 2)；由韦达定理两根之和分别固定为 5 和 −3，据此定出区间 (1, 4) 与 (−5, 2)，再由两根之积得到 a 与 b。

|ax + 5| ≤ b 解集为 −4 ≤ x ≤ 6，求得 a − b = −30

a = −5，b = 25，所以 a − b = −30。把绝对值不等式看成「中心加减半径」，从区间 [−4, 6] 读出中心 1 和半径 5，分别对上 −5/a 与 b/|a|，两个参数一次定死，不必讨论 a 的正负。

已知 3 不在解集中，求参数 a 的取值范围

答案是 a ≤ 1。不必对所有 a 讨论解集，只要在 x = 3 处代值：3 属于 A 等价于 2a > 2，取否定得 2a ≤ 2，即 a ≤ 1；严格不等式的否定含等号，所以 a = 1 也符合。

曲线过原点且两段距离之积为 1，求 a = −1

把原点代入 √((x−1)² + y²)·(x − a) = 1，得到 1·(−a) = 1，所以 a = −1。

已知 f(x) = 5x + 2、g(x) = x − 6，求 (f − g)(x) 并化简

结果是 4x + 8。按定义 (f − g)(x) = f(x) − g(x)，代入时一定要给 g 加括号；去括号后减号要变每一项的符号，得 5x + 2 − x + 6，合并同类项即得 4x + 8 = 4(x + 2)。

由多项式带余除法条件求三次函数的 f(2)

f(2) = 18。把条件写成 (x + 1)f(x) = (x³ + 2)Q(x) + x + 2，其中 Q 是一次式；再用根 x = −1 和 f(0) = 4 定出 Q(x) = 2x + 1。

由中心对称的三次不等式解集求 k 的值

答案是 k = 3。f(x) = a(x − 5)³ + b(x − 5) + 7 关于点 (5, 7) 中心对称，而 1 ≤ f(x) ≤ 13 正好是关于 7 对称的条件，因此解集必关于 x = 5 对称；令区间 [k − 9, 3k + 7] 的中点等于 5 即得。

由 a(x−4)² + b < 10 的解集 k−8 < x < 2k+1 求 k 的值

答案是 k = 5。顶点式说明抛物线关于 x = 4 对称，解集必须以 4 为中点，于是 (k−8 + 2k+1)/2 = 4，解得 k = 5，此时解集为 −3 < x < 11。

求 k：−√12/2 − √27/9 + √75/15 + √108 = k√3，答案是 k = 5

把每个根式都化成 √3 的倍数：−1、−1/3、+1/3 和 +6。中间两项正好抵消，只剩下 5√3。

√(4 − (λ − 2024)²) 是实数的条件：2022 ≤ λ ≤ 2026

答案是 λ ∈ [2022, 2026]。a = λ − 2024 对任何实数都成立，真正的限制来自根号：被开方数要非负，即 (λ − 2024)² ≤ 4，也就是 |λ − 2024| ≤ 2，以 2024 为中心左右各 2。由 a² + b² = 4 还能看出 (a, b) 在半径 2 的上半圆上。

已知 x = 2，求 36 + 2mx = 88 中 m 的值

m = 13。把 x = 2 代进去，2mx 变成 4m，方程化为 36 + 4m = 88；两边减去 36 得 4m = 52，再除以 4 就得到 m = 13。

由含共轭的复数方程求 |z|² 的值

答案是 5/4。先两边同除分离出 z−1 的共轭，把分母有理化，再对两边取共轭还原出 z，最后用 |z|² = a² + b² 直接算出结果。

已知 N 减去一个三项式等于另一个三项式，求多项式 N

N = 42u²v − 25uv² + 3v³。把被减的三项式整体加回两边即可解出 N；按 u²v、uv²、v³ 对齐同类项后逐项相加，注意 u²v 与 uv² 并不是同类项，最后代数值验算。

已知 (18m²n − 2mn² + 15mn) − P = 6m²n − 5mn² − 12mn，求 P

P = 12m²n + 3mn² + 27mn。因为 P 是被减去的那个多项式，所以 P 等于第一个多项式减第二个多项式，第二个式子里每一项都要变号。

已知 |共轭Z + 4i/Z| = 2√2，求复数的模 |Z|

答案是 |Z| = 2。设 Z = r·e^(iθ)，两项都含公因子 e^(−iθ)，而它的模是 1，于是式子化为 √(r² + 16/r²) = 2√2，平方后得到完全平方 (r² − 4)² = 0。

求 x² + x − b > 0 的另一个解区间

另一个解区间是 (−∞, −3)，此时 b = 6。既然 (2, +∞) 是解区间，端点 x = 2 就是方程的根，由此定出 b = 6，再分解成 (x+3)(x−2) > 0。

分数 1/(5y²) 的倒数是多少

倒数是 5y²。倒数的定义是与原数相乘等于 1 的数，对分数就是把分子分母对调，整个分母 5y² 作为一个整体翻上去；注意原式要求 y ≠ 0，倒数只在这个定义域上成立。

已知三个时间两两之和，求每个时间各是多少

答案是 t₁ = 5.59 s、t₂ = 2.97 s、t₃ = 3.75 s。三式相加后每个未知数各出现两次，除以 2 就得到总和 12.31 s，再用总和减去缺少某个未知数的那个式子即可，末尾还给出这类题的通用公式。

解方程组 x/y = 0.99 与 x/(y + 23) = 0.98，求 x 和 y

答案是 y = 2254，x = 2231.46。先去分母把两式都解出 x，再令两个表达式相等；关键在 0.99 − 0.98 = 0.01 这个极小系数，正是它让分母只挪 23 就撑出这么大的 y。

不解方程组，从 2x + 3y = 14 和 3x + 2y = 15 求 x + y

两式相加得 5x + 5y = 29，于是 x + y = 29/5，一行就出结果，完全不必分别求出 x 和 y。

首项 2018、公差 −5 的等差数列：从第 405 项 (−2) 起为负

第一个负项是第 405 项，值为 −2。通项 aₙ = 2023 − 5n，解 2023 − 5n < 0 得 n > 404.6，取最小整数 405。检验：第 404 项等于 3，是最后一个正项。这里要点是解出的 n 必须向上取整，不能直接四舍五入。

(8x³ − x² + 6x + 7) ÷ (2x − 1) 长除法的第一步

第一步是用 8x³ 除以 2x，得到 4x²。多项式长除法永远从被除式的最高次项除以除式的最高次项开始。

首项 3、公差 7 的等差数列从第几项起大于 2018

解 3 + 7(n − 1) > 2018 得 n > 288.86，所以 n = 289，u₂₈₉ = 2019。前一项 u₂₈₈ = 2012 还不到 2018，答案由此确定。

解含 m 与 w 的五元一次方程组的完整步骤

解为 x = 126/5、y = 18/5、z = −24/5、w = 3/5、m = −41/5。先用现成的 x = 30 + z 和 y = 6w 把未知数压到三个，再让 m 的两个表达式相等解出 z，最后逐一回代。

含三分之一与二分之一的四元一次方程组怎么解

解是 x = 17、y = 20、z = −13、w = −13/3。四个方程里有两个本身就是代入式，把所有未知数都用 z 表示后代入剩下的那一个，含 z/3 的项两边抵消，一步就解出 z。

四元方程组求 x、y、z、w：第二式开头是常数 −1/3

答案是 x = −71，y = 68，z = −101，w = −709/6。先用 x = 30 + z 把第一式化成 y + z = −33，再让第二、三式给出的两个 w 表达式相等，去分母得 3y + 2z = 2，联立即可求解。

解含三分之一、六分之五系数的四元方程组，求 x、y、z、w

答案是 x = 17，y = 20，z = −13，w = −125/6。第一个方程去分母得 x − y = −3；把第二、三式联立消 w 时，含 z 的项系数恰好相同而完全抵消。

求直线 2y − 6x = 5 的斜率：化成 y = mx + c 就能读出

斜率是 m = 3。两边同加 6x 得 2y = 6x + 5，再每项同除以 2 得 y = 3x + 5/2，x 前面的系数就是斜率。

画 f(x) = x² + 1 的图像：顶点、对称轴与值域

这是开口向上的抛物线，顶点 (0, 1)，对称轴 x = 0，值域 y ≥ 1，与 x 轴没有交点。把它看成 y = x² 向上平移 1 个单位，再列一张对称的取值表，就能一次读出全部信息。

画 f(x) = −|x + 5| − 4 的图像：顶点、开口、截距与值域

顶点是 (−5, −4)，开口向下，y 轴截距为 (0, −9)，没有 x 轴截距，值域是 (−∞, −4]。按顶点式 a|x − h| + k 对号入座，再用左移、沿 x 轴翻折、下移三步变换把图像画出来。

画出 3|x| + 4|y| ≤ 12 表示的闭菱形区域

解集是以 (4,0)、(0,3)、(−4,0)、(0,−3) 为顶点的实心菱形。先求出两轴上的截距，再利用关于两条坐标轴的对称性翻两次，整个区域就出来了。

画 y ≥ 0 的图像：x 轴画实线，阴影涂在上方

解集是闭的上半平面。因为 y ≥ 0 里根本没有 x，边界就是 x 轴本身，阴影覆盖 x 轴及其上方的所有点。

不等式组 x + y ≤ 6 与 x ≥ 2 的解集：顶点 (2, 4) 的无界区域

解集是 {(x, y) : x ≥ 2 且 y ≤ 6 − x}，一个以 (2, 4) 为顶点、向右下方张开的无界区域。作图时先把第一个式子化成 y ≤ 6 − x，判断阴影在直线下方；两式都带等号，所以边界画实线。最后取点 (3, 1) 代入验证。

用 x³-3x²+5x-3 除以 x²-2 求长方体的高

高是 x - 3 + (7x - 9)/(x² - 2)。长除法留下非零余式 7x - 9，所以高并不是多项式；在 x = 2 处检验，高恰为 1.5。

两数取平均再加第三数：辣度 6.5、10.5、26.5，最大 26.5

三个辣度分别是 6.5、10.5 和 26.5，最大的是 26.5。先把三个方程两边乘 2 去掉分母，三式相加得 x + y + z = 43.5，再用这个总和减去各式，一步就能解出每个未知数，不必逐个消元。

参数 k 取何值时齐次线性方程组有非零解

只有 k = 1 时才有非零解。先用不含 k 的两个方程消元得到 x = 0，代回后化为 (k − 1)z = 0：k ≠ 1 时只有零解 (0, 0, 0)，k = 1 时解为 (0, t, t)。系数行列式 5(k − 1) 正好印证这个分界。

解齐次方程组 x + 2y − 2z = 0、2x − y + z = 0、3x + y − z = 0

解是 (x, y, z) = (0, t, t)，t 取任意实数。第二、三式相加一步消去 y 和 z 得 x = 0，回代后两式给出同一个条件 y = z，说明方程组线性相关；系数行列式为零，三个平面交于一条直线而非一点。

等差数列求天数：总长 150 米，首末两天共爬 10 米

每天爬的距离构成等差数列，所以 S = (a1 + an)/2 × n。代入 S = 150 与 a1 + an = 10，得 150 = 5n，即 n = 30 天。

两个等差数列一共有多少个公共项？

数列 2, 5, 8, … 与 −1, 6, 13, …（各取前 1000 项）的公共项满足 x ≡ 2 (mod 3) 且 x ≡ 6 (mod 7)，即 x ≡ 20 (mod 21) 且不超过 2999，共 142 个。

y = |x| − 9 的图象与 y = |x| 有什么关系：向下平移 9 个单位

g 的图象就是 f 的图象向下平移 9 个单位，顶点从 (0, 0) 移到 (0, −9)。−9 加在绝对值外面，改变的是函数值，所以只发生竖直平移；两支斜率仍是 ±1，开口方向不变。

(x² + y² + z²)² = 8z 能否写成 z 关于 x、y 的单值函数

不能。在 (0, 0) 处 z 同时取 0 和 2，过不了垂线检验；改解出 x² + y² = √(8z) − z²，可知曲面被夹在 z = 0 与 z = 2 之间，是绕 z 轴旋转、上下各收成一点的苹果状闭曲面。

解无理不等式 (h + 0.9)/√(1 + h²) < h：转化成四次不等式

解集是 h > 1.3397214。h ≤ 0 全都不成立；当 h > 0 时原不等式等价于 h⁴ − 1.8h − 0.81 > 0，它唯一的正根用牛顿法求出。

解不等式 −(1/3)(x − 7) ≥ (1/2)(3x + 1) 的完整步骤

解集是 x ≤ 1，即区间 (−∞, 1]。两边同乘正数 6 去掉分母（方向不变），移项后除以负系数 −11 时必须变号，最后在边界两侧各取一点验证解集方向没有搞反。

解不等式 x(x³ + 1) > (x³ + 1)(x² − 2)：公因式为什么不能约

解集是 (−∞, −1) ∪ (−1, 2)。公因式 x³ + 1 符号未知还可能为零，两边不能约掉；移项分解得 (x+1)²(x²−x+1)(2−x) > 0，平方项不改变符号，只在 x = −1 处把解集戳出一个洞。

在 1 与 2018 之间插入 999 个数，求第 501 项

从 1 到 2018 的 1001 项等差数列公差是 2017/1000。第 501 项为 1 + 500d = 1 + 2017/2 = 2019/2 = 1009.5，正是 1 和 2018 的中点。

在 2 和 22 之间插入三个数成等差：7、12、17

插入的三个数是 7、12、17，公差 d = 5，数列为 2, 7, 12, 17, 22。插三个数后一共 5 项，用末项公式 22 = 2 + 4d 求公差；注意是加 4 个公差而不是 3 个，这一步最容易数错。

(x > 3 或 x < −2) 与 x ≥ −1 求交集，结果是 x > 3

答案是 x > 3。x < −2 这一支被 x ≥ −1 整个抹掉了，因为两个条件不可能同时成立，最后只剩下 x > 3 这一支。

直线 y = −4x + 2.5 与曲线 y = 3.34x/(1 + 2.34x) 的两个交点

交点是 (0.4433, 0.7268) 和 (−0.6025, 4.9100)。令两个表达式相等并去分母，就得到二次方程 9.36x² + 1.49x − 2.5 = 0。

求直线 y = -4x + 2.5 与曲线 y = 2.44x/(1 + 1.44x) 的交点

答案约为 (0.4569, 0.6724) 和 (-0.9500, 6.2998)。去分母得 288x² + 142x - 125 = 0，解出后还要检查两个根都没落在极点上。

求区间 (−∞, −10] 与 [−10, 8) 的交集

交集是单点集 {−10}，也可以写成退化闭区间 [−10, −10]。因为两个端点都是闭的，−10 同时属于两个区间；只要有一端换成开括号，交集就变成空集。

求反函数：t(x) = 3√(x + 6) 的反函数及其定义域

反函数是 t⁻¹(x) = (x²/9) − 6，定义域为 x ≥ 0。先记下原函数的定义域 x ≥ −6 与值域 t ≥ 0，交换 x、y 后先把根式单独留下再平方；定义域限制是答案的一部分，不写就错。

集合描述法里的逗号表示「且」还是「或」

逗号一律表示「且」，所以 {x | 2 ≤ x ≤ 5, x = 10} 是空集，而不是 [2,5] ∪ {10}。要表示并集必须写「或」，或者直接把两个集合用并号连起来；文末给出「逗号配交集、或配并集」的记忆口诀。

f(x) = x√(x + 9) 是偶函数、奇函数，还是两者都不是

两者都不是。f(−x) = −x√(9 − x)，既不等于 f(x)，也不等于 −f(x)；而且定义域 x ≥ −9 本身就不关于原点对称。

完整求解方程组 5y+2+2zx = 0、5x+5+2zy = 0、x²+y² = 1

一共有四组解：两组是精确的有理点 (3/5, 4/5, −5) 与 (−1, 0, 1)，另两组含 √11。每一个候选解都必须回代检查 x² + y² = 1 是否成立。

三个连续整数的和是 72，最大的那个是 25

这三个整数是 23、24、25，最大的是 25。设最小的为 x，把和写成 3x + 3 = 72，解得 x = 23，再加 2 就是最大的那一个。

直线与抛物线只有一个交点，求交点的横坐标 x

x = 6。当 y = 2x² − 21x + 64 与 y = 3x + a 只交于一点时，联立所得的二次方程有重根，于是 x = 24/4 = 6，此时 a = −8。判别式解法全程详解。

求过点 (−1, 7) 且斜率为 −4 的直线方程

答案是 y = −4x + 3。已知一点和斜率，直接套点斜式 y − y₁ = m(x − x₁)；横坐标是负数时减号会变加号，写成 −4(x − 1) 是最常见的错误，最后代回原点验证。

过点 (−6, 5)、斜率为 2/3 的直线方程怎么写

答案是 y = (2/3)x + 9。从点斜式 y − y₁ = m(x − x₁) 出发，注意 x − (−6) 要写成 x + 6，展开化简即得斜截式；代入 x = −6 验证正好得到 y = 5。

解 0.0272727x − 3.49091 = 0，答案 x = 128

x = 128。直接相除得 128.0002，那条小尾巴是系数四舍五入造成的：0.0272727… 其实是 3/110，3.49091 是 384/110，用精确分数重算、分母约掉后正好是 384/3 = 128。

三分之一型分数方程怎么解：层层化简后得 x = −3

解是 x = −3。先把括号里的两个分数合并，含 x 的项互相抵消只剩 −2/3；左右两边分别整理成 (x − 1)/3 与 (2x + 2)/3，去分母后解得 x = −3，最后代回验算。

电影票销售问题：列出 50x + 20y = 2000 并求一组解

方程是 50x + 20y = 2000，两边同除以 10 得 5x + 2y = 200。一组整数解是 x = 20 位成人、y = 50 位儿童，因为 1000 + 1000 = 2000。

解方程 2(5-4x)-7 = -3(2x+1)+2(3-x)：任意实数都成立

答案是全体实数。两边展开后都是 3 - 8x，方程化为 3 - 8x = 3 - 8x，这是恒等式，而不是能定住 x 的条件。

解方程 u + (4520 ÷ 1200) = 0.01，求 u 的精确值

u = −1127/300，写成小数是 −3.75666…。先把 4520/1200 约成 113/30，再把 0.01 写成 1/100，通分到 300 相减；全程用分数是为了躲开循环小数带来的舍入误差。

解 (2/5)x + 1014 + 4/5 = (5/9)x + 1019 + 4/9：x = −209/7 ≈ −29.857

解为 x = −209/7 ≈ −29.857。先把每边的整数与分数合成一个数，把 x 项和常数项各归一边，得 −209/45 = (7/45)x；两边同乘公分母 45 后分母全部消失，再除以 7 即得。注意 −209 与 7 不能约分，答案保留分数形式最准确。

解多重括号一次方程 3[x − 6 − (2 − x)] + 1 = −[−(−2 + 6x)]

这个方程无解。由内向外去括号后，左边化为 6x − 23，右边化为 6x − 2，消去 6x 只剩下 −23 = −2 这个假命题；两边对应的是斜率同为 6、截距不同的平行直线，永远不会相交。

解方程 x − (0.8x − 5000)×0.03 = 7226

解得 x = 7250。先把 0.03 乘进括号得 0.024x − 150，再把前面的减号分配到两项上，−150 变成 +150，方程化为 0.976x + 150 = 7226；除法结果恰好整除，说明题目数字是特意选的。

解方程 x − 0.03(0.8x − 5000) = 7232，答案写成精确分数

解是 x = 442625/61 ≈ 7256.15。展开整理后是 0.976x + 150 = 7232，但 7082/0.976 除不尽，所以精确答案只能写成分数。

解方程 x − 2400000x/8844796 = 1200000：精确值与小数值

精确值是 x = 2653438800000/1611199，约等于 1,646,872.17。做法是先把 x 提出来，再把括号并成一个分数 6444796/8844796，最后乘倒数；中途若把分数四舍五入成 0.7287，答案会偏差一百多。

解方程 x + 0.0005 × 52x = 175800 求 x

答案是 x = 29300000/171 ≈ 171345.03。先把 0.0005 × 52 算成 0.026，再把看不见的系数 1 一起合并成 1.026x，两边同除即可；化成分数还能看出它不是有限小数。

解不等式 1.3x − 5 > x + 3（当心那个小数系数）

答案是 x > 80/3 ≈ 26.67。两边减去 x 得 0.3x − 5 > 3，再加 5，最后除以那个很小的正系数 0.3——不是像 3x − 5 > x + 3 那样除以 2。

解不等式 25 − 2(n − 2) ≥ −8n + 6

答案是 n ≥ −23/6。先把 −2 分配进括号，常数合并成 29，两边同加 8n，最后除以正数 6，不等号方向始终不变。

解不等式 25 − 3(n − 2) ≥ −8n + 6：n ≥ −5

解集是 n ≥ −5。去括号时注意 −3 乘 −2 得 +6，左边合并为 31 − 3n；两边同时加 8n 让变量系数变正，就不必翻转不等号，得 5n ≥ −25，再除以 5 得干净的整数边界 −5。带等号时端点 −5 也属于解集。

一步步解不等式 3x + 1 − 300 < 4.2x − 1.8 + 4x − 80

答案是 x > −543/13，约等于 −41.77。两边先各自合并同类项，化成 3x − 299 < 8.2x − 81.8，再除以正数 5.2，不等号方向保持不变。

解不等式 (x + 2)/4 − x/5 > 1 并用区间表示解集

解集是 x > 10，即区间 (10, +∞)。两边同乘最小公分母 20（右边那个 1 也要乘），化简得 x + 10 > 20；不等号是严格的，端点 10 取不到，最后在边界两侧代值验证。

解不等式 x/3 > 4 − (x−2)/2：负号要分配到整个分数

答案是 x > 6。陷阱在于 4 − (x−2)/2 等于 5 − x/2，而不是 3 − x/2。把含 x 的项按分母 6 合并成 5x/6 > 5，再除一次就完成。

去分母解不等式 (2x-1)/3 > (3x-5)/4

答案是 x < 11。两边同乘正的最小公分母 12，去括号得 8x-4 > 9x-15，再把 x 分离出来；整个过程不需要变号。

解不等式 x − 1/3 > x + 4：为什么它无解

解集是空集。两边同减 x 后变量彻底消失，只剩下 −1/3 > 4 这个假命题，因此对任何 x 都不成立。从图像看，两条直线斜率都是 1、互相平行，左边那条永远低 13/3。

解不等式 x − (1−x)/6 ≤ (2x+1)/2 − 3/4，得 x ≤ −1/2

解集是 x ≤ −1/2，即区间 (−∞, −1/2]。左边通分到 6 时负号要分配到整个分子；两边同乘正数 12 去分母，不等号方向不变，最后由 14x − 2 ≤ 12x − 3 解出 x，端点 −1/2 能取到。

解不等式 (x − 1)/2 < (7x + 2)/5 并用区间表示解集

解集是 (−1, +∞)。两边同乘最小公分母 10，因为 10 是正数，不等号方向不变；展开后把 x 项移到系数较大的一边，避免除以负数翻号，最后得到 x > −1，端点因严格不等而排除。

幂函数 y = a·x^b 怎么线性化：双对数坐标下的 Y = mX + c

取对数得 log y = b·log x + log a，于是 Y = log y、X = log x、斜率 m = b、截距 c = log a。因为 b 是变量 x 的指数，所以两边、两个变量都要取对数；在双对数图上作图，直线斜率就是指数 b。

把 y = p√x + q/√x 化成直线形式：两边同乘 √x

两边同乘 √x 得 y√x = px + q，于是以 X = x 为横坐标、Y = y√x 为纵坐标作图就是一条直线，斜率是 p、纵截距是 q。

用取对数把关系式 y·pˣ = q 化成直线形式 Y = mX + c

取对数后得 lg y = (−lg p)x + lg q，即 Y = lg y、X = x、斜率 m = −lg p、截距 c = lg q。未知数在指数上，只有对数能把它拉下来；注意横轴画的是 x 本身而不是 lg x。

把 y(b − x) = ax 化成 Y = mX + c 的线性形式

关键是两边同除以乘积 xy，得到 1/y = (b/a)·(1/x) − 1/a。于是 Y = 1/y、X = 1/x、斜率 m = b/a、截距 c = −1/a；用 1/y 对 1/x 作图，由截距反推 a，再由斜率得 b。

不用计算器求 log₃18 ÷ (2 + log₃2) 的值

结果恰好等于 1。因为 18 = 3² × 2，由积的对数法则 log₃18 = 2 + log₃2，所以分子和分母其实就是同一个数。

分母含对数的方程怎么解：换底公式一步化简并求根之和

方程 log₃(2x² + 13x + 23) ÷ log₃(x + 5) = 1 只有一个根 x = −3，所以根之和是 −3。先写定义域（真数为正、分母不为零），再用换底公式把对数之商化成以 x + 5 为底的一个对数，最后解二次方程并检验。

换元 t = √x 解以 5 为底的对数不等式

解集是 x > 16，所以最小正整数解是 17。先把右边并成一个对数，因为底数 5 > 1 可以直接比较真数，展开后 x 项恰好互相抵消。

含绝对值的对数不等式怎么解：x·log₁/₃(1/2−x) ≥ |x| 分类讨论

解集是 x ≤ −5/2、x = 0 或 1/6 ≤ x < 1/2。按 x 的符号分三种情况讨论，除以 x 时 x < 0 要变号，再利用底数 1/3 小于 1 时对数递减把不等号反向，注意别把孤立点 x = 0 漏掉。

(3x² − 4x − 1) ÷ (x − 2) 怎么算：多项式长除法

商是 3x + 2，余数是 3，写成 3x + 2 + 3/(x − 2)。每一轮只拿余下部分的首项去除以 x，两步之后余数次数低于除式即停止，最后用余数定理和乘回去两种方式验算。

(6x² − 8x − 6) ÷ (3x + 2)：除式首项系数不是 1 的长除法

商是 2x − 4，余数是 2，即 2x − 4 + 2/(3x + 2)。因为除式的首项是 3x 而不是 x，商的每一项都要额外除以一个 3。

用长除法计算 8x³ - 6x² - 5x + 3 除以 2x - 5

商是 4x² + 7x + 15，余数为 78，即 4x² + 7x + 15 + 78/(2x - 5)。除式首项系数不是 1，所以商的每一项都要除以 2x 得到。

用长除法计算 (x³ + 7x² + 7x − 15) ÷ (x + 3)

商是 x² + 4x − 5，余式为 0。先用余数定理代入 x = −3 得 0，预判一定能除尽；做完长除法后商还能继续分解成 (x + 5)(x − 1)，三次式的根是 −3、−5 和 1。

把 h/(4p) = p − 5k 中的 h 解出来并展开括号

答案是 h = 4p² − 20pk。两边同乘 4p，右边整体要加括号；再把 4p 分配到括号内的每一项。只乘第一项、写成 4p² − 5k，正是这道题专门要考的典型错误。

证明与任意同阶矩阵可交换的矩阵一定是数量矩阵 λI

结论是 A = λI。证明的关键在于取基本矩阵单位 E_ij 作试验矩阵：比较 AE_ij 与 E_ij A 的对应元素，先逼出所有非对角元为零，再逼出对角元彼此相等，这也说明矩阵环的中心恰是数量矩阵。

3×3 乘 3×2 的矩阵乘法，以及 AᵗBᵗ 为什么不存在

AB 是 3×2 矩阵，三行依次是 (11,11)、(4,4)、(20,20)。AᵗBᵗ 无法相乘，因为 3×3 乘不了 2×3；真正成立的转置恒等式是 (AB)ᵗ = BᵗAᵗ。

解比例式 6/a = a/x，其中 a = (−1 + √71)/2，结果保留根号

答案是 x = (36 − √71)/12。交叉相乘得 6x = a²，把根式平方得到 72 − 2√71，再依次除以 4 和 6 即可。

已知 2a + b = 1，求 a/(2-2a) + b/(2-b) 的最小值

最小值是 (4√2 − 3)/6 ≈ 0.4428，在 a = (5 − 3√2)/2、b = 3√2 − 4 处取到。代入 b = 1 − 2a 后令导数为零，可得 (1 + 2a)² = 8(1 − a)²。

求循环和 (a/(a+b))⁴ + (b/(b+c))⁴ + (c/(c+a))⁴ 的最小值

最小值是 3/16，在 a = b = c 时取到。换元后用幂平均不等式降到平方和，再借一个两元引理证明平方和不小于 3/4；顺带说明 x + y + z ≥ 3/2 这条捷径其实是错的。

|x−2|+|x+3|+|x−1|+|x+1| ≥ a 恒成立：最小值 7，故 a ≤ 7

当且仅当 a ≤ 7 时不等式对一切实数 x 成立。恒成立问题要先求左边的最小值：绝对偏差之和在这些点的中位数处取最小，四个点 −3、−1、1、2 的中位区间是 [−1, 1]，在这段上函数恒等于 7。注意最小值区间是 [−1, 1] 而不是 [−3, 1]。

|x + 1| + |x − 2| 的最小值是多少

最小值是 3，而且在整个区间 [−1, 2] 上都能取到，不是只在一个点上。把两个绝对值读成数轴上到 −1 和 2 的距离，点落在两点之间时距离之和恰好等于两点间距 3；分段讨论和三角不等式都能印证。

浓度混合问题：20% 和 50% 的酒精各取多少升配成 20 升 35%

取 20% 的溶液 10 升、50% 的溶液 10 升即可配成 20 升 35% 的酒精溶液。按总体积和纯酒精量各列一个方程，代入消元求解，最后用「35% 恰好落在 20% 与 50% 正中间」这个口诀快速验算。

含 i 的高次幂的复数模长计算

答案是 25。先用模的乘除性质化简：共轭不改变模，Z1 与它的共轭正好相消，只剩下 Z2 的模的平方；再用 i 的四次周期把 i 的 88 次方和 33 次方化简，得 Z2 = 24/5 − (7/5)i，模平方为 25。

复数模长计算：由两个方程求 |(Z₂·Z₁³)/(−Z₂)|

答案是 27。先约掉 Z₂，目标化为 |Z₁|³，所以只需求 Z₁ 的模。由第一式得 Z₂ = conj(Z₁)/2，代入第二式解出 conj(Z₁) = −3i，故 Z₁ = 3i，|Z₁| = 3，立方得 27。

(3x²+4xy+5y²)(7x²+9y²) = 21x⁴+28x³y+62x²y²+36xy³+45y⁴

结果是 21x⁴ + 28x³y + 62x²y² + 36xy³ + 45y⁴。两个因式都是齐次式，所以每个部分积都是四次；六个乘积里只有两个 x²y² 项需要合并，按次数排序能避免漏项，代数值可验算。

用 FOIL 法则展开 (4x + 1)(3x + 2)

(4x + 1)(3x + 2) 等于 12x² + 11x + 2。FOIL 依次乘首项、外项、内项、末项，中间的 8x 与 3x 合并成 11x。

(5x² − 3x)(2x² + 6x − 9) 怎么展开：横式逐项分配

结果是 10x⁴ + 24x³ − 63x² + 27x。二项式乘三项式共有 6 个部分积，把 5x² 和 −3x 分别乘遍第二个因式的三项，再按次数合并同类项，最后代 x = 1 和 x = 2 验算。

用分配律求积 (6x² − 7)(5x² − 6)

(6x² − 7)(5x² − 6) = 30x⁴ − 71x² + 42。把 x² 当成一个整体，四对项分别相乘，再把 −36x² 与 −35x² 合并成中间项 −71x²。

化简 (9 + 2i)(9 - 2i)：两个共轭复数相乘

答案是 85，一个实数。两个因式互为共轭复数，乘积化为 9² - (2i)² = 81 + 4，含 i 的项正好抵消。

用竖式计算 (4x³ + x² + 2x + 6)(x + 5) 并化简

乘积是 4x⁴ + 21x³ + 7x² + 16x + 30。竖式的好处是把同次项对齐成一列：先分别乘 x 和乘 5 得到两个部分积，再逐列相加，避免把 x³ 项和 x² 项混加在一起。

七项多项式乘 7y² = 56y⁶ + 21y⁵ − 21y⁴ − 56x²y³ − 35y³ + 21y² − 56xy²

结果是 56y⁶ + 21y⁵ − 21y⁴ − 56x²y³ − 35y³ + 21y² − 56xy²。单项式乘多项式就是逐项分配：括号里有七项，乘完仍应有七项，先数项数最能防漏项。每项系数相乘、同底数幂指数相加，含 x 的项只对 y 加指数，最后这些项都不是同类项，不能合并。

化简根式：4 的立方根乘 6 的立方根

结果是 2·∛3。同次根式可以直接相乘合并成 ∛24，再把 24 分解成 2³·3，其中 2³ = 8 是完全立方数可以开出来变成 2，剩下的 3 不含立方因数，所以已经化到最简。

计算 (−2x² + 7)(9x² − 4x + 2) 的乘积

答案是 −18x⁴ + 8x³ + 59x² − 28x + 14。把 −2x² 和 +7 分别乘遍第二个括号，得到六个部分积，其中只有两个 x² 项需要合并；最后代 x = 1 与 x = −1 验算。

展开 [(2 − √2)x − 1][(2 + √2)x − 1] 得到 2x² − 4x + 1

乘积等于 2x² − 4x + 1。先把每个括号里含 x 的项合并成共轭系数 2 ± √2，用 (2−√2)(2+√2) = 2 得到二次项，一次项里的根号正好互相抵消。

两个分式相乘：先因式分解，再约分化简

乘积化简后是 (x − 3)/(x + 8)。把四个二次式全部分解，约掉公共的 (x − 6)、(x + 3) 和 (x − 8)，而且绝不能跨着加号约。

(x − 4)(x² − 5x − 6) = x³ − 9x² + 14x + 24

乘积是 x³ − 9x² + 14x + 24。一项乘三项共有 6 个乘积要收集：先用 x 分配得 x³ − 5x² − 6x，再用 −4 分配得 −4x² + 20x + 24，合并同类项即可。分配 −4 时有两处负负得正，常数项 +24 最容易写错符号；取 x = 2 代入验算。

用立方和公式计算 (x+1)(x²−x+1)

乘积是 x³ + 1。逐项展开得 x³ − x² + x + x² − x + 1，其中四项互相抵消；捷径是立方和公式 a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)，取 a = x、b = 1。

(x + 10)(x² − 10x + 100) 怎么算：立方和公式一步得 x³ + 1000

结果是 x³ + 1000。这正是立方和公式 (a + b)(a² − ab + b²) = a³ + b³ 的形状，取 a = x、b = 10 即可；再逐项展开验证中间两列恰好抵消，最后代数值检验。

展开 (x + 5y)(2x − y)：含两个字母的多项式乘法

乘积是 2x² + 9xy − 5y²。用分配律得到四项，中间的 −xy 与 +10xy 合并成一项 9xy。

分式相乘化简 (x−1)²/(x²+2x−3) × (x²+3x)/(x²+2x)

乘积是 (x-1)/(x+2)。先把四个二次式都分解，再跨着两个分式约掉一个 (x-1)、一个 (x+3) 和一个 x，最后才谈得上相乘。

横式计算 (x² + y²)(2x² + 4y² + 6z²) 的乘积

结果是 2x⁴ + 6x²y² + 6x²z² + 4y⁴ + 6y²z²。两项乘三项得六个单项式；三个字母同时出现时，同类项指的是字母模式完全一致，因此只有两个 x²y² 能合并。

解 2(x − 1.6)² + (x − 1.5)² = 0：没有实数解

答案是无实数解。非负平方之和为零要求每一项都为零，而 1.6 不等于 1.5；展开后判别式为 −0.08，同样确认无实根。

花 240 买笔，多买一支单价便宜 1，一共买了几支

一共买了 15 支。设买了 x 支，实际单价是 240/x，多买一支时是 240/(x+1)，两者相差 1；通分去分母得 x(x+1) = 240，解得 x = 15，负根舍去。

3003 棵树排成三角形共 77 行（77 × 78 ÷ 2 = 3003）

答案是 77 行。每行棵数构成 1, 2, 3, …, n 的等差数列，总数为 n(n+1)/2 = 3003，化成 n² + n − 6006 = 0；判别式 24025 = 155²，正根 n = 77，负根 −78 舍去。验算 77 × 78 ÷ 2 = 3003 正好用完，说明取整没有误差。

含参不等式 a(x − 4)² + b < 10 怎么讨论：按 a 与 b 分七种情形

先移项得 a(x − 4)² < 10 − b，但不能贸然除以 a，必须分类：a = 0 时化为对 b 的判断；a > 0 时得到以 4 为中心的有界区间或空集；a < 0 时要变号，结果是全体实数、挖掉 x = 4，或两条射线。

含参二次不等式 ax² + 2x + 1 > 0 的完整分类讨论

答案要按 a 分情况：a > 1 时解集是全体实数；a = 1 时是 x ≠ −1；a = 0 时是 x > −1/2；其余情形的区间端点由 (−1 ± √(1−a))/a 给出。

含参二次不等式 ax² − (2a − 1)x + 2 ≥ 2x 的分类讨论解法

移项化为 (x − 2)(ax − 1) ≥ 0，两根是 2 与 1/a。整个答案只取决于 1/a 与 2 的大小：0 < a < 1/2 时解集是 (−∞, 2] ∪ [1/a, +∞)，a = 1/2 时为全体实数，a > 1/2 时两根互换位置。

含参不等式 ax² + (3a − 4)x − 12 ≥ 0 的分类讨论解法

判别式恰是完全平方 (3a + 4)²，所以两根永远是 −3 和 4/a。解集按 a 的符号分类，a = 0 与 a = −4/3 各自单列一档。

把 1/(2n² + n) 分解成部分分式：待定系数法详解

分解结果是 1/n − 2/(2n + 1)。先把分母因式分解为 n(2n + 1)，得到两个互不相同的一次因式，再用待定系数法比较系数，得 A = 1、B = −2。

把 (2x − 1)/(x − 1)² 分解成部分分式：结果是 2/(x − 1) + 1/(x − 1)²

(2x − 1)/(x − 1)² 的部分分式分解结果是 2/(x − 1) + 1/(x − 1)²。重复的一次因式要按每个幂次各配一项，去分母后比较系数即得 A = 2、B = 1。

把 (x + 1)/(x − 1)² 拆成部分分式

拆解结果是 1/(x − 1) + 2/(x − 1)²。重根一次因式要按每个幂次各配一项，比较系数即得 A = 1、B = 2。

把 9x² − 12xy + 4y² 因式分解成完全平方式 (3x − 2y)²

因式分解的结果是 (3x − 2y)²。首尾两项都是完全平方：9x² = (3x)²、4y² = (2y)²，而中间项 −12xy 恰好等于 −2·(3x)·(2y)，所以二项式里取减号。

x² − 8xy + 16y² 因式分解：完全平方公式的识别与验证

x² − 8xy + 16y² = (x − 4y)²。先确认 16y² 就是 (4y)²，再验证中间项恰好等于 −2 乘 x 乘 4y，就能直接写成差的平方。

矩形面积 88 平方米、长比宽的 2 倍多 5，求周长

周长是 43 米。设宽为 x 可列出 x(2x+5)=88，这个一元二次方程的正根是 5.5 米，于是长为 16 米，周长 2(16+5.5)=43 米。

三边为 3x−4、x²−1、2x²−15 的三角形周长是 40 英尺

周长是 40 英尺。三个表达式相加先合并同类项得 3x² + 3x − 20，再代入 x = 4 就得到 40——先化简比逐边代入快得多。

两个多项式相减化简后是二项式还是三项式？次数又是多少

两式之差化简为 12a²b² − 5ab⁵，是一个 6 次二项式。减号必须带括号逐项变号，a³b 项正好抵消；含多个字母的项，次数是各字母指数之和，所以 ab⁵ 的次数是 6 而不是 5。

除法表格法：x³−2x²−10x+21 除以 x²+x−7，缺的那一项 A 是多少

商里缺失的那一项是 A = −3，所以商为 x − 3、余式为 0。文中讲清了除法表格的每个格子是怎么来的：用当前首项除以除式首项定出商的一项，再乘回去相减，最后展开验证整除。

多项式长除法：x³ + x + 1 除以 x² + 2x − 3

商是 x − 2，余式是 8x − 5。除式是二次的，用不了综合除法，只能用多项式长除法，最后再乘回去验算。

用多项式长除法计算 (x³ − 4x + 5) ÷ (x² + 2)

商是 x，余式是 −6x + 5，即 x³ − 4x + 5 = x(x² + 2) − 6x + 5。被除式和除式都有缺项，要先补上系数为 0 的占位项。

求正数 x 使比 x : 45 与 20 : x 相等，答案是 x = 30

正值是 x = 30。交叉相乘得 x² = 900，说明 x 正好是 20 与 45 的等比中项，两个比随后都化简成 2 : 3。

顶点为 (9, −14) 的抛物线：a + b + c 可取任意大于 −14 的值

a + b + c 就等于 y(1) = 64a − 14，而两个 x 轴交点迫使 a > 0，所以任何大于 −14 的值都能取到。在 x = 1 处代入是绕开求 b、c 的关键技巧。

打印机 A 打了 1800 页，打印机 B 在 5 小时里能打多少页

打印机 B 能打 4200 页。A 的速度是每小时 360 页，可推出整批任务是 2520 页，于是 B 的速度是每小时 840 页，5 小时打 4200 页。

两个 3×3 矩阵相乘：AB 的三行是 (0, 6, 16)、(−7, −2, −3)、(−2, 2, 6)

乘积 AB 的三行依次是 (0, 6, 16)、(−7, −2, −3) 和 (−2, 2, 6)。每个元素都是 A 的某一行与 B 的某一列的点积，所以一共要算九个点积。

证明恒等式 x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y)：展开右边即可

展开 (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³，再展开 3xy(x + y) = 3x²y + 3xy²；相减后两个交叉项恰好抵消，剩下的正是 x³ + y³。

证明集合恒等式 complement(A△B) − ((A∩B) − C̄) = ((A∩B) − C) ∪ complement(A∪B)

该恒等式对一切集合成立。先把对称差改写出来，注意它的补集是 (A∩B) ∪ complement(A∪B)，再把「去掉 (A∩B∩C)」这一步对并集分配即可。

求证 x = 1 是 (2x²−4x+3)(x²−2x+2) = 1 的唯一实根

配方后两个因式变成 2(x−1)² + 1 和 (x−1)² + 1，都不小于 1。乘积等于 1 只能是两个因式同时等于 1，于是 x = 1。

证明 x = 2 是 (x²−4x+5)(2x²−8x+9) = 1 的唯一实根

两个因式都在 x = 2 处配方，分别化成 (x−2)² + 1 和 2(x−2)² + 1，各自都不小于 1，所以乘积等于 1 只能发生在 x = 2。

求证 x² + ax + a − 2 = 0 恒有两个不相等的实根

判别式为 a² − 4a + 8 = (a − 2)² + 4，对任意实数 a 都不小于 4。判别式严格为正，就保证方程有两个不同的实根。

用求根公式解 0.097x² − 2.20765x + 4.37114 = 0

答案：x = 20.568376 或 x = 2.190902。判别式 b² − 4ac = 3.1777162025，最后要除以 2a = 0.194，前面任何一点四舍五入误差都会被放大约 5 倍。

用求根公式解 0.097x² − 2.3289x + 4.9064133 = 0

答案是 x = 21.675719 或 x = 2.333560。判别式 b² − 4ac = 3.52008685 必须保留全部小数、不能提前四舍五入，最后再除以 2a = 0.194，否则误差会被放大。

用求根公式解 4.08x² − 652.8x + 10236 = 0，两根约 142.379 和 17.621

两根是 x ≈ 142.379 和 x ≈ 17.621，精确值为 (1360 ± 105√102)/17。判别式为 426147.84 − 167051.52 = 259096.32，开方得 509.01505。

含绝对值的二次方程 x²+4|x−3|−7x+11=0 怎么分类讨论求解

两个根是 x = (11 − √29)/2 ≈ 2.807 和 x = (3 + √13)/2 ≈ 3.303。以 x = 3 为分界点去掉绝对值，两侧各解一个二次方程，再把不落在对应范围里的根舍去，最后代回原式验证。

由解集 −1≤x≤5 和最小值 −18 反求二次函数，再解 f(x)≤6

答案是 2 − 2√3 ≤ x ≤ 2 + 2√3。解集的两个端点就是零点，于是 f(x) = a(x+1)(x−5)；对称轴 x = 2 处取最小值 −18 定出 a = 2，代回后解 2x² − 8x − 10 ≤ 6 即可。

换元法解 (x+4)² + 17(x+4) + 72 = 0：可化为二次的方程

实数解是 x = −12 和 x = −13。令 u = x + 4，把「可化为二次」的方程变成 u² + 17u + 72 = 0，十字相乘分解因式求出 u，最后别忘了把 u 换回 x 再检验。

用符号表解 (2 − 3x)(2x + 1) ≥ 0，解集是 −1/2 ≤ x ≤ 2/3

答案是 −1/2 ≤ x ≤ 2/3。隐藏的二次项系数是 −6，抛物线开口向下，所以乘积在两根之间为正，而不是在两根之外为正。

开口向下的抛物线怎么解 (2 − x)(2x − 3) > 0

答案是 3/2 < x < 2。展开后首项系数其实是 −2，抛物线开口向下，所以乘积是在两根之间为正，而不是在两根之外为正。

解一元二次不等式 2x² − 3x − 2 > 0：因式分解加符号表

答案是 x < −1/2 或 x > 2。把二次项系数不为 1 的式子分解成 (2x + 1)(x − 2)，求出临界点 −1/2 和 2，取两根之外的区间。

3x² − 2x − 1 ≥ 0 的解是 x ≤ −1/3 或 x ≥ 1：拆中项法

答案是 x ≤ −1/3 或 x ≥ 1。用十字相乘（AC 法）把 −2x 拆成 −3x + x，分组得到 (3x + 1)(x − 1)，再由抛物线开口向上定号。

解 4x² − 4x + 1 ≤ 0：解集只有一个点 x = 1/2

唯一的答案是 x = 1/2。这个三项式就是完全平方 (2x − 1)²，永远不会为负，所以只有取到等号才能满足不等式。

解 4x² − 4x + 1 < 0：为什么答案是空集

答案：无解。这个二次式其实是完全平方 (2x − 1)²，而实数的平方永远不会是负数，所以这个严格不等式的解集为空。

解不等式 9x² + 48x − 576 ≥ 0：两根是无理数

解集要用根 (−8 ± 8√10)/3 来写，约为 5.766 和 −11.099。这个三项式在整数范围内分解不了，所以 x = 6 根本不是它的根。

先化简成 m² + 4m − 12 再解 (−m)² − 4(−m + 3) > 0：m < −6 或 m > 2

答案是 m < −6 或 m > 2。偶次方把 (−m)² 的负号吃掉了，−4 乘进括号又把里面两个符号都翻过来，于是得到可以因式分解的 m² + 4m − 12。

解不等式 −7 > 3x(x − 2)：为什么它无解

该不等式无解。展开整理得 3x² − 6x + 7 < 0，但判别式为 −48，开口向上的抛物线始终在 x 轴上方。

取交集求解不等式组 −x² + 3x + 4 ≥ 0 与 3x² − 2x ≥ 0

答案：[−1, 0] ∪ [2/3, 4]。分别把两个二次式因式分解、各自解出解集，最后在同一条数轴上取交集即可。

解不等式组 −x² + 3x + 4 ≥ 0 与 3x² − 5x ≥ 0

答案是 [−1, 0] ∪ [5/3, 4]。第一个不等式两边乘 −1 后不等号要变向，第二个提出公因式化成 x(3x − 5)，分别解出解集后再取交集。

解 55(x² − 25) > 35(24² − 25)：解集边界用精确根号表示

答案是 x < −2√11363/11 或 x > 2√11363/11，约为 ±19.3813。先把右边算成 19285，再除以 55，边界保留成分数形式不取近似。

解含参不等式 ax² + (1−a)x − 1 < 0：完整的五种情形

它能分解为 (x−1)(ax+1)，所以答案要分五种情形，而不是三种。a < 0 这一支还得在 a = −1 处再分一次，那里 −1/a 恰好等于 1，两根重合。

用两个一次因式的符号表解 (x − 1)(x − 3) > 0

解集是 (−∞, 1) ∪ (3, +∞)。两个根 1 和 3 把数轴分成三段，两个一次因式的乘积只有在两根之外才为正，端点因为严格不等号而排除。

解不等式 (x + 1)(x − 3) > 0：直接看乘积的符号

答案是 x < −1 或 x > 3。抛物线开口向上，所以乘积在两根之外为正，在两根之间那一段为负。

因式分解解二次不等式 x² − 2x > 3，解集是 x < −1 或 x > 3

解是 x < −1 或 x > 3。两边减 3 化成 (x − 3)(x + 1) > 0，再用开口向上的抛物线在两根之外为正这一点直接读出答案。

解 x² − 2x − 1 > 0：解集为 x < 1 − √2 或 x > 1 + √2

答案是 x < 1 − √2 或 x > 1 + √2。这个三项式在整数范围内分解不了，所以两个边界点只能由求根公式给出，再按开口向上取两根之外。

先因式分解再解 x² − 2x − 3 < 0

答案是开区间 (−1, 3)。三项式可分解为 (x − 3)(x + 1)，开口向上的抛物线只在两根之间取负值。

x² − 4x − 5 > 0 的解是 x < −1 或 x > 5：因式分解列符号表

解集是 x < −1 或 x > 5。因式分解得到 (x − 5)(x + 1) > 0，在三个区间各取一个点试符号，就能看出乘积在哪里为正。

解一元二次不等式 x² − 4x − 5 < 0：解集是 −1 < x < 5

答案是 −1 < x < 5。先分解成 (x − 5)(x + 1)，再用开口向上的抛物线来判断：二次项系数为正的二次式，只在两根之间严格取负。

证明 x² + x + 1 > 0 对一切实数恒成立

解集是全体实数。判别式为 −3，没有实根；再配方成 (x + 1/2)² + 3/4，最小值 3/4 仍是正数。

二次函数两根为 1 和 −7，a + b ≥ n 中 n 的最大值怎么求

n 的最大值是 14。由两个根写出 f(x) = a(x − 1)(x + 7)，展开对比系数得 b = 6a，于是 a + b = 7a；a 是大于 1 的整数，最小取 2，所以 a + b 的最小值 14 就是 n 能取到的上限。

根的分布：x²−(2k−1)x+1=0 两根分别落在 (0,1) 和 (2,3) 求 k

答案是 7/4 < k < 13/6。把「根在哪个区间」翻译成 f(0)>0、f(1)<0、f(2)<0、f(3)>0 四个符号条件就能定出参数范围，判别式不必另外讨论；再用韦达定理两根互为倒数复核一遍。

解四次方程 0.0395m⁴ − 1.0636m³ + 8.1435m² − 11.8308m − 17.026 = 0：四个实根

四个根全是实根：m ≈ −0.86460、3.37180、11.10473、13.31466。先用变号扫描把每个根框住，再用韦达定理的根之和与根之积确认一个都没漏。

为什么 3x⁴+18x³+38x²+32x+12 = 0 没有实数解

答案：没有实根。把它拆成平方和 3(x²+3x+3/2)² + 2x² + 5x + 21/4，可见这个四次式恒不小于 17/8，所以四个根全是复数。

u⁴ − 6u³ + 8u² + 6u − 9 = 0 的根是 u = −1、1 和二重根 3

根是 u = −1、u = 1 以及二重根 u = 3。用待定系数法拆成 (u² − 1)(u² − 6u + 9)，再继续分解为 (u − 1)(u + 1)(u − 3)²。

解 6.804e10·x⁴ + 0.7x − 1210.23 = 0：两个极小的实根

答案：x = 0.0115484893 与 x = −0.0115485279。四次项占绝对主导，所以两个根几乎就是 1210.23/6.804e10 的四次方根，而且接近对称。

解 6.804e−10x⁴ + 0.7x − 1210.23 = 0：x⁴ 项不能丢

答案是 x = 947.0356 和 x = −1332.1428。首项系数小并不代表这一项可以忽略：x 取 1729 时，四次项已经约等于 6079。

提公因式解 x²((8.9 − x)² − 64) = (63.9 − 71x)²，得 x = 0.9 与另外三个实根

答案：x = 0.9 是精确根，另有 x = −63.548577、0.897443、79.551134。两边都藏着公因式 (0.9 − x)，提出来后四次降成三次，不必硬展开。

x⁴ − 10x³ + 18x² − 40x − 18 = 0 无法因式分解，用数值法求根

两个实根是 x ≈ 8.4610649 和 x ≈ −0.3736462，另有一对共轭复根。这个四次式没有有理根，也拆不出整系数二次因式，只能先夹根区间再用牛顿迭代。

换元 t = x² − 8x 解四次方程：根是 1、7 和 4 ± √21

四个根是 x = 1、x = 7 和 x = 4 ± √21。两个二次因式共用 x² − 8x，所以令 t = x² − 8x，四次方程就变成 t² + 2t − 35 = (t + 7)(t − 5)。

解无理方程 3√(2x − 1) = 14：先把根号单独留在一边

答案是 x = 205/18，约 11.3889。平方之前先除以 3，得 √(2x − 1) = 14/3；再平方得 2x − 1 = 196/9，于是 2x = 205/9，最后 x = 205/18。

解无理方程 √(4 + 2x − x²) = x − 2 并舍去增根

唯一的解是 x = 3。两边平方后会得到 x = 0 和 x = 3，但 x = 0 会让右边变成负数，属于增根，必须舍去。

解无理方程 √(4x² − 8x + 4) = 5：根号下配方后化为绝对值

答案是 x = 7/2 或 x = −3/2。被开方式可以写成 4(x − 1)²，所以根式等于 2|x − 1|；正是这个绝对值保证了方程恰好有两个解。

解无理方程 √(x² − 3) = x − 1 并检验定义域，答案 x = 2

答案是 x = 2。两边平方后 x² 项相消，只剩 −3 = −2x + 1，得 x = 2；它满足定义域条件 x ≥ 1，所以不是增根。

解无理方程 √(x² − 6x + 1) = 5 − 2x：无实数解

答案：无实数解。两边平方得到 3x² − 14x + 24 = 0，判别式是 196 − 288 = −92，所以连平方后的方程也找不出实数根。

解无理方程 √(x² − 6x + 25) = 3 − x：为什么它无解

答案：无解。两边平方后得 x² − 6x + 25 = x² − 6x + 9，含 x 的项全部抵消，方程化成了 25 = 9 这个假命题。

√(x² − 6x + 25) = 5 的解是 x = 0 或 x = 6：两边平方

答案是 x = 0 或 x = 6。右边的 5 是正数，所以平方是安全的；平方后常数 25 两边抵消，只剩下 x(x − 6) = 0。

解 √(2x + 1) = x − 1 并舍去增根：唯一解是 x = 4

唯一的解是 x = 4。两边平方得到 x² − 4x = 0，根是 0 和 4，但 x = 0 会让右边变成负数，必须舍去。

解 71(8.9−x) − x√((8.9−x)² − 64) = 568：有两个根

有两个解：x = 0.9 和 x ≈ 0.8974432593。换元 u = 8.9 − x 后方程成为 71(u−8) = (8.9−u)√((u−8)(u+8))，边界根 u = 8 就露出来了。

把 −4m⁻²n¹¹ 取 −4 次方并化成正指数：结果是 m⁸/(256n⁴⁴)

结果是 m⁸/(256 n⁴⁴)。外层指数要分配到每个因式：(−4)⁻⁴ = 1/256，m⁻² 变成 m⁸，n¹¹ 变成 n⁻⁴⁴ 再落到分母上。

由两个线性约束求 z = 6x − 8y 的取值范围：0 ≤ z ≤ 22

取值范围是 0 ≤ z ≤ 22。把 6x − 8y 写成 4(x + y) + 2(x − 6y)，就能直接用两个已知区间界住 z，不必先解出 x 和 y。

证明秩为 r 的矩阵恰好是 r 个秩 1 矩阵之和

取列空间的一组基得到 A = UC，也就是 r 个外积之和；再用秩的次可加性说明少于 r 个不可能。两半各用一套完全不同的工具。

由 4%x + 5%y = ⅔(5%x + 8%y) 求 x : y——答案是 1 : 2

比值为 x : y = 1 : 2。先去掉分母 100，再去掉 2/3，这句话就化成 12x + 15y = 10x + 16y，整理后即得 2x = y。

用两张符号表解 −2 < (2x − 3)/(x + 1) ≤ 1，解集是 (1/4, 4]

解集是 (1/4, 4]。把连不等式拆成两个分式不等式，各自移项到一边，用符号表分别求解后取交集，同时排除 x = −1。

解分式方程 1/(x − 2) + 2/(x + 2) = 3/(x² − 4)，得 x = 5/3

x = 5/3。公分母 (x − 2)(x + 2) 正好就是 x² − 4，方程随即化为 3x − 2 = 3；而 5/3 也避开了必须排除的 2 和 −2。

解 (350 + 6X)/16 = (450X − 6X)/9：交叉相乘得 X = 21/47

解是 X = 21/47 ≈ 0.4468。先把 450X − 6X 合并成 444X，交叉相乘得 3150 + 54X = 7104X，最后把 3150/7050 按最大公约数 150 约简。

解 (x+25)/(x+125) − x/(x+100) = 1/10：两个实根

答案：x = (−225 ± 25√161)/2，约为 46.107 和 −271.107。分子里带 x 的项全部抵消，只剩常数 2500，于是只需解 x² + 225x − 12500 = 0。

解 x/(x+100) − (x+25)/(x+125) = 1/10：没有实数解

分子塌缩成 −2500，得 x² + 225x + 37500 = 0，判别式为 −99375，所以实数范围内无解；在复数范围内 x = (−225 ± 25i√159)/2。

为什么 x/(x+100) − (x+25)/(x+125) = 0.1 没有实数解

没有实数解。通分后分子整个塌缩成常数 −2500，方程化为 x² + 225x + 37500 = 0，判别式 −99375 < 0，只剩一对复根。

(2x − 1)/(1 − x) ≥ 1 的解集是 [2/3, 1)：先移项再通分

答案是 [2/3, 1)。把右边的 1 移过来通分成一个分式，得到 (3x − 2)/(1 − x) ≥ 0 —— 千万不要两边乘 1 − x。

用符号表解 (2x − 1)/(1 − x) ≥ 0：解集是 [1/2, 1)

答案是半开区间 [1/2, 1)。分子的零点要取到，因为 0 满足 ≥；而 x = 1 必须排除，它会让分母为零。

分母恒正，解 (2x−1)(x+1)/(x² + x + 2) ≤ 0 得 [−1, 1/2]

答案是 [−1, 1/2]。分母的判别式为 −7，对每个 x 都取正值，所以整个分式的符号完全由分子说了算。

用符号表解分式不等式 (2x + 1)/(x − 4) < 0，解集是 (−1/2, 4)

答案是开区间 (−1/2, 4)。分式为负恰好是分子与分母异号的时候，而这只发生在两个零点之间；两端都开，但理由各不相同。

解分式不等式 (3 − x)/(2x + 1) ≥ 1：千万别交叉相乘

答案是 −1/2 < x ≤ 2/3。两边减 1 后化为 (2 − 3x)/(2x + 1) ≥ 0；左端点开区间，是因为分母恰好在那里为零。

解分式不等式 3/(x − 1) > x + 4

答案是 x < (−3−√37)/2 或 1 < x < (−3+√37)/2。千万别交叉相乘：x − 1 的符号未知，正确做法是移项通分成一个分式再列符号表。

3/(x − 1) − 1 ≥ 2 的解是 1 < x ≤ 2：不要交叉相乘

答案是 1 < x ≤ 2，即区间 (1, 2]。把所有项移到一边，合并成 (6 − 3x)/(x − 1) ≥ 0 后列符号表 —— 绝不能两边乘符号未知的 x − 1。

不乘 x − 2 解 3/(x−2) > 1：解集是 (2, 5)

解是区间 (2, 5)。两边减 1 后合并成 (5 − x)/(x − 2) > 0，就避开了乘以符号未知的 x − 2 这一步。

用符号表解 (2x + 1)(3x − 1)²/(x³(√2 − 1)) ≤ 0，解集含一个孤立点

解集是 −1/2 ≤ x < 0，再加上孤立的一点 x = 1/3。平方因式不改变符号，但在非严格不等式里它仍会贡献出这个孤立的取等点。

解 (2x − 1)/3 − 4/(x + 2) > (x − 3)/6 + 1：边界是 (−1 ± √409)/6 和 −2

解集是 x ∈ ((−1 − √409)/6, −2) ∪ ((−1 + √409)/6, +∞)。先把多项式部分合并成 (3x − 5)/6，再对 (3x² + x − 34)/(x + 2) 列符号表逐段判号。

用符号表解 (x−1)/((x−3)(x−2)) ≤ 0，解集是 (−∞, 1] ∪ (2, 3)

解集是 (−∞, 1] ∪ (2, 3)。标出三个临界点，逐区间取点试符号，x = 1 取闭端点，而 x = 2 和 x = 3 必须排除。

解 (x²−4x+3)/(x²−9) ≤ 0：解集 (−3, 1]，约掉的因式仍要排除

答案是 (−3, 1]。分子分母都含因式 x − 3，它虽然能约掉，却仍然把 x = 3 从定义域里剔除——那是一个空心点，不是变号点。

把 (2√2 − √3)/(√3 + √2) 分母有理化，结果是 3√6 − 7

分子分母同乘共轭式 √3 − √2；分母变成 3 − 2 = 1，所以答案就是展开后的分子 3√6 − 7。

用共轭式 2 − √11 把 17/(2 + √11) 分母有理化，得 (17√11 − 34)/7

答案是 (17√11 − 34)/7。乘上共轭式 2 − √11 后，分母变成 4 − 11 = −7，接着再把这个负号搬到分子上去，分数才算最简。

分母有理化：2/(√7 + √2) 怎么用共轭式化简

答案是 (2√7 − 2√2)/5。分子分母同乘共轭式 √7 − √2，利用平方差公式一次消掉两个根号；文中还说明了为什么只乘 √7 不行，最后检查能否约分并做数值验算。

7/y 的立方根怎么化简：分母有理化后得 ∛(7y²)/y

7/y 的立方根化简为 ∛(7y²) 除以 y。在根号内乘上 y²/y²，分母就变成完全立方 y³，立方根即可开出。

把 1/√11 分母有理化并化简：结果是 √11/11

结果是 √11/11。分子分母同乘 √11，分母就变成 11；而分子与分母没有公因数，所以约不掉任何东西。

把 7/(√5 − 2) 分母有理化：分母正好变成 1

结果是 7√5 + 14。乘共轭式后分母变成 5 − 4 = 1，于是分式整个消失，最终答案连分母都不用写。

x³ − 5x² − 7x + 41 的实根：三个根全是实数

这个三次式有三个实根：−2.7875545、3.2205249 和 4.5670296。它没有有理根，因为候选值只有 41 的约数 1 和 41。

解 1/x³ − 1/(5×10⁻⁵)³ = 9.33×10¹⁰：x ≈ 4.9807×10⁻⁵

答案是 x ≈ 4.9807×10⁻⁵，而不是恰好 5×10⁻⁵。右边只占 8×10¹² 的 1.17%，让 x 只挪动约 0.39% —— 幅度很小，但离零差得远。

用分母相等解 1/(4x − 5) = 1/11：根是 x = 4

根是 x = 4。两个倒数相等只能是分母相等，于是 4x − 5 = 11，得 4x = 16、x = 4，而这个值落在定义域内。

把 |x + 2| − 1 关于 x 轴翻折再下移 2 个单位：得 −|x + 2| − 1

结果是 f(x) = −|x + 2| − 1。关于 x 轴翻折要把整个函数取相反数，−1 于是变成 +1；随后向下平移 2 个单位，常数项又回到 −1。

把 |x + 2| − 3 关于 x 轴翻折再下移 2 个单位

结果是 f(x) = −|x + 2| + 1，顶点为 (−2, 1)。翻折把 −3 变成 +3，再下移 2 就剩下 +1——常数项并不是简单地一直为负。

把基本函数 |x| 关于 x 轴翻折再下移 6 个单位：f(x) = −|x| − 6

结果是 f(x) = −|x| − 6，顶点在 (0, −6)，两臂斜率依次为 +1 和 −1。所有函数值都是负的，图象整个落在 x 轴下方，最大值只有 −6。

画出 x² + y² ≤ 9 与 y ≤ x + 1 的公共区域

该区域是半径为 3 的闭圆盘中位于直线 y = x + 1 上或下方的那一部分。边界直线与圆的交点横坐标为 x = (−1 ± √17)/2。

f(x) 的立方除以 2x²−3x+4，余式怎么求

余式是 26x − 47。已知 f(x) 除以 2x² − 3x + 4 余 2x + 1，那么 f(x)³ 的余式就等于 (2x+1)³ 的余式；再用 x² = (3x−4)/2 这条改写规则给三次项降次，比长除法快得多。

已知 f(x) 除以 2x² − 3x + 4 余 2x + 1，求 f(x)³ 的余式

余式是 26x − 47。因为 f = qD + (2x + 1)，所以 f 的立方模 D 同余于 (2x + 1)³，只需把这个立方用长除法降次即可。

x³ − 2 除以 x − 1 的余数是多少：余数定理一步搞定

余数是 −1。用余数定理，多项式除以 x − 1 时余数就等于 f(1)，一步就能算出来，完全不用做长除法；文中还说明了为什么余数一定是常数而不会含 x。

把 3⁸/27⁻² 化成同底数 3：结果是 3¹⁴ = 4,782,969

因为 27 = 3³，由幂的幂法则得 27⁻² = 3⁻⁶，所以 3⁸/27⁻² 变成 3⁸/3⁻⁶；指数相减后等于 3¹⁴ = 4,782,969。

把 a·e^(−4i) + b·e^(4i) 化为 (a+b)cos4 + i(b−a)sin4

欧拉公式把每个复指数拆成余弦与正弦；余弦部分相加、正弦部分相减，就得到干净的实部加虚部形式。

把 y = (1/4)(x + 1) − 2 化成斜截式：y = x/4 − 7/4

斜截式是 y = x/4 − 7/4。把 1/4 分配进括号，再把 1/4 与 −2 通分到分母 4，得到斜率 1/4、纵截距 −7/4。

把 x² + 8xy + 16y² − 4z 改写成 (x + 4y)² − 4z

前三项正好构成完全平方 (x + 4y)²，因为 16y² = (4y)²，而 8xy 就是 x·4y 的两倍。至于 −4z，在 z 未知的情况下没法再吸收进去。

几乎压平的抛物线 −0.0164x² + 0.3655x + 25.151 = 0 的两根：−29.572 与 51.859

两根是 x ≈ −29.572 和 x ≈ 51.859，相距 81 以上。二次项系数极小让抛物线几乎压平，把两根推得远离 x ≈ 11.14 处的顶点。

x⁴ − 16 = 0 的根：实根 ±2，复根 ±2i（两次用平方差）

答案是实数范围内 x = 2 和 −2，复数范围内还有 2i 和 −2i。先把 x⁴ − 16 分解成 (x²−4)(x²+4)，再把 x² − 4 拆成 (x−2)(x+2)。

往返 120 公里用 4 小时 24 分，求去程速度

去程速度是 50 km/h，返程是 60 km/h。先把 4 小时 24 分化成 4.4 小时，再把两段时间都写成路程除以速度，解方程 220/v = 4.4。

解递推 a_n = 4a_(n-1) − 4a_(n-2)：特征方程有重根

答案是 3037。特征方程 (r − 2)^2 = 0 出现重根，通项为 a_n = (A + Bn)2^n，于是 a_2025 = 6,149,925 × 2^2025，b/c = 6,149,925/2025 = 3037。

每一项都是前两项的平均数，求第 19 项的整数部分

第 19 项约为 91.66672，整数部分是 91。相邻两项之差每次减半且正负交替，数列收敛到 (a1 + 2a2)/3 = 275/3，而不是 2a2 − a1。

用 y = x² 换元解 0.2·0.2x⁶ + x⁴ + x² − 4 = 0：x ≈ ±1.23561

实数解是 x ≈ ±1.23561。先去掉小数得到 x⁶ + 25x⁴ + 25x² − 100 = 0，再令 y = x² 化成三次方程，它唯一的正根是 y ≈ 1.526734。

六次方程 43681x⁶ − 22932.5x⁵ + 3931.3x⁴ − 221.1x³ + c 的四个实根

四个实根是 x ≈ 0.00096368、0.14670508、0.15345189、0.22484227，另有一对共轭复根。靠变号来圈定区间，才能把那两个几乎重合的根分开。

解 x²(x⁴ + 104x² + 40x) = 10000：只有两个实根 2.982928 与 −3.152475

答案：x = 2.982928 和 x = −3.152475。展开后是六次方程 x⁶ + 104x⁴ + 40x³ − 10000 = 0，它没有有理根，只能把两处变号分别框住再二分求解。

证明这个 4 方程 3 未知数的方程组无解

答案：方程组不相容——无解。代入消元后化成关于 y、z 的三个方程，其中两个给出 y = 25/2、z = −9/2，而这组值不满足剩下的那个方程。

证明 kt + xy > ky + tx 等价于 (k − x)(t − y) > 0

这个不等式等价于 (k − x)(t − y) > 0，也就是要求 k − x 与 t − y 同号。分组分解把四个散落的乘积并成了一个因式条件。

证明 x³ + x² + 2x + 1 没有有理因式

这个三次式在有理数上不可约。候选根只有 1 和 −1，两个都不是根，所以不存在一次有理因式，分组分解也同样走不通。

约束 3x + y = 1 下 y/x + 1/y 为什么没有最大值

不存在最大的 m：代入 y = 1 − 3x 得 1/x − 3 + 1/(1 − 3x)，当 x 从左侧趋于 1/3 时它趋于 +∞，所以表达式无上界，这个界根本取不到。

用符号表解 (x−2)³(x−4)⁴(x−5)³(x−10)⁶ ≤ 0，解集含孤立点

答案是 [2, 5] ∪ {10}。偶次幂从不改变符号，所以真正说得上话的只有 (x−2)³ 和 (x−5)³；孤立点 x = 10 之所以入选，是因为乘积在那里等于零。

(2 − 3x)/(x(x − 1)) 在哪里为正：符号表给出 (−∞, 0) ∪ (2/3, 1)

该分式在 (−∞, 0) ∪ (2/3, 1) 上为正。分子在 2/3 处变号，分母在 0 和 1 处变号，所以四个区间里只有两个符合。

化简 0.8x + (1 − x)(0.2) 得 0.6x + 0.2

答案是 0.6x + 0.2。这是加权平均的形式：占比 x 的那部分按 0.8 计，剩下的部分按 0.2 计，结果随 x 线性上升。

化简 (1 − 2√(b/a) + b/a) ÷ (√a − √b)²，结果是 1/a

答案是 1/a。分子是完全平方 (1 − √(b/a))² = (√a − √b)²/a，公共因式 (√a − √b)² 直接约掉，在 a > 0、b ≥ 0、a ≠ b 时只剩下 1/a。

提出公因式 32π 化简 192π²/(128π + 32π²)，结果是 6π/(π + 4)

答案：6π/(π + 4)。分子和分母都含因式 32π，把它提出来约掉后只剩 6π 比 4 + π，这个分式已经不能再约了。

化简 2(x²y + xy) − 3(x²y − xy) + 2xy 得 −x²y + 7xy

答案是 −x²y + 7xy。那个 −3 必须乘进括号里的两项，把 −xy 变成 +3xy——多数解答恰恰在这一步出错，最后写成 −xy 而不是 +7xy。

用同底数幂相除化简 28x⁴y² / (16x⁷y⁻³)

这个商化简为 7y⁵/(4x³)。先把 28/16 约成 7/4，再把指数相减得到 x⁻³ 和 y⁵，最后把 x⁻³ 挪到分母上就收工。

化简 (2a²b − 3ab² + b²) − (a²b − 2ab² + 2b)，结果是 a²b − ab² + b² − 2b

化简结果是 a²b − ab² + b² − 2b。第二个括号前面的负号会把括号内每一项的符号都翻过来，之后才能按字母和次数合并同类项。

合并同类项化简 2x³ + x³ + x² + 2x − 6 得 3x³ + x² + 2x − 6

化简结果是 3x³ + x² + 2x − 6。只有两个三次项是同类项，合并成 3x³，而 x²、x 和常数项都保持不动。

化简 (2x−4+(x+1)(x−2))/((x+1)(x−2)) 得 (x+3)/(x+1)

结果是 (x+3)/(x+1)。先把分子展开合并成 x² + x − 6，再分解为 (x+3)(x−2)，最后和分母里的 (x−2) 约掉。

化简 3√12 / (4·∛54) 并把立方根有理化

结果是 √3·∛4/4。先从 √12 里提出 2、从 ∛54 里提出 3，再乘 ∛4/∛4——因为立方根还差两个因子才能凑齐。

化简 (3⁵ × 27³ × 9⁴)/(3 × 81⁴)，写成 3 的幂就是 3⁵ = 243

商是 3⁵ = 243。先把 27、9、81 都改写成 3 的幂，再把分子、分母的指数各自相加，最后相减：22 − 17 = 5，所以值为 243。

用同底数幂相除法则化简 3a²/a：结果是 3a（a ≠ 0）

答案是 3a，条件是 a 不等于 0。先把系数分离出来，再用指数相减得到 a²/a = a¹，同时说明原式为什么要求分母不为零。

化简 4(3x + 5) − 15：先分配再合并，得 12x + 5

答案是 12x + 5。把 4 分配进去得到 12x + 20，接着只有常数能合并，因为 20 与 −15 是同类项，而 12x 找不到配对项。

化简 4a⁻¹⁰ · a · d，答案写成正指数 4d/a⁹

答案是 4d/a⁹。指数 −10 与 1 相加得到 a⁻⁹，而负指数就是在提示：这个因子该待在分母上。

化简 5√9 − √(−64) 并写成复数：15 − 8i

答案是 15 − 8i。第一个根式是实数 15，而 √(−64) 必须先借 i = √(−1) 写成 8i，绝不能写成实数 −8。

先去括号化简 5(9x − 8) + 12x，结果是 57x − 40

化简结果是 57x − 40。把 5 分配到括号里的两项上，再把 45x 与 12x 合并 —— 只有同类项才能相加。

化简 (5x² + 2x − 1) − 4(3 − 8x + 2x²) 得 −3x² + 34x − 13

把 −4 分配到三项上：−12 + 32x − 8x²。再逐组合并：5x² − 8x² = −3x²，2x + 32x = 34x，−1 − 12 = −13。

先去括号再化简 6(x + 2) − 3x，结果是 3x + 12

答案是 3x + 12。把 6 分配给括号里的两项得到 6x + 12，再把同类项 6x 与 −3x 合并成一个 3x。

化简 (6x−6)/(12x²+x(x²−2x+1)) 得 6(x−1)/(x(x²+10x+1))，一步也约不掉

答案是 6(x − 1)/(x(x² + 10x + 1))。分子提出 6，分母提出 x 后把括号展开成 x² + 10x + 1，它不含因式 x − 1，所以这个分式已经是最简。

化简 6x(x−y)² + 3(y−x)³ 得 3(x−y)²(x+y)

结果是 3(x − y)²(x + y)。因为 y − x = −(x − y)，奇次的立方要变号成 −3(x − y)³，此后两项就有公因式 3(x − y)²。

把 7 × 11 × x × x × y × x × y × x² 化成一个单项式：77x⁵y²

答案：77x⁵y²。先把常数乘成 77，再把同底数的指数相加：三个单独的 x 加上一个 x² 得 x⁵，两个 y 因子得 y²。

去括号并合并同类项，化简 7(f + 4) + 2(3f − 8)

化简结果是 13f + 12。去括号得 7f + 28 + 6f − 16，含 f 的项加起来是 13f，常数 28 与 −16 合起来得 12。

化简 (7y − 3z) − 3(2y − z)，最后只剩一个 y

答案就是 y。把 −3 乘进括号得到 −6y + 3z，于是两个 z 项完全抵消，整个式子最后只剩下 7y − 6y。

由内向外化简 8 − 9[7 − (3y − 6)]，结果是 27y − 109

化简结果是 27y − 109。先去掉内层括号得 8 − 9[13 − 3y]，再把 −9 分配到两项上，就得到 27y − 109。

先分配再合并化简 8(5y − 4) + 3(4y + 7)：得 52y − 11

化简结果是 52y − 11。把 8 和 3 分别分配进各自的括号，得到 40y − 32 + 12y + 21，再分别合并 y 项与常数项。

化简 8(x² − 2y²) − x(7x + y) + xy 成一个平方差

整个式子塌缩成 x² − 16y² = (x − 4y)(x + 4y)。两个 xy 项恰好互相抵消，正是这一抵消留下了干净的平方差。

用同底数幂相除法则化简 8a²b / 4ab²，得 2a/b

化简结果是 2a/b。先把系数约成 8/4 = 2，再让指数相减：a^(2−1) = a 留在分子上，而 b^(1−2) = b⁻¹ 要落到分母去。

用平方差化简 9(m+n)² − (m−n)²，结果 4(m + 2n)(2m + n)

结果是 8m² + 20mn + 8n² = 4(m + 2n)(2m + n)。把 9(m+n)² 写成 (3m+3n)²，整个式子就成了一个普通的平方差。

化简两个二次式之商构成的繁分数：结果是 (y−4)/(y+1)

把四个二次式全部分解：(3y−1)(2y+1)、(2y+1)²、(3y−1)(y+1) 和 (2y+1)(y−4)。把下面那个分数取倒数后，除 (y−4)/(y+1) 之外的因式全都约掉。

化简 (x+1)³ − 2(x+1)²(x−1) − … 时把 x+3 约掉

结果是 2(x+1)(x³ − 2x² − 3x − 2)。把 x² − 9 分解开，x + 3 就能约掉；随后 (x+1) 是四项共同的公因式。

化简 (x+1)³ 与 (x−1) 的组合式：三次项全抵消，只剩 4(x + 1)(2x + 1)

整个式子塌缩成 8x² + 12x + 4 = 4(x + 1)(2x + 1)。所有三次项都互相抵消，于是一个三次的式子最后化简成了二次式。

化简 ((a−2)/(a+2) − (a+2)/(a−2)) ÷ 12a²/(4−a²)，结果 2/(3a)

最终结果是 2/(3a)。括号里合并成 −8a/(a² − 4)；除以 12a²/(4 − a²) 就是乘 (4 − a²)/(12a²)，两个符号相反的二次式约掉后只剩 2/(3a)。

化简 8(2t(1−t²) − 2t(−t²−1))/(1−t²)² 减去第二个分式

括号里一算就坍缩成 4t，所以第一个分式是 32t/(1−t²)²，整个式子最终并成一个以 (1−t²)²(1+t²)² 为分母的分式。

用提公因式法分解 (y−x)²(x+y)² − (x−y)²(x+y)

答案是 (x−y)²(x+y)(x+y−1)。因为 (y−x)² 就等于 (x−y)²，两项都含 (x−y)²(x+y)，提出来后只剩下简单的括号 (x+y) − 1。

化简 (a − 2b)² + 8ab，正好凑成完全平方 (a + 2b)²

结果是 (a + 2b)²。展开得到 a² − 4ab + 4b²，再加上 8ab 就把中间项从 −4ab 变成 +4ab，相当于把平方里的符号翻了过来。

化简 (a − b)/(a + b + 2√(ab)) 乘共轭比，结果恰好是 1

整个式子化简后等于 1。分母是完全平方 (√a + √b)²，分子则是关于 √a 与 √b 的平方差，约完之后什么都不剩。

化简含 −1 次幂的繁分式，结果是 2 − a − 2b

整个式子塌缩成 2 − a − 2b。内层括号化成 (2a+b)/(a+b)，取倒数之后一举把 (a+b) 和 (2a+b) 都约掉。

把 a/x − x 合并成一个分式：(a − x²)/x

答案是 (a − x²)/x，其中要求 x ≠ 0。把单独的 x 改写成 x²/x，让两项同分母，然后一步就能把分子相减。

七次根与立方根的四因子乘积化简为 6√3 x^(62/21)/(35 y^(3/2))

答案是 6√3 x^(62/21) / (35 y^(3/2))。把每个根式改写成分数指数，把常数并成 18/(35√3)，再按底数逐个把指数相加。

化简单项式商的 −2 次幂：结果是 1/(x²⁰y²⁴z¹²)

答案是 1/(x²⁰ y²⁴ z¹²)。先在括号内让指数相减得到 x¹⁰y¹²z⁶，再把每个指数乘上 −2，最后把三个因式都移到分母上。

提公因式化简 (2¹⁰ + 2⁹ + 2⁸)/(2¹⁰ + 5·2⁹)，结果是 1/2

结果是 1/2。分子提出 2⁸、分母提出 2⁹ 后，剩下 7·2⁸ 比 7·2⁹，两个 7 约掉，幂相除给出 2⁻¹。

化简 m⁻²n⁻⁶p⁵/(m⁷n⁴p⁻³)：只用正指数写成 p⁸/(m⁹n¹⁰)

答案是 p⁸/(m⁹n¹⁰)。对每个字母都用上面的指数减去下面的指数，再把结果为负的那几个搬到分数线的另一侧。

分式的负四次幂怎么化简，结果只保留正指数

结果是 m^8/(256n^44)。先在括号里做除法得到 −4m^-2 n^11，再把外层的 −4 次幂分配到每个因式上；负底数取偶次幂结果为正。

换元 x = √b 化简根式分式，结果分母是 b + √b − 1

结果是 (b² + b√b + 2b − 3√b + 1)/(b + √b − 1)。先把负指数翻成倒数，再令 x = √b 让每个幂都变成多项式，约掉 x + 1，最后加上 2√b。

(4a⁻⁸b² / (12a⁷b⁻⁴)) 的零次幂化简结果就是 1

答案是 1。任何非零的量的 0 次幂都等于 1，所以这里那个满是负指数的分式根本不需要化简。

用立方和公式化简 (a²b+ab²)(a²−ab+b²)−ab⁴

整个式子最后只剩下 a⁴b。先从第一个括号提出公因式 ab，再套立方和公式，乘开之后 ab⁴ 与 −ab⁴ 恰好抵消。

换元化简 (∛a + ∛b) ÷ (2 + ∛(a/b) + ∛(b/a))：得 ∛(ab)/(∛a + ∛b)

答案是 ∛(ab)/(∛a + ∛b)。令 x = ∛a、y = ∛b，分母就变成 (x + y)²/(xy)，约掉一个 x + y 之后整个商坍缩成 xy/(x + y)。

化简 729x⁶ 的五次根除以 3x 的五次根，结果是 3x

这个商化简为 3x。把两个五次根并成一个根号，把 729x⁶/(3x) 约成 243x⁵，再认出 243x⁵ 正好是一个完全五次幂。

化简 (L² − R²)/(H + R)：只能写成 (L − R)(L + R)/(H + R)，约不掉

它化成 (L − R)(L + R)/(H + R)，一个因式也约不掉，除非题目额外给出 H = L，这时才降为 L − R。不同的字母之间绝不能互相约掉。

用分配律化简 −(1/5)(−5x+10) − 2(3−4x)：结果是 9x − 8

化简结果是 9x − 8，也就是选项 (A)。把 −1/5 分配进去得 x − 2，把 −2 分配进去得 8x − 6，再合并同类项；在 x = 0、1、3 处都验得过。

拆分分式化简 (−x² − 289)/x，结果是 −x − 289/x

答案是 f(x) = −x − 289/x，其中 x ≠ 0。把一个分式拆成两项，约掉一个 x，再把定义域限制写清楚。

化简 −10(9v − 4) + 10v：负系数去括号，结果是 −80v + 40

化简结果是 −80v + 40，也就是 40(1 − 2v)。−10 分配进括号得 −90v + 40，再把括号外的 10v 并进去，v 的系数变成 −80，常数项不变。

含负指数的分式立方化简：(−35a²b³/7a⁸b⁻⁵)³ = −125b²⁴/a¹⁸

化简结果是 −125b²⁴/a¹⁸。先用同底数幂相除的法则把括号里面约简，再把系数立方、每个指数乘 3。负指数相减会变成相加，这一步最容易出符号错。

(−3x²y⁴)⁵ = −243x¹⁰y²⁰：用积的乘方法则化简

答案是 −243x¹⁰y²⁰，不是常见写成的 −27x¹⁰y²⁰。把括号里每个因式都乘方 5 次：(−3)⁵ = −243，再把指数 2 和 4 分别乘 5。

化简 −(−9q + 3r) + 6r − 2(−4r + 9q)：结果是 −9q + 11r

−(−9q + 3r) + 6r − 2(−4r + 9q) 化简后是 −9q + 11r。三组括号里有两组前面带负的乘数，去括号时里面每一项都要变号，之后再按字母分别合并同类项。

含 −1 次幂的分式化简，最后只剩下一个 a

整个式子最终化简为 a。先把每个括号通分成分母是 a+b 的单一分式，−1 次幂表示取倒数，约分之后再减去末尾的 3b。

化简 √27 − √2(2√6 − √8)，结果是 4 − √3

答案是 4 − √3。先把 √2 乘进括号得到 2√12 − √16 = 4√3 − 4，再算 √27 = 3√3，最后 3√3 − (4√3 − 4) = 4 − √3。

用根式乘法法则化简 √(3x)·√(21x)，结果是 3x√7

答案是 3x√7。先用乘法法则把两个根号并成一个得到 √(63x²)，再把 63 = 9 × 7 中的 9 开出 3，x² 开出 x，因为题目已设 x ≥ 0，所以不必加绝对值。

化简 √45 − √12 − √10/√2 + 3/√3 得 2√5 − √3，所以 a + b = 1

化简并把分母有理化后，原式等于 −√3 + 2√5，所以 a = −1，b = 2，a + b = 1。关键是 √10/√2 直接并成 √5，3/√3 化成 √3，再把 √3 与 √5 分开合并。

用根式相除法则化简 √(48x¹²)/√(2x) 得 2x⁵√(6x)

结果是 2x⁵√(6x)。先把两个根号并成一个，里面相除得到 24x¹¹，再把完全平方因子 4 和 x¹⁰ 提到根号外。x > 0 这个条件保证不用加绝对值。

√6(√54 − √(1/6)) + √((−7)²) − (−2√6)² 化简结果是 0

三部分分别等于 17、7 和 24，所以整个式子等于 0。注意 √((−7)²) = 7 而不是 −7，(−2√6)² = 24 而不是 −24。

化简 (√a + 1)/(a − 1)：把 a − 1 看成平方差得 1/(√a − 1)

(√a + 1)/(a − 1) 化简后是 1/(√a − 1)，条件是 a ≥ 0 且 a ≠ 1。关键是把 a − 1 写成 (√a − 1)(√a + 1)，公因式 √a + 1 约掉即可。

用根式乘法法则化简 √(x³)：答案是 x√x

√(x³) 化简后是 x√x。把 x³ 拆成 x² · x，用 √(ab) = √a · √b 分开，再由 x 非负得到 √(x²) = x。

化简 (x + 1)³ − 2(x + 1)²(x − 1) − (x + 1)(x − 1)² + 2(x − 1)³ 得 4x(3 − x)

这个式子化简后是 −4x² + 12x，即 4x(3 − x)。末项由 2(x + 1)³ 换成 2(x − 1)³ 后，(x + 1) 不再是公因式，结果也从 8x² + 12x + 4 完全变样。

化简 √(20x²y²/z⁵)：带绝对值并把分母有理化

结果是 2|xy|√(5z)/z³。先把偶次幂拆出来开方，奇次方根下的字母要保留绝对值，最后再把分母上剩下的 √z 有理化。文中还说明为什么 z 本身不用加绝对值。

用积的运算法则化简 √(405x²)，结果是 9|x|√5

化简结果是 9|x|·√5。把 405 分解成 81 × 5，用积的运算法则把根号拆开，注意 √(x²) 等于 |x|，所以绝对值符号必须保留。

化简 √(−140)：用虚数单位 i 得 2i√35

√(−140) 化简后是 2i√35。先把虚数单位提出来写成 i√140，再把 140 拆成 4 × 35，把 4 的平方根提到根号外。

化简含分数系数的 3a/2 + a² − 4a/5 − 3a²

结果是 −2a² + 7a/10。a² 项的系数合并成 1 − 3 = −2；a 项要先通分：3/2 − 4/5 = 15/10 − 8/10 = 7/10。

用完全平方公式化简 (3x²+4)² + (3x²−4)² − 2(3x²+4)(3x²−4) 得 64

整个式子是常数 64。设 a = 3x²+4、b = 3x²−4，它就是 (a−b)²，而 a−b = 8，所以 x 的各次幂全部消掉，答案里一个 x 都不剩。

化简 (x − 78000)·0.055 + 1280 得斜截式 0.055x − 3010

化简结果是 0.055x − 3010。去括号时 78000 × 0.055 = 4290，再算 1280 − 4290，常数项就是 −3010，两步式的分段规则被压成一个一次函数。

化简 (x+1)³ − (x−4)(x+4) − x³ 得 2x² + 3x + 17

答案是 2x² + 3x + 17。两个三次项正好抵消，平方差贡献 −x² + 16，所以看着是三次式，实际化到最后只剩一个二次式。判别式为负，它对任意 x 都取正值。

(x + 1) × 0.79 × 1.15 × 1.3 × 1.3 × 1.15 = 1.76566975(x + 1)

答案是 1.76566975(x + 1)。把重复的因数写成 1.15² 和 1.3²，先把所有常数合成一个乘数，需要一次式时再展开。

化简 (x+2)³ + (x−2)³ + x³ − 3x(x+2)(x−2)，结果是 36x

整个式子化简后只剩 36x。展开两个立方，x² 的项成对抵消；−3x 那一项单独用平方差处理；最后所有 x³ 的项也全部消失。

化简 (x + 2)(x − 3) + x：一次项恰好抵消，结果为 x² − 6

结果是 x² − 6。展开乘积得到 x² − x − 6，外面多出来的 +x 正好把 −x 抵消，最后剩下一个没有一次项的二项式。

化简 (x+3)² + (x−2)² − 2(x+3)(x−2)：结果是常数 25

整个式子塌缩成常数 25。认出 A² + B² − 2AB = (A − B)²，再把两个括号相减，就能看出 x 的各次幂为什么全部抵消。文末用硬展开复核。

化简 (x+4)² − (x²+8x+16)：为什么结果恒等于 0

答案是：对任意 x 都等于 0。把 (x+4)² 展开正好得到 x² + 8x + 16，括号减去的是同一个三项式，逐项相消后什么都不剩，所以这是一个恒等式。

化简 (x+y)(x−y) + 4(y−1) 并分解得 (x−y+2)(x+y−2)

展开后是 x² − y² + 4y − 4，把后三项凑成完全平方就得 x² − (y−2)²，再用平方差分解成 (x−y+2)(x+y−2)——里面还藏着第二个平方差。

化简 (x+y)(x−y) + y(y−2) 得到 x² − 2y

结果是 x² − 2y。第一个乘积用平方差公式得 x² − y²，其中的 −y² 正好与展开 y(y − 2) 得到的 +y² 相互抵消。

化简 x² − 3(x/2 + √5)²：结果是 x²/4 − 3x√5 − 15

结果是 x²/4 − 3x√5 − 15。先把括号平方展成 x²/4 + x√5 + 5，乘 3 再相减，x² 的项只剩下四分之一。

化简 (x² − 9)/(x + 3)，别丢掉 x ≠ −3 的限制

化简结果是 x − 3，条件是 x ≠ −3。把 x² − 9 分解成 (x − 3)(x + 3) 就能约掉公因式，但原式在 x = −3 处无定义，这个限制必须写出来。

化简 (x² − xy + y) − 3(x² + xy − 2y) 得 −2x² − 4xy + 7y

把 −3 乘进括号得 −3x² − 3xy + 6y，于是三类同类项分别合并成 −2x²、−4xy 和 +7y。最容易错的是 −3 × (−2y) = +6y 这一项，文末还给出一个流传较广的错误答案。

化简 x² + 3² + 1：先算乘方，结果是 x² + 10

答案是 x² + 10。3² 是一个纯数字而不是含字母的项，所以先算成 9，再和 1 合并；x² 不是同类项，只能单独留着。

因式分解约分化简 (x²+3x−10)/(x²−4) 得 (x+5)/(x+2)

结果是 (x+5)/(x+2)，且 x ≠ 2、x ≠ −2。分子分母各自分解，约掉公因式 (x−2)，但约掉的那个因式留下的限制条件必须提前记下来，否则 x = 2 的痕迹就被抹掉了。

(x^a)^(−b) 化简为 x^(−ab)，也就是 1/x^(ab)

结果是 x^(−ab)，等价写法是 1/x^(ab)。幂的乘方法则让两个指数相乘，而负号把整个幂搬到分母上去。

过 (2, 5) 和 (3, −3) 两点的直线斜率是 −8

斜率 m = −8。纵坐标相减得 −8，横坐标相减得 1，两者相除即可；这个陡的负值说明 x 每向右 1 个单位，直线就下降 8 个单位。

过 (2, −4) 与 (6, 4) 的直线斜率是 2：用两点式斜率公式求

斜率 m = 2。代入 (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) 得 (4 − (−4))/(6 − 2) = 8/4，分子上的「减负号」要变成加。

求过 (8, 5) 与 (10, 7) 的直线斜率：纵坐标增量等于横坐标增量

斜率是 m = 1。代公式得 (7 − 5)/(10 − 8) = 2/2 = 1，纵坐标增量与横坐标增量相等，所以这条直线与 x 轴成 45 度角。

求过 (−1, −2) 与 (−4, −1) 的直线斜率：结果是 m = −1/3

答案是 m = −1/3。纵坐标增量是 +1，横坐标增量是 −3，所以负号只来自分母，跟两个点的坐标都是负数没有关系。文中还交代了负负得正这一步。

以 5 为底的对数不等式，求最小的整数解

答案是 17。把 2log₅(√x+2) 并成一个对数，因为底数 5 > 1 可以直接比较真数，x 项抵消后得 28 < 7√x，即 x > 16。

三个连续整数之和为 96：最小的那个是 31

这三个整数是 31、32、33，最小的是 31。把最小的设为 x，解 3x + 3 = 96 得 x = 31——设元时就把最小数设成 x，答案直接由方程给出，不用再多算一步。

y = 2/(x − 2) − 1 与 y = 2|x − 2| − 4 的完整解只有 (4, 0)

方程组唯一的解是 (4, 0)。令 u = x − 2 得 2/u + 3 = 2|u|；u 为正的情形给出 u = 2，u 为负的情形无实根。

已知 x² + px + q < 0 的解集为 (−1/2, 1/3)，求 qx² + px + 1 > 0 的解集

答案是 (−2, 3)。由两个端点即为方程的根可得 p = 1/6、q = −1/6，代入后第二个不等式化为 x² − x − 6 < 0，解集就是 (−2, 3)。

解 0.15x + 0.15x = 87870，答案是整数 x = 292900

x = 87870/0.30 = 292900，结果恰好是整数。两个相同的项合并成 0.30x，而 878700 的数字和是 30 能被 3 整除，所以除得尽，一点都不用四舍五入。

解 0.6x − 402.8 = 5x/9 − 360：系数只差 2/45，x = 963

x = 963。把 0.6 写成 27/45、5/9 写成 25/45，就看出两边 x 的系数只差 2/45，于是常数项那 42.8 的差被放大了 22.5 倍，解自然很大。

逐层还原运算解 0.8(1 + x/10000) = 5，得 x = 52500

x = 52500。两边除以 0.8 得 1 + x/10000 = 6.25，减 1 得 x/10000 = 5.25，再乘 10000 就完成。验算：0.8 × 6.25 = 5，完全精确没有四舍五入。

0.85x + 0.85x = 87870 合并成 1.7x，解得 x ≈ 51688.24

x = 87870/1.7 = 878700/17，保留两位小数是 51688.24。两个相同的项合起来是 1.7x，而精确商 51688 + 4/17 是无限循环小数。

解 0.85x × 1.09 × 0.7 = 3250000/2：x ≈ 2,505,589.39

答案：x ≈ 2,505,589.39。右边先除以 2 得 1,625,000，再把 0.85、1.09、0.7 合成一个系数 0.64855，最后相除还原出 x。

解方程 0.85x × 1.09 × 0.85 = 3250000/2，求 x

答案：x = 2,063,426.56。先把右边约成 1,625,000，再把左边三个乘数并成一个系数 0.787525，最后一次除法即可 —— 这是两次打折加一次加价的链条。

解 0.78x = 50：精确答案是分数 2500/39

答案是 x = 2500/39，约等于 64.103。除以 0.78 等价于乘 50/39，这样能保留精确值，而不是给一个四舍五入后的小数。文中还说明为什么它是循环小数。

解 0.8(x + 100) = 160：先除后去括号，x = 100

答案是 x = 100。先两边同除 0.8，一步就得到 x + 100 = 200，比把 0.8 分配进括号更快也更不容易出错，最后减 100 即可。

解含小数系数的方程 0.8x − 100 = 160，得 x = 325

解是 x = 325。两边加 100 得 0.8x = 260，再两边除以 0.8——因为 0.8 就是分数 4/5，除以 0.8 等价于乘 5/4，换成分数算不容易出错。

两步解出 0.8X − 1200 = 320，得 X = 1900

答案是 X = 1900。先两边加 1200 得 0.8X = 1520，再做除法 - 除以 0.8 相当于乘 1.25，所以结果反而变大。

解 0.8x − 400 = 240：乘 5/4 得 x = 800

解是 x = 800。两边加 400 得 0.8x = 640；由于 0.8 就是 4/5，把 640 乘 5/4 就能直接得到答案，不必做小数除法。

解 0.98x + 22.54 = 0.99x：两边减去较小的那个倍数

答案是 x = 2254。两个 x 项只相差 0.01x，所以相当于用 22.54 去除 0.01 —— 百分之一的系数差把根放大了一百倍。

从 1.35 = C − 0.15B 分别解出 C 和 B（含字母的方程变形）

答案：C = 1.35 + 0.15B，B = (C − 1.35)/0.15。两边加 0.15B 就能把 C 单独留下；要解 B 则先把 C 移过去，再除以 −0.15，关键是别把符号弄反。

解 1.8(X + 100) − X − 200 = 160：先去括号，X = 225

答案是 X = 225。把 1.8(X + 100) 展开成 1.8X + 180，合并同类项得 0.8X − 20 = 160，两边加 20 后再除以 0.8 即可。

用最小公分母 6 解不等式 1 − (x+6)/2 < (2x+1)/3，得 x > −2

解集是 x > −2。两边乘 6 把不等式变成 6 − 3(x + 6) < 2(2x + 1)，合并同类项后化为 −14 < 7x。因为乘的是正数，不等号方向不变。

解 1/2.7421 = 1/2.7 + 1/x，x 只能是负数 −175.86

x = −175.86。因为 2.7421 比 2.7 大，两个倒数之差为负，于是 1/x = −0.0421/7.40367，x 本身必然取负值。

解 1/2.7421 = 1/3.3 + 1/x：x ≈ 16.2196（不是 16.2214）

x ≈ 16.2196，而不是 16.2214。把 1/x 单独移到一边得 (3.3 − 2.7421)/(2.7421 × 3.3) = 0.5579/9.04893，再对这一个商取倒数即可。

解 1/2.7821 = 1/3.3 + 1/x：把商取倒数即可

x = 17.7272。把 1/x 单独留在一边得到 (3.3 − 2.7821)/(2.7821 × 3.3) = 0.5179/9.18093，再把这个分数取倒数就直接得到答案。

用「分母相等」解 1/(3x + 11) = 1/(9x + 5)，得 x = 1

x = 1。两个分子都是 1 的分数相等且分母都不为零时，分母必须相等，于是 3x + 11 = 9x + 5，代回后两个分母都等于 14，说明这个根不是增根。

解 1/(6x + 8) = 5：两边取倒数，x = −1.3

答案是 x = −1.3。交叉相乘得 1 = 30x + 40，即 30x = −39；这个根不等于使分母为零的 x = −4/3，所以是可取的。

由 1/x + 1/y = 8 解出 y = x/(8x − 1)

解是 y = x/(8x − 1)，其中 x ≠ 0 且 x ≠ 1/8。先通分得到 x + y = 8xy，再把含 y 的项归到一起提出 y。x = 1/8 要排除，因为那时 1/x 已经等于 8，会逼出 1/y = 0。

换元解 1/x + 1/y = −1 与 3/x − 2/y = 7，得 x = 1、y = −1/2

解是 x = 1，y = −1/2。令 a = 1/x、b = 1/y，非线性方程组立刻变成普通的线性方程组，用消元法两行就能解完。

解 1/((x+1)(x+3)) + 9/((x−1)(x+5)) = −1，得 x = −2 ± √3

两个分母都能化成 x² + 4x 加一个常数，所以令 v = x² + 4x 可得 v² + 8v + 7 = 0。只有 v = −1 能给出实数解，即 x = −2 ± √3。

用换元 u = (x+1)² 解 1/(x(x+2)) − 1/(x+1)² = 1/12

因为 x(x+2) = (x+1)² − 1，令 u = (x+1)² 就把方程变成 1/(u−1) − 1/u = 1/12，即 u² − u − 12 = 0。只有 u = 4 可取，得 x = 1 或 x = −3。

去分母解不等式 (1 + x)/3 < x − 1，解集是 x > 2

解集是 x > 2，即区间 (2, +∞)。两边同乘正数 3 得到 1 + x < 3x − 3，整理后剩 4 < 2x，因为乘除的都是正数，不等号方向始终不变。

解 (1 + x)^10 − 10.7347x = 1，求出两个实根

实数解是 x = 0 和 x = 0.0156549。先看出显而易见的根 x = 0，再定位唯一的极小点 x = 0.0079085，就能证明实根恰好只有两个。

解 1 × (1 − x) = 0.1：这是一次方程，不是二次方程

解是 x = 0.9。乘 1 什么都不改变，所以方程其实就是 1 − x = 0.1，是一次的，只有一个解。括号容易让人误以为要展开成二次式，其实全式只有一个 x。

解 10x + 6 > 12x − 4：不用变号，解集是 x < 5

解集是 x < 5。把 x 项往右边移，系数就保持为正，所以最后除以 2 时不等号方向完全不用动。

用 u = x² + 6x 解 12/((x+1)(x+5)) + 15/((x+2)(x+4)) = 2：根为 1、−7、(−6 ± √10)/2

两个分母展开后都是 x² + 6x 加一个常数，所以令 u = x² + 6x 可把方程变成 12/(u+5) + 15/(u+8) = 2，即 2u² − u − 91 = 0，u = 7 或 −13/2。

解含 13% 项的大数一次方程，得 x ≈ 104022.99

x = 104022.99。先把 13% 的括号乘开，方程就化成 139732000 = 1343.28x；把所有含 x 的项收到同一边后，只剩一次除法。注意括号里带出的 −143.28x 必须一起移过去。

解 122400000 + 2.72x + 13% 括号项 = 1200x，得 x ≈ 103254.32

x = 103254.32。左边只有 2.72x 是散着的 x 项，移项合并后 x 的系数是 1353.28，最后一次除法就能收尾。

解 (12812 × 1.0398 − x)/x = 10%，得 x ≈ 12,110.83

答案：x = 12,110.83。先算 12812 × 1.0398 = 13,321.9176，去分母得 13,321.9176 = 1.1x，再除以 1.1 剥掉这 10% 的加成。除数是 1.1 而不是 0.9，因为比例是相对 x 计的。

提出 4x 解 12x³ + 4x² − 16x = 0，根是 0、1、−4/3

三个根是 x = 0、x = 1 和 x = −4/3。先合并两个三次项，再提出公因式 4x，最后把剩下的二次式 3x² + x − 4 因式分解。

解 13 = (87 + 82)/x：分母上的未知数，答案 x = 13

解是 x = 13。先把分子加成 169，两边同乘 x 得 13x = 169，再除以 13——因为 169 正好是 13 的平方。

解 14 = (108 + 84)/x，并把答案约成最简分数

答案是 x = 96/7，约 13.714。先把分子加起来得 192/x = 14，再算 192/14，最后必须约掉公因数 2 才是最简形式。

解 14 − 4(t − 5) = 10 − t：负号去括号，答案 t = 8

答案是 t = 8。把 −4 乘进 (t − 5) 时，第二项得到的是 +20 而不是 −20 —— 这道题绝大多数错解就错在这个符号上。文末代回原式验证两边都等于 2。

解 (148 + 200)/x = 0.05：未知数在分母上，x = 6960

答案是 x = 6960。先把分子加成 348，方程变为 348/x = 0.05，再交叉相乘——除以 0.05 就等于乘 20，一步得出结果。

解 14x + 4 − (6x + 2) = 8x + 2：这是恒等式，解为全体实数

任意实数都是解。把负号分配到整个括号后，两边都化为 8x + 2，所以这是一个恒等式，有无穷多个解。若变量消掉后剩下的是假命题（如 0 = 5），那就一个解也没有。

解 (158 + 159)/x = 7.8，得 x = 1585/39 ≈ 40.64

答案是 x = 317/7.8 = 1585/39，约等于 40.64。先把分子加出来，再交叉相乘 - 注意这个小数是无限循环的，分数才是精确答案。

解 1600 = 1.5x：精确答案是 x = 3200/3 ≈ 1066.67

答案：x = 3200/3，约 1066.67。把 1.5 写成 3/2，再让 1600 乘倒数 2/3；小数部分是循环的，所以分数才是精确答案。

一步步解方程 (1600 × 11.0006)/100 + 0.13x = x

答案：x = 202.31（精确值是 176.0096/0.87）。先把常数项化简成 176.0096，再把含 x 的项合并成 0.87x，最后一次除法就得到含税总额。

解 16000000 × 11.0006 + 0.13x = x：x ≈ 202,309,885.06

答案：x = 202,309,885.06。先把常数乘出来得 176,009,600，两边减 0.13x 得到 0.87x，再除以 0.87 就把这笔固定金额「反算」回含税总额。

解 (16939 − x)/x = 0.923：去分母后 x = 16939/1.923 ≈ 8808.63

x = 16939/1.923 = 8808.63。两边同乘 x 再把 x 移过去，方程变成 16939 = 1.923x，这其实就是「x = 总量/(1 + 比值)」这条规律换了个面貌。

解 2 < |x + 1| ≤ 3：解集是 [−4, −3) ∪ (1, 2]

答案是 [−4, −3) ∪ (1, 2]。外层不等号给出两条射线，内层给出一条区间带，两者取交集就剩下两段短区间。

解 2/(x + 10) = −5：根是 x = −52/5 = −10.4，并核对排除值

x = −52/5，即 −10.4。两边同乘 x + 10 得 2 = −5x − 50；求出的根要先和排除值 x = −10 对照，确认无误后才能作为答案。

从 2πRk sinα − 2πak = mg tanα / 2π 中解出 k

答案：k = mg tanα / (4π²(R sinα − a))。把左边的公因式 2πk 提出来，再两边同除，两个 2π 相乘就并成了 4π²。

化简左边解 2 + (5 − 8) = 2 + x，得 x = −3

解是 x = −3。左边只是纯算术：5 − 8 = −3，再 2 + (−3) = −1，于是 −1 = 2 + x，两边同减 2 就得到 x = −3。更快的走法是两边的 +2 直接对消。

用 t = x − 1/x 解 2(x²+1/x²) − 11(x−1/x) + 8 = 0：根为 2 ± √5、2、−1/2

这里 x² + 1/x² = t² + 2（注意是「加」2），方程化为 2t² − 11t + 12 = 0，t = 4 或 3/2，从而得到四个根 2 ± √5、2 和 −1/2。

用二分法数值求解 2^x + x = 5，得 x ≈ 1.71562

答案是 x 约等于 1.71562。指数项与一次项混在一起没有解析解，所以先把根夹在 1 与 2 之间，再用二分法逐步收敛。

换元解不等式 1 + 11/(2ˣ−8) + 28/(4ˣ−2ˣ⁺⁴+64) ≥ 0

解集是 x ≤ 0 或 x ≥ 2，且 x ≠ 3。令 t = 2ˣ 后第二个分母成了完全平方 (t − 8)²，再记 u = t − 8，不等式化为 (u + 4)(u + 7) ≥ 0，一步就解完。

解 20(16 − x) = 12(20 − x)：两边同时减掉 10 才平衡，x = 10

答案是 x = 10。去括号得 320 − 20x = 240 − 12x，于是 80 = 8x；从两个括号里各拿掉 10，两个加权量就都等于 120，恰好平衡。

解 20x − 2 − (4x + 2) = 6 + 2x，得 x = 5/7

答案是 x = 5/7。去括号时 −(4x + 2) 变成 −4x − 2，于是化为 16x − 4 = 6 + 2x，得 14x = 10，分数 10/14 约成 5/7。

解 20x + 10x = 100 并约分，得 x = 10/3

答案是 x = 10/3，约等于 3.33。合并同类项得 30x = 100，而 100/30 要约掉公因数 10，不能就这么留着当答案。

解 20x + 10x = 1815：把 1815/30 约成 121/2，即 x = 60.5

解是 x = 121/2，正好等于 60.5。先合并同类项得 30x = 1815，再把分子分母的公因数 15 约掉。

解 20x + 10x = 2000，答案保留成分数 200/3

解是 x = 200/3，约 66.67。合并同类项得 30x = 2000，再把 2000/30 约成 200/3；它没有有限小数形式，所以分数才是精确答案。

十字相乘法失效时怎么解 21x² + 68x − 85 = 0

两个根是 x = (−34 + √2941)/21 和 x = (−34 − √2941)/21。没有一对整数能乘得 −1785 又加得 68，所以只能用求根公式。判别式 11764 不是完全平方数，根必为无理数。

解 2400 = 2210 − (2000/180)(5/3)X：X = −10.26，为什么必为负

答案是 X = −10.26。先把系数化简成 500/27，两边减去 2210 得 190 = −(500/27)X；因为 2400 比 2210 大，那个负号必然保留下来，所以 X 小于 0。

解 25 = (200 + 200)/x，未知除数 x = 16

答案是 x = 16。分子先相加得 400/x = 25，再交叉相乘——这个答案数的其实是 400 里能装下几个大小为 25 的整份。

解 250t = 100t + 3000：盈亏平衡时间 t = 20

答案是 t = 20。两边减去 100t 得 150t = 3000，也就是说更快的那个速率需要 20 个时间单位，才能补上 3000 这段固定的先发优势。

解 2560 = 1.5x：除以 1.5 就是乘 2/3，得 5120/3

答案：x = 5120/3，约 1706.67。因为 1.5 = 3/2，除以 1.5 等价于乘 2/3，这样算出来的是精确值，小数形式是无限循环的。

解 25x² + 10x = 6，并把 √700 化简成 10√7

两个根是 x = (−1 + √7)/5 和 x = (−1 − √7)/5。判别式为 700，从中提出 √100 后，10√7 与分母 50 可以同时约掉 10，得到最简形式。

用 u = x² 换元解 25x⁴ + 10x² − 4 = 0，实根约为 ±0.497

实数解是 x = ±√((√5 − 1)/5)，约 ±0.497。令 u = x² 换元后得 u = (−1 ± √5)/5，其中负的那个根给出两个纯虚数解。

识别完全立方解 27x³ − 54x² + 36x − 8 = 0，得三重根 x = 2/3

答案：x = 2/3，是三重根。左边正好是 (3x − 2)³，因为 27x³ = (3x)³、8 = 2³，中间两项也恰好对上 −3a²b 与 +3ab²。认出这个形状，三次方程就变成一行的事。

解 281.45 = x + 53.23 + (0.05x)/(1 − 0.05)，得 x = 216.809

答案是 x = 216.809。0.05/0.95 正好约成 1/19，方程于是收成 228.22 = (20/19)x，从而 x = 228.22 × 19/20。

解 286.2 + 3.3x = 316 + 2x：精确值是 298/13 ≈ 22.9231

x = 298/13 = 22.9231。合并同类项得 1.3x = 29.8，把小数化掉后可见精确值是 298/13，它是一个无限循环小数。

解 295 = x + 9.2 + 0.0152x/(1 − 0.0152)，得 x ≈ 281.46

答案是 x ≈ 281.46。把含 x 的项合并后得 1.01543461x = 285.8，因为手续费那一项里的 0.0152/0.9848 只是 x 的又一个系数，整个方程仍是一次的。

解 295 = x + 0.0152 × (0.0152x)/(1 − 0.0152)，得 x ≈ 294.9308

答案是 x = 294.9308，不是有些地方给出的 111.241。两个 1.52% 是相乘而不是相加，所以 x 的附加系数只有 0.00023461，结果几乎离不开 295。

解 (2981 − x)/x = 4.3043，用 x = 总量/(1 + 比值) 得 x ≈ 562.00

x = 2981/5.3043 ≈ 562.00。两边加 x 得 2981 = 5.3043x，所以 x = 总量/(1 + 比值)；余下的 2419.00 恰好是 x 的 4.3043 倍。注意除数是 1 + r 而不是 r。

解 2x = 2^x：为什么恰好只有 x = 1 和 x = 2 两个根

答案是 x = 1 和 x = 2。一条直线与凸的指数曲线最多相交两次，所以一旦找到这两个整数根，就能断定再没有别的解。

用平方差解 (2x − 1)² − x² = 0：根是 x = 1 与 x = 1/3

两个根是 x = 1 和 x = 1/3。把 (2x − 1)² − x² 看成平方差 a² − b²，分解成 (x − 1)(3x − 1)，再用「乘积为零」的性质求根。

用「乘积为零」法则解 (2x − 1)(3x + 7) = 0

x = 1/2 或 x = −7/3。方程已经是因式分解好的形式，所以让每个括号分别等于零，再解出两个一元一次方程即可。

两步解不等式 2x − 3 ≤ 5，解集为 (−∞, 4]

解是 x ≤ 4，即区间 (−∞, 4]。先加 3 抵消减法，再除以正数 2，除数为正所以不等号方向不变。因为是非严格不等号，端点 4 要取到，写方括号。

用平方差公式解 (2x − 3)² − (x − 1)² = 0，得 x = 2 或 x = 4/3

两个解是 x = 2 和 x = 4/3。两项本身就是平方，按 (A − B)(A + B) 分解可直接得到两个一次因式 x − 2 与 3x − 4，根本不用展开。

去分母解不等式 2x − 5/4 < 3 − x/3，得 x < 51/28 ≈ 1.8214

答案是 x < 51/28，约 1.8214。每一项都乘最小公倍数 12，两个分母一次去干净，化为 24x − 15 < 36 − 4x。乘的是正数，不等号方向始终不变。

去分母解 (2x−5)/4 < (3x−3)/3，解集是 x > −1/2

解集是 x > −1/2。两边同乘最小公倍数 12，一次性去掉两个分母；由于 12 是正数，不等号方向始终不用改。

解不等式 2x − 7 < 3(x − 1)：解集是 x > −4

解是 x > −4。去括号后把 x 的项收到右边，得到 −4 < x；再把变量写到前面重读一遍即可，方向随着两边互换而改写。

解不等式 2x − 1/5 < x + 1/2，通分后得 x < 7/10

解是 x < 7/10。把含 x 的项归到左边、分数归到右边，再按公分母 10 把 1/2 与 1/5 相加即可。

解 2x − (x − 1) ≤ 1：把减号分配到括号里每一项

解集是 x ≤ 0。括号前面是减号，所以括号里两项都要变号，得到 2x − x + 1，合并后成为 x + 1 ≤ 1。写成 −x − 1 是这里最经典的错误。

两步解不等式 2x + 1 > x + 6，得 x > 5

答案是 x > 5。两边同减 x 得 x + 1 > 6，再减 1 即可；边界 x = 5 时两边都等于 11，所以这个端点被排除是正确的。

两步解不等式 2x + 1 > x + 7，得 x > 6

答案是 x > 6。两边减 x 得 x + 1 > 7，再减 1 即可；全程没有除以负数，所以不等号一次也不用变向。解集是区间 (6, +∞)，端点 6 要排除。

先算乘积解 2x + 13·18 + 6·4.4 = 405，得 x = 72.3

答案是 x = 72.3。先把 13×18 = 234 和 6×4.4 = 26.4 算出来，方程一步就化成 2x + 260.4 = 405。

解 2x + 2 = 10：按逆序抵消运算，两步得 x = 4

答案是 x = 4。两边同减 2 得 2x = 8，再除以 2；先抵消加法、后处理系数，这个顺序让计算始终最简单。

含参数解方程 2x + 2λx + μ = 0，需分类讨论

当 λ ≠ −1 时解为 x = −μ/(2(1 + λ))。当 λ = −1 时含 x 的项互相抵消：若 μ ≠ 0 则无解，若 μ = 0 则任意 x 都是解。

解含参方程 2x + 2λx + μ = 0，并讨论 λ = −1 的两种情形

当 λ ≠ −1 时解是 x = −μ/(2(1 + λ))。若 λ = −1，含 x 的项整体消失：μ = 0 时任意实数 x 都是解，μ ≠ 0 时无解。漏掉分类讨论是这类题的通病。

解 (2x + 3)² − 4x² = 51 − 9x：展开后降次，x = 2

x = 2。把 (2x + 3)² 展开后，两个 4x² 正好相消，这个看着像二次的方程立刻塌成一次方程 12x + 9 = 51 − 9x。

用代入法解方程组 2x + 3y = 7、x − y = 1，得 x = 2、y = 1

解是 x = 2、y = 1。第二个方程里 x 的系数是 1，解出 x = y + 1 代入第一个方程得 5y + 2 = 7，再回代求出 x。最后两个方程都要验，不能只验一个。

两步解出 2x + 5 = 13 并验算，答案 x = 4

解是 x = 4。两边减 5 得 2x = 8，再除以 2 得 x = 4，代回原式左边正好等于 13，与右边相符。

解 2x² = 2x + 1：求根公式给出 x = (1 ± √3)/2

两个答案是 x = (1 + √3)/2 和 (1 − √3)/2。判别式 12 不是完全平方数，所以根是无理数，用因式分解是做不出来的。

用拆项分组法解 2x² − 5x + 3 = 0

两个解是 x = 1 和 x = 3/2。二次项系数是 2，所以要按 2 × 3 = 6 找出两个乘积为 6、和为 −5 的数来拆开 −5x，也就是 −2 和 −3。

解 2x² − x − 15 = 0：因式分解成 (2x + 5)(x − 3)

两根是 x = 3 和 x = −5/2。找两个数使乘积为 ac = −30、和为 −1（即 5 与 −6），据此拆开中间项再分组分解。判别式 121 是完全平方数，这正是它能在有理数范围分解的原因。

十字相乘拆中项解 2x² − x − 6 = 0，得 x = 2 与 x = −3/2

两个根是 x = 2 和 x = −3/2。先找出积为 ac = −12、和为 −1 的两个数 3 与 −4，把 −x 拆成 3x − 4x，再分组分解成 (2x+3)(x−2)。

分解成 (2x−1)(x+1) 解 2x² + x − 1 > 0，得 x < −1 或 x > 1/2

解集是 x < −1 或 x > 1/2。把 2x² + x − 1 分解成 (2x − 1)(x + 1) 就直接看出两个根，而开口向上的抛物线在两根之外取正值，两根之间取负值。

把 3.8x + 7.7y ≤ 40 解出 y：y ≤ 5.19 − 0.49x 表示的半平面

答案是 y ≤ (40 − 3.8x)/7.7，约等于 y ≤ 5.19 − 0.49x。除以正数 7.7 不改变不等号方向，所以区域落在边界直线的下方。

用以 4 为底的对数解 (3 × 10⁹)/4ˣ < 1：最小整数 x = 16

答案是 x > log₄(3 × 10⁹) ≈ 15.74，所以满足的最小整数是 16。由于 4ˣ 恒为正，整个过程中不等号方向一次都不会改变。

解 3(x − 3) = 5 − 2(2 − 5x)，得 x = −10/7

答案是 x = −10/7，约 −1.4286。把 −2 分配到 (2 − 5x) 上得 −4 + 10x，于是方程化为 3x − 9 = 1 + 10x，从而 −10 = 7x。负负得正这一步写错，整题就跑偏。

解 3ˣ = x⁹：两个根都要——x = 27 与 x ≈ 1.15082

答案是精确的 x = 27，以及 x ≈ 1.15082。取对数后化为 ln(x)/x = ln(3)/9，这条曲线与水平直线相交两次。

解不等式 3^x > 500001x：曲线与直线有两个交点

解集是 x < 0.0000020000004 或 x > 14.3704368。凸函数 3^x − 500001x 只往零下方凹一次，所以指数曲线与这条直线恰好相交两次。

解对数方程 32log₃(x − 5) = 49：精确解 x = 5 + 3^(49/32)

答案是 x = 5 + 3^(49/32)，约等于 10.3776。先把对数单独留下，再化成指数形式，最后确认 x > 5 以保证对数有意义。文中还先写出定义域再解题。

解小数系数方程 32.63x + 4.545 = 10，得 x ≈ 0.1672

答案是 x = 5.455/32.63，约 0.16718。先减常数再除系数，两步就够，小数也完全不需要先化掉。

解 32.63x + 4.545 = 15，正确取舍得 x ≈ 0.3204

答案是 x = 10.455/32.63 = 0.32041，四舍五入到四位是 0.3204，而不是 0.3203。第五位小数是 1，所以第四位向下保留；写成 0.3203 是截断而非四舍五入。

交叉相乘解 (350 + 6X)/16 = (450 − 6X)/9，得 X = 27

解是 X = 27。交叉相乘得 3150 + 54X = 7200 − 96X，于是 150X = 4050；把 X 代回原方程，两边都等于 32。

解不等式 36 − 36k² > 0，化归为 k² < 1

解集是 −1 < k < 1。两边同除以正数 36 得 1 − k² > 0，而 k² < 1 的含义是 k 在数轴上到零的距离严格小于 1。

解 3600x + 2430000 = x²：两根为 1800 ± 900√7

x = 1800 + 900√7 ≈ 4181.18 或 x = 1800 − 900√7 ≈ −581.18。判别式 22680000 恰好等于 (1800√7)²，所以两个根都能化得很干净。因为常数项为负，两根必然一正一负。

解 3a² + 24a = −45：先约掉公因数 3，得 a = −3 与 a = −5

两个解是 a = −3 和 a = −5。把 −45 移到左边，整个方程同除公因数 3，再把 a² + 8a + 15 分解成 (a + 3)(a + 5) 即可。

解 3x⁴ + 8x³ − 4x² − 16x = 0，分解成 x(x+2)²(3x−4)

根是 x = 0、x = −2（二重根）和 x = 4/3。这道四次方程用分组分解会走不通，得靠有理根 x = −2 加多项式除法才能得到真正的因式分解。

展开解 (3x − 2)(3x + 2) − 9(x − 1)x = 0，唯一解 x = 4/9

唯一的解是 x = 4/9。两个乘积里都含 9x²，展开后二次项相消，看着像二次方程，其实是一元一次方程。

解 (3x − 24)⁴ · 7³ = 2 · 7⁴：无整数解，实数解约 8.6448 与 7.3552

答案：没有整数解；实数根是 x = 8 ± (14 的四次方根)/3，约为 8.6448 与 7.3552。两边同除以 7³ 后剩下 (3x − 24)⁴ = 14，而 14 不是四次方数。

合并同类项解不等式 3x − 2x − 1 ≥ 0，得 x ≥ 1

解集是 x ≥ 1。把系数 3 与 −2 相加只剩一个 x，于是不等式化为 x − 1 ≥ 0，再走一步就完了。

先去括号解不等式 3x − 5 > 2(x − 2)，解集 x > 1

解集是 x > 1。把 2 乘进 x − 2 得 2x − 4，两边同减 2x 后 x 的系数已经是 1，完全不用做除法，也就没有变号的机会。文末检验了边界与两侧的点。

解 (3x−5)² − 8(3x−5) + 16 = 0：完全平方，x = 3 是二重根

答案是 x = 3，且为二重根。令 u = 3x − 5，方程变成 u² − 8u + 16 = (u−4)² = 0，于是 u = 4，进而 3x = 9。

去分母解 3x − 6/x − 2 = 8，得 x = (5 ± √43)/3

两个解是 x = (5 + √43)/3 ≈ 3.8525 和 x = (5 − √43)/3 ≈ −0.5191。每一项乘 x 把分式方程化成二次方程 3x² − 10x − 6 = 0；乘变量可能引入增根，所以最后必须回头验。

解 3x + 15 > 30 + 2x：全程不用除法，答案 x > 15

解集是 x > 15。减去 2x 之后系数正好是 1，所以把常数 15 移过去就能直接读出答案，一次除法都不需要。

解 (3x + 4)/4 > 2x − 4：去分母后得 x < 4

答案是 x < 4。两边同乘 4 得 3x + 4 > 8x − 16；把变量收到右边，全程都不必除以负数。

解 3x + 5 = 30 + 5：先把右边算出来，答案是 x = 10

答案是 x = 10，不是 25/3。右边等于 35，所以 3x = 30 —— 两边相同的常数直接抵消，根本不会进到除法里。

解 3x + 5 = −2|x − 1|：先用符号分析，唯一解 x = −7

答案是 x = −7，而且是唯一解。右边永远不可能为正，所以必有 3x + 5 ≤ 0，即 x ≤ −5/3，这一句就把分类讨论压缩到只剩一种情形。

解 3x + 7 = 22：按逆序还原运算，x = 5

解是 x = 5。先减掉最后加上的那个 7，剩下 3x = 15，再除以最先乘上 x 的那个 3，最后代回原方程检验。

把 x 归到一边解 3x + 9 > 6x + 7，得 x < 2/3

答案是 x < 2/3。减去较小的 3x 让 x 的系数保持为正，再减 7、除以 3——这样全程都不需要变号。最后把 2/3 > x 改写成 x < 2/3，只是换个写法而非新的运算。

一步步解不等式 3x + 9 > 7x + 6，得 x < 3/4

答案是 x < 3/4。先减去 3x 让系数保持为正，再减 6 得到 3 > 4x，除以 4 之后把不等式反过来读即可。

用直接开平方解 3x² − 48 = 0：x = 4 与 x = −4

两个答案是 x = 4 和 x = −4。方程没有一次项，可以先化成 x² = 16 再直接开方，但正负号必须写全。

提公因式 x 解方程 3x² − x = 0

x = 0 或 x = 1/3。式子没有常数项，所以 x 是公因式；如果两边直接除以 x，会悄悄把根 x = 0 弄丢。

用求根公式解 3x² + 5x − 6 = 0，得 (−5 ± √97)/6

两个答案是 x = (−5 + √97)/6 和 (−5 − √97)/6。判别式为 97，而 97 是质数、不是完全平方数，所以两根都是无理数，这个二次式在整数范围内无法分解。

去分母解 (4/3)(2 − x) − (x+4)/6 > x/2 + 2，得 x < 0

解集是 x < 0。先把每一项通分到公分母 6，两边同乘 6 去分母，合并同类项得 -12x > 0，最后两边同除 -12 时不等号要变向。

解 −4.3289x² − 0.9671x + 40.328 = 0 并用韦达定理验根

两根约为 x ≈ −3.1660 与 x ≈ 2.9426。两根之和 −0.2234 等于 −b/a，两根之积 −9.3155 等于 c/a，一次就把两个小数答案都验证了。

配方法解 −4.4912x² − 0.5182x + 30.066 = 0，两根 −2.6457 与 2.5303

两根约为 x ≈ −2.6457 和 x ≈ 2.5303。顶点式是 −4.4912(x + 0.05769)² + 30.0809，于是 x + 0.05769 = ±√(30.0809/4.4912) = ±2.5880，两根随之得出。

解 −4.6173x² − 0.2906x + 20.029 = 0：先处理负号，根约 −2.1144 与 2.0515

两个根约为 x = −2.1144 与 x = 2.0515。两边同乘 −1 化成 4.6173x² + 0.2906x − 20.029 = 0，代公式时各处符号就都是正的了。

分两类合并同类项解 4 − 2m − m + 3 > 0，得 m < 7/3

解集是 m < 7/3。常数 4 与 3 合成 7，含字母的 −2m 与 −m 合成 −3m，然后把 −3m 移到另一边，就不必除以负数、也不用变号。

解 4.9725x + 0.68175 = 15：保留精确分数，x = 1123/390

答案是 x = 1123/390 ≈ 2.879487。先减 0.68175，再除 4.9725——化成分数计算可以避开四舍五入过早导致的错值 2.8791。

解 4.9725x + 0.68175 = 20，得 x = 77273/19890 ≈ 3.885018

答案是 x = 77273/19890 ≈ 3.885018。先减去 0.68175 得 19.31825，再除以 4.9725；先化成精确分数再取近似，末位才不会错。

解 4(−x − 10) < −6(2 − x) − 6x：x 项消失，答案 x > −7

解集是 x > −7。右边的 +6x 与 −6x 相消，只剩下常数 −12；最后除以 −4 时不等号方向必须反过来。

解不等式 4(x + 1) ≥ x + 2(x − 1)：一步步解到 x ≥ −6

解是 x ≥ −6。两边分别去括号得 4x + 4 ≥ 3x − 2；因为全程只做加减，不等号方向一次都不用翻。

用换底公式解 4^x = 80，得 x ≈ 3.1610

解是 x = log₄80，约 3.1610。因为 80 不是 4 的整数次幂，所以取对数后用 ln 80 除以 ln 4，就同时得到精确值和近似小数。

合并同类项后解 40x + 30x + 30x + 2x² = 450，得 −25 ± 5√34

两根是 x = −25 ± 5√34，约为 4.154759 与 −54.154759。先把一次项合成 100x，全式除以 2 化为 x² + 50x − 225 = 0，再用求根公式；整数分解行不通。

用求根公式解 40x² + 98x − 33 = 0，得 x = 3/10 或 x = −11/4

x = 3/10 或 x = −11/4。判别式 14884 恰好等于 122²，是完全平方数，所以两根都是有理数，40x² + 98x − 33 也能分解成 (10x − 3)(4x + 11)。

解 42x = 750，约分得 x = 125/7 ≈ 17.857

答案是 x = 125/7，约 17.857。相除得 750/42，两者的最大公约数是 6，所以只需约一次就到最简。小数是循环小数 17.857142…，周期为 6，正是分母 7 的特征。

解 4x = 3x² − 7x + 9，两根保留三位有效数字是 2.43 和 1.23

两根是 x = 2.43 和 x = 1.23。把所有项移到一边得 3x² − 11x + 9 = 0，再用求根公式，判别式是 121 − 108 = 13。

解 4x − 0.35(x − 1) = 220.45：精确解是 x = 4402/73 ≈ 60.3014

x = 4402/73，约 60.3014。把负号分配进括号得 3.65x + 0.35 = 220.45，于是 3.65x = 220.10，所得的商并不是整齐的 60.3。

解 4x − 0.35(x − 1) = 220.6，合并成 3.65x

x = 4405/73，约 60.3425。去括号后方程成为 3.65x + 0.35 = 220.6，于是 3.65x = 220.25，相除得到一个无限小数。

解 4x − 0.35(x − 1) = 245.85：精确答案 x = 4910/73

x = 4910/73，约等于 67.2603。括号展开成 −0.35x + 0.35，方程剩下 3.65x = 245.50；由于 73 是质数，答案是一个无限小数，所以最好保留分数形式。

解 4x − 0.35(x − 1) = 253.586：负号去括号，x ≈ 69.3797

答案是 x = 126618/1825 ≈ 69.379726。−0.35 乘 −1 得 +0.35，所以方程化简成 3.65x + 0.35 = 253.586，这个符号是全题关键。

逐步解 4x − 0.35(x − 1) = 278.435，得 x ≈ 76.187671

答案是 x = 55617/730 ≈ 76.187671。去括号后方程变成 3.65x + 0.35 = 278.435，所以 x = 278.085/3.65。这一族题的系数 3.65 是固定的，只有右边在变。

先去括号解 4x − 3(20 − x) = −4，得 x = 8

x = 8。去括号得 −60 + 3x，方程于是变成 7x − 60 = −4；两边加 60 再除以 7 得 x = 8，代回算 32 − 36 = −4 正好吻合。

解 4x − 7 = 6x + 9：两边都有 x，答案 x = −8

答案是 x = −8。两边同减 4x 把变量收到右边，再减 9，最后除以 2；代回检验时两边都等于 −39。

解不等式 4x + 8 < 20 − 2x：把含 x 的项归到一边

解集是 x < 2。两边同加 2x 得 6x + 8 < 20，再得 6x < 12；除以正数 6，不等号方向保持不变。

解 4x² − 4x + 1 > 0：除 x = 1/2 外全体实数都成立

解集是除 x = 1/2 以外的全部实数。左边可以配成完全平方 (2x − 1)²，它只在自己的二重根 x = 1/2 处为零，其余各处都严格大于零。

解 4x² − x − 2 = 0：判别式为 33，根为 (1 ± √33)/8

两个解是 x = (1 + √33)/8 和 x = (1 − √33)/8。由于 33 = 3 × 11 不含平方因数，根号化不动，分数也约不掉，只能保持原样。

解 4x² + 16x + 7 = 0：判别式 144 给出 x = −1/2 与 −7/2

判别式是 256 − 112 = 144，是完全平方数，所以 x = (−16 ± 12)/8 得到 −1/2 和 −7/2——这个二次式也能分解成 (2x+1)(2x+7)。最后再用韦达定理复核一遍。

用求根公式解 4x² + 20x + 21 = 0，得 −3/2 和 −7/2

两个解是 x = −3/2 和 x = −7/2。判别式是 400 − 336 = 64，恰好是完全平方数，所以两根都是精确的有理分数。

解 5.6 − (13x/4 − 1 又 5/6 x) ÷ 17 × 3 = 13/5：答案 x = 12

解是 x = 12。括号里 13x/4 − 11x/6 合并成 17x/12，这个 17 正好和除数 17 约掉，方程只剩 5.6 − x/4 = 2.6。

解 5 − 2(x − 1) = 1：把 −2 乘进括号，得 x = 3

解是 x = 3。把 −2 乘进 x − 1 得到 −2x + 2，于是方程变成 7 − 2x = 1，再得 −2x = −6，最后 x = −6/−2 = 3。

解 5 − (1/2)(x + 4) ≥ 4：乘负数要变号，得 x ≤ −2

解集是 x ≤ −2。去括号得 3 − x/2 ≥ 4，即 −x/2 ≥ 1，两边同乘 −2 时不等号必须反向，所以答案是 x ≤ −2 而不是 x ≥ −2，正好是数轴的另一半。

解 5(−5 + n) − (−5n + 1) = −2，精确答案 n = 12/5

答案是 n = 12/5 = 2.4。括号前的减号要把 −(−5n + 1) 变成 +5n − 1，所以两个 n 项是相加而不是相消。

先除后算解 5(x + 8) = 9，得 x = −31/5 = −6.2

根是 x = −31/5 = −6.2。两边先除以 5，方程就变成 x + 8 = 9/5，完全不用展开成 5x + 40 = 9。少造一个 40 再消掉，步骤就少一步。

两边取对数解 5^(x+2) = 3^(5−x)，x ≈ 0.8398

答案是 x = (5ln3 − 2ln5)/ln15，约等于 0.8398 - 而不是流传的 1.037。底数不同就必须取对数，而 ln5 + ln3 正好并成一个 ln15。

解 524 + 5x/113 + x = 4.66：合并 x 项得 x ≈ −497.334068

答案是 x = −2934271/5900 ≈ −497.334068。把 x 写成 113/113 x，就能把 5x/113 与 x 并成 118x/113；常数项太大，所以根必然是个很大的负数。

解 (5399 − x)/x = 4.8116，求较小的那一份

x = 5399/5.8116 = 929.00。去分母得 5399 = 5.8116x，所以 x = 总量/(1 + 比值)；剩下的 4470.00 恰好是 x 的 4.8116 倍。

解 580x = 2900：一次除法即可，x = 5

解是 x = 5。左边没有常数项要移，所以两边同除 580 就结束了，而 2900/580 正好精确约成 5。

解 5a² + 4a − 12 > 0，得 a < −2 或 a > 6/5

解集是 a < −2 或 a > 6/5。判别式 256 是完全平方数，给出两个有理根 −2 和 6/5，而开口向上的抛物线在两根之外取正值。

解 5w + 9z = 2z + 3w：用 z 表示 w = −7z/2

答案是 w = −7z/2。把 w 项收到左边、z 项收到右边，得 2w = −7z，再除以 2，符号完全不用动。

解 5x − 4 = 2x + 11：先合并同类项，得 x = 5

解是 x = 5。两边同减 2x 得 3x − 4 = 11，加 4 得 3x = 15，再除以 3 得 x = 5；代回后两边都等于 21。

用平方差公式解 (5x − 4)² − 49x² = 0

两个解是 x = −2 和 x = 1/3。把 49x² 看成 (7x)²，方程就变成 A² − B² = 0，可以分解成两个一元一次方程，不必按二次方程去解。

解 (5x − 8)² − 25x² = 0：二次项相互抵消，答案 x = 0.8

答案是 x = 0.8。展开后两边的 25x² 恰好抵消，这个看起来像二次的方程塌缩成一次方程 −80x + 64 = 0，因此只有一个根，而不是两个。

解 5x + 7 = 2，精确解为 x = −1

精确解是 x = −1。两边同减 7 得 5x = −5，再除以 5；代回原式得 5(−1) + 7 = 2，答案得到验证。

合并同类项解 5x + 15/4 − 2x > 0，得 x > −5/4

解集是 x > −5/4。5x 与 −2x 合并成 3x，再把 −15/4 除以 3 约成 −5/4，除数为正所以不等号方向不变。

用直接开平方解 5x² − 20 = 0：x = 2 与 x = −2

两个解是 x = 2 和 x = −2。方程没有一次项，可以先化成 x² = 4 再直接开方，比套求根公式快得多。

解 6.58x + 14 = 6.63x：盈亏平衡点恰好是整数 280

答案是 x = 280，且是精确值。两个单价只差 0.05，而 14/0.05 正好是整数，因为除以 0.05 等价于乘 20。

解 6.58x + 14 = 6.75x：系数相减，答案 x ≈ 82.35

答案是 x = 14/0.17，约等于 82.35。两个含 x 的项几乎抵消，只剩下 0.17x —— 这就是一个不大的常数却能得出很大答案的原因。

逐步解 6(5 + p) = 7(p + 6) − 5，得 p = −7

答案是 p = −7。两边展开得 30 + 6p = 7p + 37，减去较小的 6p 后 p 的系数就是 1，最后一步连除法都不用做。

展开两边括号解 6(x − 5) = 7(x − 1)，得 x = −23

答案是 x = −23。展开得 6x − 30 = 7x − 7；把 x 项移到右边、常数移到左边，一步就得出 x = −23。

解 6ˣ = x¹⁸：三个实根，其中 x = 36 是精确解

三个实根约为 −0.91311、1.11768，以及精确的 36——因为 36¹⁸ = (6²)¹⁸ = 6³⁶。两个正根由函数 ln(x)/x 的形状决定。

精确求解 600 = 2210 − (2000/180)(5/3)X

答案：X = 4347/50 = 86.94。先把两个分数合并成 500/27，再把 2210 移过去；这次右边的常数更大，所以 X 是正的。

先合并同类项再解 6g + g − 5g = 36，得 g = 18

答案是 g = 18。三个含 g 的项合并成 2g，因为单独的 g 其实是 1g，所以方程先化成 2g = 36，然后才轮到做除法。把那个 g 当成 0 会算出 36。

用符号表解 6p⁵ − 15p⁴ + 10p³ < p：解集含 0 < p < 1/2 等三段

解集是 p < (3 − √21)/6，或 0 < p < 1/2，或 1 < p < (3 + √21)/6，因为这个五次式可以干净地分解成 p(p − 1)(2p − 1)(3p² − 3p − 1)。

解 7 + 2(5x + 2x²) = 16，根式形式得 x = (−5 ± √61)/4

两根是 x = (−5 + √61)/4 和 x = (−5 − √61)/4。展开括号整理成 4x² + 10x − 9 = 0，再把求根公式上下同约 2。先化简 √244 = 2√61，最后的分数才约得动。

换元解 7(s+9)² − 20(s+9) = 3，得 s = −6 和 −64/7

答案是 s = −6 和 s = −64/7。令 u = s + 9，方程就变成 7u² − 20u − 3 = 0，可以分解为 (7u+1)(u−3) = 0。

解 7200 = 200k + 300：答案不是整数，k = 34.5

答案是 k = 34.5。先减去 300 得 200k = 6900；由于 6900 不是 200 的整数倍，答案正好落在半个单位上。

为什么 74x − 2x² = 690 没有实数解

x² − 37x + 345 的判别式是 −11，所以无实数解。74x − 2x² 的最大值是 684.5，离 690 这个目标恰好差了一点。

解 (7x−1)/(3x−2) < 4：为什么绝对不能交叉相乘

两边减 4 并通分成 (7 − 5x)/(3x − 2) < 0，再列符号表逐段判号。解集是 x < 2/3 或 x > 7/5；直接乘 3x − 2 是不合法的，因为它的符号会变。

解 7x − 15 ≥ 4x + 6：未知数在两边，答案是 x ≥ 7

答案是 x ≥ 7。先减 4x，再加 15，最后除以正数 3——因为除数是正的，不等号方向始终不用改变。

去括号解不等式 7x + 11 > 3(x + 1)，得 x > −2

解集是 x > −2。先把 3 分配到括号里，再把含 x 的项归到左边、常数归到右边，最后除以正数 4，不等号方向始终不变。

两边都有 x：解 7x + 8 = 3x − 12 得 x = −5

解是 x = −5。减去 3x 把未知数收到左边成为 4x，再把常数 8 移过去得 4x = −20，最后除以 4 即完成。

解 8/(x + 6) = −5：去分母后得 x = −7.6

答案是 x = −7.6。两边同乘 (x + 6)，展开 −5(x + 6) = −5x − 30，最后还要检查这个根不会让分母为零。

解 8.8 − 10000x = 1010000x + 6，根小到只有百万分之几

答案是 x = 2.8/1020000 ≈ 2.745098 × 10⁻⁶。两边的大系数合并成 1020000x，所以根比 1 小了六个数量级。

解 8.8 − 10000x = 1010000x + 6000，得 x ≈ −0.0058737

答案：x = −0.0058737255。两边同加 10000x 把系数并成 1020000，而常数差 −5991.2 使得 x 是一个很小的负数。开头先估量级，再动笔算。

去括号解 8(1900 − 1.5x) + 10(1400 − 1.5x) = 25x，x = 7300/13

答案是 x = 7300/13，约 561.54。两个括号都展开，合并成 29200 − 27x，把 x 项移到一边得 52x = 29200，再相除即可。

提公因式解 84635.5790x + 84635.5790 = 215900.9，得 x ≈ 1.55095

解是 x ≈ 1.55095。因为乘 x 的那个数和单独的常数完全相同，提出公因式后得 x + 1 = 215900.9/84635.579，一次除法就够，不用先减再除。

解不等式 8g − 6(g + 1) < 4(2g − 9)，得 g > 5

g > 5。去括号得 2g − 6 < 8g − 36，把 g 项移到右边能让系数保持为正，于是 30 < 6g，全程不必变号。

用提公因式解 8x² = 16x：两个根是 x = 0 与 x = 2

两个答案是 x = 0 和 x = 2。要把所有项移到一边再提出 8x；如果两边直接除以 x，会不声不响地把 x = 0 这个根弄丢。

由 9 + a − b = 5 求 a − b 的值，答案是 −4

答案是 a − b = −4。一个方程定不出 a 和 b 各自的值，但两边同减 9 就能把它们的差锁定下来。

用直接开平方法解 9(x−1)² − 4 = 0，得 x = 5/3 或 1/3

两根是 x = 5/3 和 x = 1/3。方程本来就是完全平方的形式，所以别展开成一般二次式，直接把 (x−1)² = 4/9 单独留下再开平方，注意正负两个根都要取。

解 9ˣ / 12 = 21：用以 9 为底的对数，x ≈ 2.5166

x = log₉252 = ln252 / ln9 = 2.5166。两边同乘 12 得 9ˣ = 252，而 252 不是 9 的整数次幂，所以这里绕不开对数。

解 (9127 − x)/x = 0.934，较大的那份 x ≈ 4719.23

x = 9127/1.934 ≈ 4719.23。两边乘 x 再加 x 得 9127 = 1.934x，这就是 x = 总量/(1 + 比值) 的套路，而这里的比值略小于 1，所以两份几乎相等。

解 92 = (1 − 3/(0.14(x − 806))) × 100，得 x = 7517/7 ≈ 1073.86

答案是 x = 7517/7，约等于 1073.86。两边先除以 100，把分式单独留下得 0.08 = 3/(0.14(x − 806))，再取倒数并把 806 加回去。

提出重复因式 (4 − 2x) 解成本方程，得 x ≈ 1.2503

x ≈ 1.2503。两个乘积都带着同一个括号 4 − 2x，合并后系数是 41.4 + 28 = 69.4，整个方程就化成 305.6 − 122.8x = 152.0621，算量减半。

两个大项几乎抵消的三次方程：解出 Vout = 4.81748

答案是 Vout = 4.81748。一次项系数 96.844679 与 97.109892 几乎抵消，所以每一位数字都要紧；用精确分数算得 −0.265213 V − 3.6354e−7 V³ + 1.2777 = 0。

解 x³ − 245.711x² + 2.764156x + 0.057072 = 0：三根约 −0.01062、0.02187、245.69975

三个根是 −0.01062039、0.02187147 和 245.69974892。两个根贴近零、一个极大，所以单靠韦达定理的和积检验没法确认那两个小根。

去小数解一元一次不等式，结果是 y > 3/8

答案：y > 3/8。把分母 0.03、0.5、0.15 上的小数逐个化成分数消掉，再合并同类项，最后除以 8 得到 y > 3/8。

解三次方程 0.2 = 4.6092x³ + 9.2964x² + 2.7507x + 0.0251，得 x ≈ 0.0536118

实根是 x = 0.0536118。二分区间的前提是试探点算对：f(0.06) 等于 +0.0246，所以变号点在 0.06 以下而不是以上。文中给出这一步的逐项验算与牛顿迭代。

解 (7.26−x)/4.51 + 2.18(8.79x+7.37) = (3.84x+28.32)/6.45，得 x = −0.72

把每个分式都拆成一个系数加一个常数，合并后得 18.3451x = −13.2857，相除得 x = −0.7242，即精确到两位小数是 −0.72。

解带时间加权项的小数一次方程，得 X ≈ 11.027

答案：X = 14487500/1313781，约 11.027。先算掉 3.6 × 7 × 60 = 1512 和 25.2 这两个乘积，再把含 X 的项归并，最后用 11.498016 除以 1.0426833。

解 5.28(3.64x − 9.71) + (x+8.12)/4.79 = −(9.46x−2.53)/7.01，得 x = 2.40

展开括号，把每个分式拆成小数系数加常数，归并后得 20.7775x = 49.9345，相除得 x = 2.4033，即两位小数下的 2.40。

精确求解 0.097x² − 2.3289x + 12.4464133 = 0：根为 15.97929 与 8.02999

两个根是 x = 15.97929 与 x = 8.02999。判别式是 0.5945668496；4ac 里只要错一位数字，两个根都会在小数第三位上偏掉。

因式分解解六次方程 x⁶+4x⁵−4x⁴+4x³−7x²−8x+10 = 0

根是 x = 1（二重）、−1、−5 以及 ±i√2。先用有理根定理试出一个根，再分组分解，最后用换元 y = x² 把六次式彻底拆开。

换元 y = x² 解六次方程 0.04x⁶ + 1.04x⁴ + x² − 4 = 0

去掉小数后得 y³ + 26y² + 25y − 100 = 0，其中 y = x²。它唯一的正根是 y = 1.50569，所以 x = ±1.22706 是全部实数解，另外两个负的 y 给不出实数 x。

解 log(log(x + 0.6)) = 8.8289 − 3.2511log(557.15)，得 x ≈ 5.666

答案是 x 约等于 5.666。先把右边算成一个数，再以 10 为底做两次指数运算，一层一层把对数剥掉，最后别忘了检验定义域。

用求根公式解 −4.7714x² − 0.0884x + 10.014 = 0，两根约 ±1.45

两根是 x ≈ −1.4580 与 x ≈ 1.4395。判别式为 191.131，它的平方根 13.8250 远远压过那个很小的一次项系数，所以两根几乎对称。

解 0 = 2145 − 30(11)(4) + 6(11)(4) + 5(11)(4) + 110x，得 x = −11.9

解是 x = −1309/110 = −11.9。先把四个三数连乘都算出来，再把常数合并成 1309，最后除以系数 110。

功率损耗预算里解 193.92W + 0.13x = x，得 x = 222.90W

x = 193.92W/0.87 = 222.90W。未知数在两边都出现，所以必须先把 0.13x 合并过去再相除 —— 这是要解的方程，不是求值的算式。

合并同类项解 −10 + 10q − 10 = 10 + 4q，得 q = 5

解是 q = 5。先把左边隔着字母项的两个常数合成 −20，再两边同减 4q，方程就化成 6q = 30。往系数大的那边收，全程都不必除以负数。

两种方法解 364.4210x + 364.4210 = 215900.9，得 x ≈ 591.4491

答案是 x = 591.4491。由于同一个系数出现了两次，可以直接提公因式，得 x + 1 = 215900.9/364.4210，一步就写出 x = 591.4491179。

解含 3% 扣减的一次方程 0.97x − 210 = 6500，得 x ≈ 6917.53

解是 x = 6710/0.97 ≈ 6917.53。先把嵌套括号收成 x + 1000，整个方程一步就变成 0.97x − 210 = 6500；系数 0.97 的含义就是超出部分扣掉 3% 后还剩 97%。

解 −4(−11 + 5x) + 6(26 − 6x) = −3(4x + 1) + 5(11 + 6x)，得 x = 2

x = 2。把四个括号全部展开得 200 − 56x = 18x + 52，于是 148 = 74x。代入 x = 2，原方程两边都等于 88。

解含 √2、√3 系数的二元一次方程组：x = 12/5，y = √6/5

解是 x = 12/5，y = √6/5。两个方程分别乘 √2 和 √3，两个 y 的系数都变成 √6，相加时正好抵消。

解 a/x = x：按 a 的取值分情形讨论

当 a > 0 时答案是 x = ±√a。两边乘 x 得 x² = a，但原式的分母排除了 x = 0，所以 a = 0 时无解；a < 0 时没有实数解，复数范围内为 x = ±i√|a|。

解含参方程组 2x − y = 480 与 2y − x + m/3 = 0：x + y ≤ 8m/3 当且仅当 m ≥ 160

x = (2880 − m)/9，y = (1440 − 2m)/9，而不等式 x + y ≤ 8m/3 成立的条件恰好是 m ≥ 160。先解方程组定出 x、y，再用不等式筛 m；分离 x 时少动一个符号，整个条件就反过来了。

解 (3669724.77 − x)·3% + 13%x = 330275.23，x = 2201834.869

答案是 x = 2201834.869。把 3% 和 13% 先化成 0.03 与 0.13，两个 x 项就合并成 +0.10x（因为 −0.03x + 0.13x 只剩十分之一），再一步除法即可。

解不等式 (75% + 85%(2000 − x))/2000 ≥ 83%：x ≤ 47.94，整数解 x ≤ 47

解是 x ≤ 47.94，若 x 取整数则 x ≤ 47。先把百分号全部换成小数，再乘掉分母 2000；真正需要变号的只有最后除以负系数 −0.85 那一步。

求解 1077.38 = 0.35x + 0.35×1077.38：x ≈ 2000.85 的分步算法

答案是 x ≈ 2000.85。先把 0.35×1077.38 = 377.083 算出来，两边减掉再除以 0.35；也可以提取公因式一行写成 x = 1077.38×0.65/0.35 = 2000.8486。

解 a + (−16) = −4：把「加负数」改写成减法，得 a = 12

a + (−16) = −4 的解是 a = 12。加 −16 等于减 16，方程化为 a − 16 = −4，两边同时加 16 就把 a 单独留下；代回验算 12 − 16 = −4 成立。

展开三个一次因式之积解方程：三个实根 x = 24500/27 ≈ 907.4074、x ≈ 201.1822、x ≈ 2706.2252

展开后得到三次方程 −0.013122x³ + 50.058x² − 41762.7x + 6482700 = 0，它的三个实根是 x = 24500/27 ≈ 907.4074、x ≈ 201.1822 和 x ≈ 2706.2252。关键是先猜出让 0.27x 取整的那个有理根，再降次解二次方程。

交叉相乘解 (1202.61 − x)/(1279.43 + x) = 16/9，得 x = −385.8956

答案是 x = −385.8956。先把分子并成 1202.61 − x，交叉相乘得到 9(1202.61 − x) = 16(1279.43 + x)，再把 x 项归到一边；x 在分子分母同时出现，所以系数会变成 −25。

解不等式 (x+1)(x+3) ≥ (x−2)(x−4)：x² 项抵消，答案 x ≥ 1/2

解集是 x ≥ 1/2，即 [1/2, +∞)。两边展开得 x² + 4x + 3 ≥ x² − 6x + 8，减掉 x² 后剩下的其实是一个普通的一次不等式，不用列符号表。

解 z⁴+2x²z²+2y²z²−8z = 0：z = 0 或卡尔达诺公式给出的唯一实根

先提出公因式 z，得到 z = 0 这一支；余下的降次三次方程 z³ + 2r²z − 8 = 0（r² = x² + y²）判别量恒为正，只有一个实根，卡尔达诺公式把它显式写成两个立方根之和。

根号里藏着平方差：解 8/(8.9−x) = (71 − x√((8.9−x)²−64)/(8.9−x))/71，得 x = 0.9 与 x ≈ 0.8974433

这个含根号方程的解是精确的 x = 0.9 和 x ≈ 0.8974433。把根号内的 (8.9−x)² − 64 分解成 (0.9−x)(16.9−x)，两边就露出公因式 0.9−x，四次方程随之降为三次，再逐一排除增根。

用开立方解 1/x³ − 1/(5×10⁻⁵)³ = 3.11×10¹¹，得 x ≈ 4.9368×10⁻⁵

答案是 x ≈ 4.9368×10⁻⁵。先把已知的倒数立方算成 8×10¹²，移到等号另一边相加，再取倒数开立方 —— 全程都用科学记数法，注意加法前必须先统一 10 的幂次。

逐步解 −9x − 34 + 72 − 42 = −8x + 68 − 4x，答案 x = 24

答案是 x = 24。先把左边三个常数合并成 −4、右边两个 x 项合并成 −12x，再移项得到 3x = 72，最后一步除法就出结果。

解方程 1/(s+2) + 1/(s+4) + 1/(s+9) − 1/(s+6) = 0：唯一实根 s ≈ −3.0864085

唯一的实数解是 s = −3.0864085。去分母后得到 2s³ + 33s² + 180s + 300 = 0，看着像能因式分解，实际上没有有理根，只能用牛顿迭代求数值解。

十项 (1+x) 的幂之和等于 20：实根 x ≈ 0.0221841 与 x ≈ −2.1184421

两个实根是 x ≈ 0.0221841 和 x ≈ −2.1184421。提出公因式 (1+x)²⁷ 后，十个连续幂就变成等比数列求和，再用函数值变号分别把两个根夹住。

三元一次方程组先消 c：a = −1/550、b = 199/1100、c = 61/55

这个三元一次方程组的解是 a = −1/550，b = 199/1100，c = 61/55。三个方程里 c 的系数都是 1，相邻两式相减一步就把 c 消掉，剩下两个二元方程再消一次即可；小数不循环，中途必须换成精确分数。

高斯-若尔当消元法解三元方程组：x₁ = 19，x₂ = −8，x₃ = 1

答案：x₁ = 19，x₂ = −8，x₃ = 1。先交换两行让首元变成 1，再把主元下方消成零，然后回代化到简化行阶梯形，解就直接读出来了。

代入法解 D + W = 25000 与 0.96D + 0.015W = 12500，D ≈ 12830.69

D = 12830.69，W = 12169.31。把 W = 25000 − D 代入第二个方程，它就塌缩成 0.945D = 12125，因为两个浓度之差恰好是 0.945。

用加减消元法解 5.15X + 5.70Y = 8615.35、X + Y = 1555：X = 4963/11、Y = 12142/11

解是 X = 4963/11 ≈ 451.18，Y = 12142/11 ≈ 1103.82。把第二个方程整体乘 5.15 再相减，一步就消掉 X 把 Y 解出来，全程保留分数不四舍五入。

代入法解 4.50X + 4.95Y = 2368.15 与 X + Y = 490.5：X ≈ 132.94，Y ≈ 357.56

解是 X = 2393/18 ≈ 132.94、Y = 3218/9 ≈ 357.56。把 X = 490.5 − Y 代进价值方程，方程只剩一个未知量 Y，而 Y 的系数正好是差价 0.45。

克莱姆法则解 5.20X + 5.75Y = 8947.2、X + Y = 1595：X = 4481/11、Y = 13064/11

这个两种单价的方程组解是 X = 4481/11 ≈ 407.36，Y = 13064/11 ≈ 1187.64。系数行列式 D = 5.20 − 5.75 = −0.55（正是两个单价之差），两个未知数都由它作分母；商是循环小数，所以分数形式才是精确答案。

用加权平均法解 3.80X + 4.20Y = 6627.75 与 X + Y = 1628，得 X = 524.625、Y = 1103.375

解是 X = 524.625，Y = 1103.375。平均单价为 6627.75/1628 ≈ 4.0711，它落在 3.80 与 4.20 之间的位置直接决定了两者的比例，这就是十字交叉（混合）法的思路。

解 0.58333x + 916.9998 = 0.72727x + 965.9089，x ≈ −339.79

答案是 x ≈ −339.79。两边 x 的系数只差 0.14394，所以常数差 −48.9091 在做除法时被放大了约七倍，中间位数不能提前四舍五入。

解方程 0.72727x + 965.9089 = 0.85714x + 1014.57122：x ≈ −374.70

解是 x = −374.70。把小的那个 x 项移过去后系数只剩 0.12987，所以常数项差得不多，根却大到了负三百多——最后一步之前千万别提前四舍五入。

解 152.5(0.5x/54.9) + 152.5(1 − x/54.9) = 100：x = 37.8 是精确值

答案是精确的 x = 37.8，不只是近似值：52.5/76.25 可以约成 42/61，而 549 = 9 × 61，所以 54.9 × 42/61 正好收成 378/10，全程没有四舍五入。

解 |2 − x| = |−8|：分两种情况讨论，得 x = −6 或 x = 10

|2 − x| = |−8| 的解是 x = −6 和 x = 10。先把右边化简成 8，再拆成 2 − x = 8 与 2 − x = −8 两种情况，才不会漏解。从数轴看，这两点正是到 2 的距离为 8 的两个位置，关于 2 对称。

解 |2a+7| + |2a−1| = 8：解集是整个闭区间 −7/2 ≤ a ≤ 1/2

答案不是几个孤立的点，而是闭区间 −7/2 ≤ a ≤ 1/2。在两个折点之间，含 a 的项正好抵消，方程退化成 8 = 8 恒成立；这个 8 其实就是左边的最小值。

解 |2x + 3| = 6x：舍去增根后只剩 x = 3/4

答案只有 x = 3/4。右边必须非负，所以先得出 x ≥ 0，这个约束直接淘汰了第二种情形算出的候选值 x = −3/8。

按两个零点分段解 |3x+1| − 2x < |x−4| + 5：解集是 −5/2 < x < 4

解集是 −5/2 < x < 4。零点 −1/3 和 4 把数轴分成三段，最后一段化到底变成 x + 1 < x + 1，两边恒等，严格小于号永远取不到。

用 A = ±B 两种情形解 |−6 + 4x| = |10 + x|：x = 16/3 或 −4/5

解是 x = 16/3 和 x = −4/5。两个绝对值相等，说明绝对值号里的式子要么相等、要么互为相反数，于是拆成 4x − 6 = x + 10 与 4x − 6 = −x − 10 两种情形。

解 |7x − 1| = 3：拆成两个方程，得 x = 4/7 或 x = −2/7

|7x − 1| = 3 的解是 x = 4/7 和 x = −2/7。因为右边的 3 是正数，方程可以拆成 7x − 1 = 3 和 7x − 1 = −3；两个根正好分列在 x = 1/7 两侧，各距 3/7。

在两个折点处分段解 |x−1| + |x+1| < 4，得 −2 < x < 2

答案是 −2 < x < 2。两个折点之间这个和恒为 2，折点之外每走一个单位就增加 2，所以恰好在每个折点外一个单位处达到 4，也就是 x = ±2 处取到边界。

在 2 和 5 处分段解 |x−2| + |x−5| > 7，解集为 x < 0 或 x > 7

答案是 x < 0 或 x > 7。两个折点之间这个和恒为 3，所以要凑到 7，必须从两个折点各再往外走两个单位。

在折点处分段解 |x+1| + |x+2| > 3：答案是 x < −3 或 x > 0

答案是 x < −3 或 x > 0。中间那一段化下来变成 1 > 3 这个假命题，所以解集只剩两条向外的射线，中间夹着的部分一个点都取不到。

用中点法解 |x + 66| = |x − 88|：答案是 x = 11

答案是 x = 11。方程说的是 x 到 −66 与到 88 的距离相等，所以 x 只能是这两点的中点——一行就出结果，不必分两种情形做代数。

分段讨论解 |x| + |x−1| = |x−2| + |x−3|：唯一解 x = 3/2

这个四项绝对值方程的唯一解是 x = 3/2。以 0、1、2、3 为分界点把数轴分成五段，其中四段要么导出矛盾，要么解落在自己区间之外被排除；从距离的角度看，3/2 正是两对点的中点。

解含「百分比的百分比」扣减的方程 7a − 467.56 − (7a × 13% × 10%) + 183.36 = 260，得 a ≈ 78.77

解是 a = 78.77。13% 的 10% 意味着乘 0.013，所以扣减项只有 0.091a，a 的系数仍是正的 6.909。把两个百分数先相乘再作用到 7a 上，是这道题的唯一关键。

解 b² − 8b + 5 = 0：未知数也叫 b 时怎么用求根公式，答案 b = 4 ± √11

两个解是 b = 4 + √11 和 b = 4 − √11。把求根公式里的系数改写成 A、B、C，未知数 b 就不会和公式中间那个系数 b 混在一起；判别式 Δ = 44，开方得 2√11。

解 16000000(0.11 + 0.0006) + 0.13x = x：合并同类项得 x ≈ 2034022.99

解是 x ≈ 2034022.99。把 0.13x 移到右边，剩下 0.87x = 1769600——因为右边那个光秃秃的 x，系数其实正好是 1。

解 Gm/d² = Gx/d² 求 x：约掉公因式得 x = m

在 G ≠ 0、d ≠ 0 的前提下，x = m。两边的分母都是 d²、都含公因式 G，约掉之后只剩 Gm = Gx，所以 x = m。距离 d 完全消失，说明结论对任何距离都成立。

解含参方程 kx + 6 = 3x + 4k：x = (4k − 6)/(k − 3)，而 k = 3 时无解

当 k ≠ 3 时解为 x = (4k − 6)/(k − 3)。而 k = 3 时方程退化成 6 = 12，是个矛盾式，所以根本无解。把 x 提出来，k − 3 这个系数就决定了一切。

换底解 log₂x + log₃x = 5，答案 x ≈ 8.3729（不是 6.06）

x = exp(5·ln2·ln3/(ln2 + ln3)) ≈ 8.3729，而不是网上流传的 6.06。把两个对数都换成自然对数，方程就变成关于 ln x 的一元一次方程。

解 −0.00143x + 0.06997 = 0.297：精确解 x = −22703/143 ≈ −158.7622

精确解是 x = −22703/143 ≈ −158.7622。两边减去 0.06997 得 −0.00143x = 0.22703，再除以这个负系数，答案就变成负数；化成分数可以完全避开四舍五入。

用求根公式解 −10x² + 5x + 19 = 0：两根为 (5 ± √785)/20

两根是 x = (5 ± √785)/20，约等于 1.650893 和 −1.150893。判别式 785 = 5 × 157 里没有平方因子，所以这个根号化不简，只能原样保留。

解 −4x² + 260x − 200 ≤ 0：x ≤ 0.7786 或 x ≥ 64.2214

解集是 x ≤ (65 − 5√161)/2 ≈ 0.7786 或 x ≥ (65 + 5√161)/2 ≈ 64.2214。两边除以 −4 时不等号要反向，化成 x² − 65x + 50 ≥ 0；这条抛物线开口向上，所以解在两根之外，且两个端点都能取到。

去括号解 −(5x − 4) + 2(x − 7) = −1，得 x = −3

x = −3。括号前那个光秃秃的负号把 −(5x − 4) 变成 −5x + 4，合并同类项后得 −3x − 10 = −1，于是 −3x = 9，两边除以 −3 得 x = −3。

解 −6x + 3 > −39：除以负数要变号，答案 x < 7

答案是 x < 7。两边同除以负数 −6 时不等号必须变向，大于号就变成了小于号 —— 全题的胜负就在这一步。

解 −7x = 9 + 5：除以负系数后答案是 x = −2

答案是 x = −2。先把右边算成 14，再两边同除 −7；正数除以负数得负数，所以是 −2 而不是 2，漏掉负号是这道题唯一的坑。

在 t > 0 条件下解 −t² − 6t + 28 = 0：t = −3 + √37 ≈ 3.0828

t = −3 + √37，约 3.0828。两边同乘 −1 得 t² + 6t − 28 = 0，两根是 −3 ± √37，而条件 t > 0 把 −3 − √37 排除掉了。

解 −1/m + 1 − m = 0：判别式为 −3，无实数解

方程无实数解；在复数范围内根是 m = (1 + i√3)/2 与 (1 − i√3)/2。两边同乘 m 得 m² − m + 1 = 0，判别式 Δ = −3 < 0；配方后 (m − 1/2)² + 3/4 的最小值是 3/4 > 0，图象根本不与 x 轴相交。

用 m 表示解 −1/x + 1 − m = −1，得 x = 1/(2 − m)（m ≠ 2）

解是 x = 1/(2 − m)，只要 m 不等于 2 就成立。先把倒数项单独留下，再两边取倒数；注意 m = 2 会让分母为零，此时方程要求 1/x = 0，无解。

解连不等式 −2 < 8 − 2x ≤ −1，解集为 9/2 ≤ x < 5

解集是 9/2 ≤ x < 5。三部分同时减 8 得到 −10 < −2x ≤ −9，再同除以 −2 时两个不等号必须一起变向，只翻一个是最常见的错。

解 −2x − 9 = −15：逆着运算顺序还原，答案 x = 3

答案是 x = 3。两边先加 9 得 −2x = −6，再除以 −2；负数除以负数得正数，所以结果是正的 3，把其中一个负号漏掉是这道题最常见的失误。

解 −2x² + 8 ≤ 0：除以负数要变号，答案是 x ≤ −2 或 x ≥ 2

答案是 x ≤ −2 或 x ≥ 2。两边除以负数 −2 时不等号必须反向，得到 x² ≥ 4；平方不小于某个数，解集就是向外的两条射线。

解 −4x + 6 ≤ 18：除以 −4 时不等号变向，得 x ≥ −3

解集是 x ≥ −3。先两边减 6 得 −4x ≤ 12，再除以 −4；不等式两边除以负数时方向必须由 ≤ 反成 ≥。也可以改成两边加 4x 再减 18，全程让 x 的系数保持正号，就绕开了变号这一坑。

先提出 −4 再解 −4x² + 20x − 24 = 0，得 x = 2 或 x = 3

x = 2 或 x = 3。把公因式 −4 提出来后，剩下的是首项系数为 1 的简单二次式 x² − 5x + 6，它可以分解成 (x − 2)(x − 3)，两个根就直接读出来了。

解 −5m² + 12m + 8 = 3 − 5m，精确到两位小数得 m ≈ 3.67 与 −0.27

两根为 m ≈ 3.67 和 m ≈ −0.27。把所有项移到能让 m² 系数为正的那一边，得到 5m² − 17m − 5 = 0，判别式是 389。

解不等式 −6x > 8：除以负数要变号，答案 x < −4/3

答案是 x < −4/3。两边同除以 −6 时不等号必须反向，得到的分数 −8/6 约成 −4/3，约等于 −1.333，端点因为原式是严格不等号而取不到。

变号后解 −t² − 6t + 28 = 0：t = −3 + √37 与 t = −3 − √37

两个解是 t = −3 + √37 和 t = −3 − √37。两边同乘 −1 得到 t² + 6t − 28 = 0，判别式 148 可以化简成 2√37。

解 −x + 1 > 0：除以 −1 时不等号反向，得 x < 1

答案是 x < 1。把 1 移到右边得 −x > −1，再除以 −1，大于号必须翻成小于号——这就是整道题唯一的难点。解集写成区间是 (−∞, 1)，因为不等号严格，1 取不到。

乘 −1 变号解 −x² + 4x − 3 ≥ 0，解集为 1 ≤ x ≤ 3

解集是 1 ≤ x ≤ 3。两边乘 −1 后不等号要反向，变成 x² − 4x + 3 ≤ 0，它在两根 1 和 3 之间（含端点）成立。忘记变号会得到真答案的补集。

解 −x² + 6x − 10 > 0：判别式为负，解集是空集

此不等式无解。变形成 x² − 6x + 10 < 0 后判别式为 −4，这条开口向上的抛物线碰不到 x 轴，恒为正，所以小于零无从谈起。

解 (1/15)x² = (1/6)x + 1/10：通分乘 30，两根为 x = 3 和 x = −1/2

两个根是 x = 3 和 x = −1/2。两边同乘最小公分母 30，得 2x² = 5x + 3，再把 2x² − 5x − 3 拆中项分解成 (2x + 1)(x − 3) 就解完了。

解 (1/3)x < −4/3：两边乘正数 3，得 x < −4

x < −4，也就是区间 (−∞, −4)。两边同乘正数 3 时不等号方向不变；只有乘负数才需要把方向反过来。

四次方程 2x⁴−9x³+3x²+11x−3=0 因式分解求全部根

四个根是 x = −1、3/2、2−√3 和 2+√3。先用有理根定理试根、综合除法降次，最后对剩下的二次式用求根公式。

用消元法解三元一次方程组 x₁ − 3x₂ + 4x₃ = −4：唯一解 (2, 2, 0)

唯一解是 x₁ = 2、x₂ = 2、x₃ = 0。用第一个方程把后两式里的 x₁ 消掉，剩下的二元方程组一化简就直接给出 x₃ = 0，系数行列式为 6，解唯一。

解 x₁ − 3x₃ = 8、2x₁ + 2x₂ + 9x₃ = 7、x₂ + 5x₃ = −2：唯一解 (5, 3, −1)

唯一解是 x₁ = 5、x₂ = 3、x₃ = −1。其中两个方程各缺一个未知量，所以先把 x₁ 和 x₂ 都用 x₃ 表示，再代入剩下那个方程，整套系统很快就解完了。

解 |x| + |x − 1| = 1：解集是整个区间 [0, 1]

把左边读成「x 到 0 的距离」加「x 到 1 的距离」。这个和恰好等于两点间距 1，当且仅当 x 落在它们之间，所以解集是整个区间 [0, 1]，而不是几个孤立的点。

解嵌套绝对值方程 ||x| − 4| = 5：x = 9 或 x = −9

解是 x = 9 和 x = −9。外层绝对值拆成 |x| − 4 = 5 和 |x| − 4 = −5 两支；第二支给出 |x| = −1，没有任何实数满足，直接判死。

解双二次方程 x⁴ − 24x² − 25 = 0：实根只有 x = ±5

令 t = x² 得 t² − 24t − 25 = 0，解出 t = 25 或 t = −1。只有 t = 25 能给出实数 x，所以实根是 x = 5 与 x = −5，另两个根 ±i 不是实数。

解配料方程 (3.75 × 98) + 4x = 3.8(98 + x)：需要 x = 24.5 单位

答案是 x = 24.5。展开后是 367.5 + 4x = 372.4 + 3.8x，两边的 x 项只差 0.2，所以常数项那 4.9 的缺口需要 24.5 个单位的新料才能补上。

解连不等式 1 < x + 4 < 2：三部分同时减 4，得 −3 < x < −2

答案是 −3 < x < −2。整道题只需一步：三个部分同时减 4。两个界都比 x 上已经带着的 4 小，所以 x 必为负；区间宽度仍是 1，因为平移不会拉伸区间。

用有理根判别法解 2x³ + 3x² − 8x + 3 = 0，得 x = −3、x = 1/2、x = 1

三个根是 x = −3、x = 1/2 和 x = 1。有理根判别法筛出 x = 1/2，于是 2x − 1 能整除原式，商为 x² + 2x − 3 = (x + 3)(x − 1)。首项系数是 2，那些半整数候选必须试。

看出 x²·x − 5 > 0 是三次不等式，解得 x > ∛5 ≈ 1.71

答案是 x > 5 的立方根，约 1.71。立方根对所有实数都有定义且严格单调递增，所以答案只是一条射线，不需要分类讨论。

解三次方程 x³ − 3x + 2 = 0：x = 1 是二重根，另一个根是 x = −2

答案是 x = 1（二重根）和 x = −2。用综合除法除以 x − 1 得到 x² + x − 2，里面还藏着一个 x − 1，所以分解式是 (x − 1)²(x + 2)。

解三次方程 x³ + 2x² + 7x + 4 = 0：一个实根 ≈ −0.6535952，两个复根

实根是 x ≈ −0.6535952，两个复根是 x ≈ −0.6732024 ± 2.3805031i。它没有有理根，所以先用变号把实根夹在 −1 与 0 之间，再用牛顿法把它逼近出来。

用三个连续整数解 x³ + 3x² + 2x − 504 = 0：唯一实根 x = 7

唯一实根是 x = 7，因为方程可以写成 x(x+1)(x+2) = 504，而 7×8×9 = 504。综合除法降次后剩下 x² + 10x + 72，判别式 −188 < 0，另外两个根是共轭复数 −5 ± i√47。

去分母解 0.02x² + 0.06x + 0.18 = 2.91，得 x = (−3 ± √555)/2

答案是 x = (−3 ± √555)/2，约为 10.279 和 −13.279。先把 2.91 移到左边，再两边乘 100 化成 2x² + 6x − 273 = 0，最后用求根公式。

解小数方程组 8.35x − 4.52y = 9.03、2.49x + y = 16.83：x ≈ 4.34，y ≈ 6.02

第二个方程里 y 本来就是孤立的，等于 16.83 − 2.49x。代入第一式得 19.6048x = 85.1016，于是 x = 4.3409、y = 6.0213，保留两位小数就是 4.34 和 6.02。

解 1 − x/3 ≤ 1 − 2x/7 并在数轴上表示：x ≥ 0

答案是 x ≥ 0，即区间 [0, +∞)。两边先约掉常数 1，再把 −x/3 + 2x/7 通分到 21，合并成 −x/21 ≤ 0；最后除以负系数时不等号变向。数轴上在 0 处画实心点，向右涂到 +∞。

去分母解不等式 (2 − x − x)/3 < (1/3)(2 − 5x)，解集为 x < 0

解集是 x < 0。先把 −x − x 合并成 −2x，再两边同乘正数 3（乘正数不改变不等号方向），最后把含 x 的项归到一边即可。

去分母解 (2x − x)/3 < (1/3)(9 − 5x)，解集 x < 3/2

解集是 x < 3/2。先把 2x − x 合并成 x，两边同乘正数 3 不改变不等号方向，再移项得到 6x < 9，最后约分即可。

解不等式 −x² + 4x − 4 < 0：除 x = 2 之外的全体实数

解集是所有不等于 2 的实数。因式分解得 −(x − 2)²，完全平方前面带负号，除了二重根处恰好为零之外处处为负，而严格小于号在那一点取不到。

含参不等式 x² > a² 怎么解：答案是 x < −|a| 或 x > |a|

答案是 x < −|a| 或 x > |a|。不能直接对两边开平方，因为 a 的正负未知；分解成 (x − a)(x + a) > 0，就能一次性覆盖 a 的所有符号情况。

解不等式 x² log₂x < 100,000,000：0 < x < 2945.715457

答案是 0 < x < 2945.715457。定义域先限定 x > 0；在 (0, 1] 上左边非正必然成立，而 x > 1 时左边严格递增，只与 10⁸ 相交一次，所以一个数值边界就定下了整个解集。

用取对数解不等式 x^x > 1（x > 0），解集为 x > 1

答案是 x > 1。取对数后化成 x ln x > 0，而 x 是正数，符号就全由 ln x 决定，它恰好在 1 以上为正。另外注意 (0, 1) 上 x^x 并非单调，在 x = 1/e 处有最小值约 0.6922。

解 (5x − 7)/2 − (3x + 4)/3 = (x + 5)/6 + 1，答案 x = 5

答案是 x = 5。每一项都乘最小公分母 6，一步就把所有分数清干净，方程随即化为 9x − 29 = x + 11。

解混合方程 0.8x + (10000 − x)(0.21) = 10000(0.25)：x = 40000/59 ≈ 677.97

答案是 x = 40000/59，约等于 677.97。把 0.21 乘进括号，两个 x 项合并成 0.59x，再减去 2100 相除即可；保留分数就完全避开了四舍五入的误差。

解利润不等式 (1.5 + 0.1x)(800 − 20x) − 0.9(800 − 20x) ≥ 720：4 ≤ x ≤ 30

解集是 4 ≤ x ≤ 30。把重复出现的括号 (800 − 20x) 提出来，左边化成 (0.6 + 0.1x)(800 − 20x) ≥ 720，整理之后就是 x² − 34x + 120 ≤ 0。

用求根公式解 4.08x² − 652.85x + 10236 = 0：x ≈ 142.393 或 17.619

答案是 x ≈ 142.393 与 x ≈ 17.619。判别式 Δ = 426213.1225 − 167051.52 = 259161.6025，平方根为 509.0792，再除以 2a = 8.16 即可；最后用韦达定理核对两根之和与之积。

数值求解五次方程 40x⁵ − 51x⁴ + 10 = 0 的全部五个根

三个实根为 x ≈ −0.603957、0.909281、1.110778，另有一对共轭复根 −0.070551 ± 0.636284i。此方程没有有理根，由阿贝尔-鲁菲尼定理也无根式解，只能数值求解。

因式分解解五次方程 x⁵ + 30x⁴ + 75x³ − 3250x² − 15000x = 0，五个根为 0、10、−5、−15、−20

五个根是 x = 0、10、−5、−15、−20。先提出公因式 x，再把四次式拆成 (x² + 10x − 200)(x² + 20x + 75)，每个根都是整数。

解根式方程 √(3x−8) − √(2x−3) + √(x−1) = 0：唯一解 x = (5+√33)/4

方程唯一的解是 x = (5+√33)/4 ≈ 2.6861。先把一个根式移到等号另一边，让两边都非负，再连续平方两次，最后把增根排除掉。

解无理方程 √(x + 7) − 11 = 2：先分离根号，得 x = 162

解是 x = 162。先把根号单独留在一边，得到 √(x + 7) = 13，再两边平方——带着 −11 就去平方，正是各种错误答案的来源。

用分数指数解 √(x√x) = 2x：x = 0 或 x = 1/16

解是 x = 0 与 x = 1/16。把嵌套的根号改写成 x^(3/4)，方程变成 x^(3/4) = 2x；x = 0 必须在约分之前单独讨论，否则会被除掉而丢解。

解无理不等式 √(3x − 1) > 2x：解集为空集

在定义域 x ≥ 1/3 上两边都非负，平方后得 3x − 1 > 4x²，即 4x² − 3x + 1 < 0。这个二次式判别式为 −7，恒为正，所以没有任何 x 满足，解集是空集。

解比例式 (5x + 2) : (2x + 3) = 7 : 3，答案 x = 15

答案是 x = 15。把比写成分数再交叉相乘，得到 15x + 6 = 14x + 21，左边只剩下一个 x，一步就出结果。

加减消元解 0.3x − 0.4y = 2.2 与 −0.2x − 0.5y = 1.6：解是 (2, −4)

解是 (2, −4)。先把两个方程都乘 10 去掉小数，再分别乘 2 和 3 让 x 的系数互为相反数，相加得到 −23y = 92，于是 y = −4、x = 2。

换元解 1/x + 1/y = 8、6/x + 12/y = 1：x = 6/95，y = −6/47

答案是 x = 6/95，y = −6/47。令 a = 1/x、b = 1/y，倒数形式的方程组立刻变成线性方程组，消元求出 a、b 后再取倒数还原；b 为负只说明 y 是负数，不是错。

代入法解 220x + 100y = 960 与 x + y = 6，得 x = 3、y = 3

x = 3，y = 3。代入 y = 6 − x 后第一个方程塌成 120x + 600 = 960；再用加权平均检查：每份均价 960/6 = 160 正好落在 220 与 100 的正中间，所以六份必然平分。

代入法解方程组 2x + y = 3 与 4x + 3y = 1，得 x = 4、y = −5

答案是 x = 4，y = −5。第一个方程能直接给出 y = 3 − 2x，全程不出现分数，所以这里代入法比加减消元更干净。

代入法解 3x + 2y = 12 与 x − y = 1：x = 14/5，y = 9/5

解是 x = 14/5，y = 9/5。把 x − y = 1 变形成 x = y + 1 代入 3x + 2y = 12，化为 5y + 3 = 12 求出 y，再回代求 x。

加减消元解 3x + 2y = 5 与 2x − 3y = −1：x = 1，y = 1

答案：x = 1、y = 1。把两式分别乘 3 和 2，让 y 项变成 +6y 与 −6y，相加就消去了 y，得到 13x = 13，答案立刻出来。

去分母解 ½x + ¼y = 4、−4x − 3y = −2：解为 (23, −30)

解是有序数对 (23, −30)。第一个方程两边同乘 4 得 2x + y = 16，解出 y = 16 − 2x 代入第二式，化为 2x − 48 = −2；两个原方程都要回代检验。

解方程组 (2/3)x − (3/4)y = 1/2 与 4(x−y) − 3(2x+y) = 17，得 x = −3/2、y = −2

第一个方程两边乘 12 去分母得 8x − 9y = 6，第二个去括号整理得 2x + 7y = −17，再消去 x 得 y = −2，回代得 x = −3/2。去括号时 −3 的符号要分配到两项上。

解不等式组 x − 3(x − 2) ≥ 4 与 (2x−1)/5 < (x+1)/2，解集 −7 < x ≤ 1

第一个不等式除以 −2 变号后得 x ≤ 1，第二个去分母后得 x > −7。两个解集求交集，答案是 (−7, 1]。

加减消元法解 x − 3y = 2 与 2x + 2y = 10：x = 17/4，y = 3/4

答案是 x = 17/4，y = 3/4。第二个方程先约掉 2 变成 x + y = 5，两式相减就能一步消掉 x，剩下 4y = 3。

直接相加解 x − y = 5 与 2x + y = 4：x = 3，y = −2

解是 x = 3、y = −2。两式里 y 的系数本来就互为相反数，所以把两个方程直接相加就消去了 y，一步得到 3x = 9。

代入法解 x + y = −1、3x − 2y = 7：x = 1，y = −2

解是 x = 1，y = −2。第一个方程里两个系数都是 1，解出 y = −1 − x 代入第二式，方程组就塌缩成一个一元方程 5x + 2 = 7。两条直线斜率分别是 −1 和 3/2，所以交点唯一。

设 s = x+y、p = xy 解 x² + y² + xy = 7 与 x + y + xy = 5，得 (1, 2) 与 (2, 1)

用 s 与 p 改写后方程组变成 s² − p = 7 与 s + p = 5，从而 s² + s − 12 = 0。只有 s = 3、p = 2 这一支能给出实数解，即 x、y 为 1 和 2。

用 x² + y² = 10 解方程组 x⁴ + y⁴ = 82、xy = 3，得四组实数解

由 (x²+y²)² = x⁴+y⁴+2(xy)² = 82+18 = 100 得 x²+y² = 10，进而 x+y = ±4、x−y = ±2，共给出四组实数解 (3,1)、(1,3)、(−3,−1)、(−1,−3)。

令右边相等解 y = 4x − 2 与 y = x + 3：x = 5/3，y = 14/3

解是 x = 5/3、y = 14/3。两个方程都已经把 y 单独解出来了，所以直接令 4x − 2 = x + 3 求出 x，再代回任意一条直线求 y。

乘倒数解 (3/4)x − 3 = 0，得 x = 4

答案是 x = 4。两边加 3 得 (3/4)x = 3，然后乘倒数 4/3 而不是去除以一个分数；也可以一开始就两边乘 4 把分母清掉，同样得 x = 4。

先提公因式 x 解 x³ = 9x² + 22x，三根为 x = −2、0、11

解是 x = −2、0 和 11。把所有项移到一边，提出公因式 x，再把剩下的二次式分解为 (x − 11)(x + 2)；千万别两边除以 x，那会把 x = 0 悄悄抹掉。

解 x³ − 15x² + 75x − 125 = 0：化成 (x − 5)³ = 0，x = 5 是三重根

答案是 x = 5，且是三重根。系数 1、−15、75、−125 正好是 (x − 5)³ 的二项展开式，所以方程只有这一个三重根，别无其它。

看出 (x − 1)³ 来解 x³ − 3x² + 3x − 1 = 0：唯一解 x = 1 是三重根

唯一解是 x = 1，而且它是三重根。系数 1、−3、3、−1 正是立方展开式带符号的那一行二项式系数，所以整个三次式收成 (x − 1)³ = 0。

解 x³ − 3x² + 4 = 0：分解为 (x − 2)²(x + 1)，根为 x = 2（二重）与 x = −1

根是 x = 2（二重根）和 x = −1。用有理根定理试出 x = 2，综合除法降次得 x² − x − 2，再分解成 (x−2)(x+1)。因为 x = 2 是偶重根，曲线在那里与横轴相切而不穿过。

用有理根判别法解 x³ − 6x² + 11x − 6 = 0，得 x = 1、2、3

三个根是 x = 1、2 和 3。先试 6 的约数找到 x = 1，用综合除法除掉 (x − 1)，再把 x² − 5x + 6 分解，最后用韦达定理的根之和与根之积复核。

解 x = 0.18x + 604.8：还原被扣掉 18% 的本数，x ≈ 737.56

答案约为 737.56。把含 x 的项归到一边得 0.82x = 604.8，可见本数等于固定那部分除以「1 减去 18% 这个占比」，起作用的是补数 0.82。

解 x = 0.3 × 200 + 0.3x：x = 600/7 ≈ 85.71，答案是循环小数

答案是 x = 600/7，约等于 85.71。把含 x 的项合并得到 0.7x = 60，而分母 7 正是这个小数永远不会终止的原因。

解 x = 0.35(200) + 0.35x：合并 x 项得 x = 1400/13 ≈ 107.69

答案是 x = 70/0.65 = 1400/13，约等于 107.69。未知数在两边都出现，所以要先把 x 项合并成 0.65x = 70 再做除法——而不是算 70/0.35。

解 x = 0.4×200 + 0.4x：合并含 x 的项，得 x = 400/3 ≈ 133.33

答案是 x = 400/3，约 133.33。把右边的 0.4x 移到左边得 0.6x = 80——这个「自我引用」付出的代价是除以 1 − 0.4，而不是除以 0.4。小数是循环的，所以分数 400/3 才是干净的答案。

x 出现在等号两边的百分比方程：化为 1.08x = 284000，x ≈ 262962.96

x = 262962.96。未知数在等号两边都出现，所以要先把括号展开；方程最终收拢成 1.08x = 284000。

解 x = (500000 − 100000 − 50000 − x) × 12%：合并 x 项得 x = 37500

答案：x = 37,500。未知数也藏在括号里，所以先化简成 x = 0.12(350000 − x)，展开得到 1.12x = 42000，再做除法就完成了。

数值求解 x⁴ + x³ + x² + x = 4.553：x ≈ 1.0524735 与 −1.6942810

两个实根是 x ≈ 1.0524735 和 x ≈ −1.6942810。左边可以分解成 x(x+1)(x²+1)，由此断定水平线只与图象相交两次，所以实根恰好两个，另外两个根是一对共轭复数。

解 x⁴ + x³ + x² + x = 4.66，两个实根 x = 1.0620313 与 x = −1.7023038（精确到七位小数）

两个实根是 x = 1.0620313 和 x = −1.7023038。先在 [1, 1.1] 和 [−1.75, −1.7] 上框住根，再用二分法把它们都逼到七位小数。只报一个根是不完整的。

解 x⁴ + x³ + x² + x = 4553：两个实根 x ≈ 7.9431476 与 −8.4477787

两个实根是 x = 7.9431476 和 x = −8.4477787。把左边分解成 x(x + 1)(x² + 1)，立刻就能看出为什么实根恰好是两个，一正一负，负的那个最常被漏掉。

解 x − 0.2x = 6597.18 − 800：x = 7246.475，除以 0.8 就是乘 1.25

x 精确等于 7246.475。左边合并成 0.8x，这正是打八折的算法；而除以 0.8 与乘 1.25 是同一回事。

用求根公式解 (x − 0.16)x = 0.165：x ≈ 0.4940 与 x ≈ −0.3340

两个答案是 x ≈ 0.4940 和 x ≈ −0.3340。展开后得到 x² − 0.16x − 0.165 = 0，判别式 0.6856 根本不是完全平方数，所以只能取近似值。

用求根公式解 (x − 0.16)x = 16.5：x ≈ 4.143 或 −3.983

答案是 x ≈ 4.143 与 x ≈ −3.983。判别式是 0.0256 + 66 = 66.0256，开方得 8.1256，离整数差得远，所以只能用求根公式。两根一正一负，正是因为两根之积 c/a = −16.5 < 0。

解 (x − 0.19)/x = 0.165 求毛利率的基数，得 x = 0.19/0.835 = 0.2275

答案是 x = 0.19/0.835 = 0.2275。这是标准的毛利率方程：固定成本 0.19 要留出 16.5% 的毛利率，所以基数等于成本除以 (1 − 毛利率)。

合并同类项解 x − 1 = 0.98x，答案 x = 50

答案是 x = 50。两边减去 0.98x 只剩 0.02x = 1，而除以 0.02 就等于乘 50，因为 0.02 正好是五十分之一。

解 x − 1 = 0.99x：合并同类项得 0.01x = 1，x = 100

答案是 x = 100。两边减去 0.99x 只剩 0.01x = 1，而除以 0.01 这个很小的系数，等价于乘上 100。

两边同乘 10 解 (x−1)/2 = 2 − (x+2)/5：x = 3

答案：x = 3。每一项都乘上最小公分母 10，得到 5(x−1) = 20 − 2(x+2)；小心展开括号前的负号，再合并同类项就是 7x = 21。

去分母解 x − 1/x = 3：x = (3 + √13)/2 或 (3 − √13)/2

答案是 x = (3 + √13)/2 与 (3 − √13)/2。两边同乘 x 化成 x² − 3x − 1 = 0，判别式 13 为正但不是完全平方数，所以两根都是无理数；两根都不为零，因此都不是增根。

解 (x − 1)·0.6 + 3 = 51203.3 并给出精确分数 x = 512009/6 ≈ 85334.8333

精确答案是 x = 512009/6 = 85334.83333…。先减 3，再把除以 0.6 换成乘 5/3，最后加 1；出现循环小数说明这个精确值本来就不是有限小数，分数形式才是诚实的答案。

解 x − (0.8x − 5000)(0.1) = 7232 求税前总额，x = 168300/23 ≈ 7317.39

答案是 x = 168300/23，约 7317.39。括号展开成 0.08x − 500，把负号分配进去后方程变成 0.92x + 500 = 7232，起作用的系数是 1 减去实际税率 0.08。

令 y = x²/(x+2) 解分式方程 (x − 2x/(x+2))² + 4x²/(x+2) = 5，得 x = 2 或 −1

括号可以化简成 x²/(x+2)，所以令 y = x²/(x+2)，方程就变成 y² + 4y − 5 = 0。只有 y = 1 能用，给出 x = 2 或 x = −1。

解 x − 2x + 2 ≥ 1：x 项合并后系数为负，答案是 x ≤ 1

解集是 x ≤ 1。x 与 −2x 合并起来只剩一个 −x，最后一步除以 −1 时不等号由 ≥ 翻成 ≤，于是得到 x ≤ 1。

一步解不等式 x − 3 > 5：两边加 3，得 x > 8

答案是 x > 8。两边同加 3 就把 x 单独留下；因为全程只有加法、没有乘除负数，不等号方向始终不变。解集是开区间 (8, +∞)，数轴上在 8 处画空心圆并向右涂。

去分母解不等式 (x−3)/4 < 6 − (3−4x)/2，解集为 x > −3

解集是 x > −3。两边同乘最小公分母 4 得 x − 3 < 24 − 2(3 − 4x)，注意分式前面那个负号会把括号里两项都变号。乘的是正数 4，所以不等号方向不变。

解 x − (0.8x − 5000)(0.03) = 6494：税前总额恰好是 x = 6500

答案是 x = 6500。括号展开成 0.024x − 150，把负号分配进去后方程塌缩为 0.976x + 150 = 6494，除法除得尽，根是一个干净的整数。

解不等式 x − 3(x − 2) ≥ 4：除以负数要变号，解集 x ≤ 1

解集是 x ≤ 1。把 −3 分配到 x − 2 上得 −3x + 6，随后 −2x ≥ −2 两边同除以 −2 时，不等号方向必须反过来。

一步解不等式 x − 4 > 11：两边加 4 得 x > 15

答案是 x > 15。两边同时加 4 就抵消了那个减 4；整个过程没有乘或除负数，所以大于号的方向丝毫不变。

乘最简公分母解 (x−4)/3 < (2x−1)/2：x > −5/4

解集是 x > −5/4。两边同乘 6 得 2(x − 4) < 3(2x − 1)，展开整理时让 x 的系数保持正号就不必变号。答案保留精确分数 −5/4 而不写成 −1.25；在 x = −5/4 处两边正好相等，所以端点排除。

用「平方相等」法则解 (x − 4)² = (3 − x)²，得 x = 7/2

x = 7/2。平方相等意味着两个底数相等或互为相反数；「相等」这一支给出 x = 3.5，而「相反数」那一支塌成 −4 = −3 这个假命题，不提供解。

解一步不等式 x − 7 > 5：两边加 7，得 x > 12

答案是 x > 12。两边同加 7 就能把 x 单独留下；由于加法从不改变不等号方向，大于号保持原样不变。

先合并 x 项解 x − x/5 = −4/5：方程的根是 x = −1

根是 x = −1。左边两项都含 x，所以先把它们合并成 (4/5)x 再做除法；两边同乘 5 则可以完全避开分数运算。

把 x − y = 8 分别解出 x 和 y：x = y + 8、y = x − 8，有无穷多组解

两种变形是 x = y + 8 和 y = x − 8。一个方程配两个未知数，解有无穷多组，在平面上构成一条斜率为 1、纵截距为 −8 的直线。要定下唯一一对数，还需要再补一个独立的方程。

解 x/(0.33668 + x) = 0.85：x 恰是 0.33668 的 17/3 倍，约 1.9078533

x = 1.9078533，正好是 0.33668 的 17/3 倍。交叉相乘后得 0.15x = 0.286178，再除以 0.15；因为倍数含 1/3，结果是循环小数而不是整齐的数。

解 x/(0.33668 + x) = 0.95：x 占总量 95%，x = 6.39692

x = 6.39692，正好是 0.33668 的 19 倍。交叉相乘得到 0.05x = 0.319846，剩下的那 5% 就是倍数 19 的来源。

解 x/(10 + x) = 0.97：答案 x = 970/3 ≈ 323.33 是循环小数

答案是 x = 970/3，约等于 323.33。交叉相乘得到 3x = 970，这个 3 正是 100 − 97——也正因为它，答案的小数部分会无限循环下去。

解 x/(10 + x) = 0.98：纯度/稀释目标下 x = 490

答案是 x = 490。交叉相乘得 50x = 49(10 + x)，于是 x = 490——要让占比达到 98%，x 必须是那个固定的 10 的 49 倍。通用公式是 x = ap/(1 − p)，分母里的 1 − p 说明目标占比越接近 100%，答案就爆炸式增长。

解不等式 x/2 > x − 1：变号后得 x < 2

答案是 x < 2。两边同乘 2 去掉分母，合并后得 −x > −2，再乘 −1 把不等号反向，得 x < 2。也可以移项成 2 > x 直接避开负系数。

两边乘 4 去分母解 x/4 − 3/2 + 2x = 7/2 + 3x，得 x = −20/3 ≈ −6.6667

x = −20/3，约 −6.6667。每一项都乘 4 就同时清掉两个分母，得到 9x − 6 = 14 + 12x，合并后是 −20 = 3x。

用求根公式解 (x/5 + 1)(x/2) = 2488：x ≈ 155.2538 或 −160.2538

x = (−5 + √99545)/2 = 155.2538，或 x = (−5 − √99545)/2 = −160.2538。把五分之一和二分之一的分母去掉后，这个乘积式就变成 x² + 5x − 24880 = 0。

精确解比例式 x/8 = 11/6：x = 44/3，即 14 又 2/3 ≈ 14.667

答案是 x = 44/3，也就是 14 又 2/3，约等于 14.667。两边同乘 8 得到 88/6，再约掉公因数 2 就化到了最简分数。

解 x/(x+5) − 25/(x²+25) = 0：三次项抵消后化为 x³ = 125，得 x = 5

去分母后得到 x³ + 25x − 25x − 125 = 0，两边的 25x 恰好抵消，于是 x³ = 125，唯一实根是 x = 5；三次式的另外两个根是复数。注意 x² + 25 对实数永不为零，所以只有 x = −5 这一个排除值。

已知 x/y = 0.99，解出 y = 100x/99 ≈ 1.0101x

答案是 y = 100x/99，约等于 1.0101x。两边乘 y 得 x = 0.99y，再除以 0.99 —— 把这个小数换成精确分数 100/99，就避开了 1/0.99 带来的舍入误差。

展开立方解 (x + 1)³ + (x − 2)³ − 2x²(x − 1.5) = 3，答案 x = 2/3

答案是 x = 2/3。两个立方展开后合成 2x³ − 3x² + 15x − 7，而被减掉的那一项正好消去 2x³ − 3x²，只留下一次方程 15x − 7 = 3。

解 (x + 1) × 1.76566975 = 25：x = 92937321/7062679 ≈ 13.15893318

答案：x = 13.15893318，精确值是 92937321/7062679。两边先除以那个八位小数的乘数，再减 1；提前四舍五入会把结果算偏。

解不等式 (x+1)(x−4) ≤ 1/4：端点是 (3 ± √26)/2

解集是 (3−√26)/2 ≤ x ≤ (3+√26)/2，大致是 −1.0495 到 4.0495。先展开、把 1/4 移过去、去掉分母，再对 4x² − 12x − 17 用求根公式。

用三段取点法解 (x + 1)(x − 4) < 0：解集为 −1 < x < 4

解集是 −1 < x < 4。两个因式的乘积为负，恰好发生在两个因式异号的时候，也就是严格落在两根之间。展开后是开口向上的抛物线 x² − 3x − 4，图象只在两根之间位于横轴下方；两个端点使乘积为 0，所以都排除。

解两边都含未知数的不等式 x + 10 < 3x + 6，得 x > 2

解集是 x > 2。两边先减 x 再减 6 得 4 < 2x，除以正数 2 得 2 < x，最后把未知数写到左边读成 x > 2。把 x 归到系数较大那一边，可以避免除以负数。

数清系数解 x + 10x + x + x = 104，答案 x = 8

答案是 x = 8。四项的系数分别是 1、10、1、1，加起来是 13，所以方程化归为 13x = 104，除得尽。

解一步不等式 x + 2 < 6：两边减 2，得 x < 4

答案是 x < 4。两边同减 2 就能把 x 单独留下；减法保持方向不变，所以小于号仍然朝原来的方向。

解 x + 29 > 3x + 12：边界是分数，答案是 x < 17/2

解集是 x < 17/2。把含 x 的项都归到右边得到 17 > 2x，两边除以 2 后保留精确分数 17/2，而不是写成小数。

用公式法解 (x + 4)(x² − 4x + 16) − x(x + 5)(x − 5) = 264：x = 8

答案是 x = 8。两个三次项恰好抵消：第一个乘积按立方和公式等于 x³ + 64，第二个按平方差等于 x³ − 25x，相减只剩下一次方程 25x + 64 = 264。看着是三次方程，其实是一次的。

十字相乘失效时解 (x + 8)(x + 3) = 9：x = (−11 ± √61)/2

两个解是 x = (−11 + √61)/2 ≈ −1.5949 和 x = (−11 − √61)/2 ≈ −9.4051。展开后得 x² + 11x + 15 = 0，判别式 61 不是完全平方数，所以只能用求根公式。

令 t = x + 1/x 解 7(x + 1/x) − 2(x² + 1/x²) = 9，得 x = 2 或 1/2

因为 x² + 1/x² = t² − 2，方程化为 2t² − 7t + 5 = 0，得 t = 1 或 5/2。只有 t = 5/2 有实数原像，对应 x = 2 和 x = 1/2。

解 x + √4 − 3x = −2：先把根号算出来，答案是 x = 2

答案是 x = 2。√4 = 2 只是个常数，并不是含 x 的根式，所以这就是普通的一次方程：−2x + 2 = −2，两步就得到 x = 2。

代入法解 x + y = 1/12、8x + 15y = 1：x = 1/28，y = 1/21

解是 x = 1/28、y = 1/21。把 x = 1/12 − y 代入第二式，化为 2/3 + 7y = 1，得 y = 1/21。这是典型的两人工效问题：两人合作 12 天完成，单独做则分别需要 28 天和 21 天。

用求根公式解 x² = 2x + 17，得 x = 1 + 3√2 与 x = 1 − 3√2

两个答案是 x = 1 + 3√2 和 x = 1 − 3√2。判别式为 72，而把 √72 化简成 6√2 正是让分式能整齐约掉的关键；不化简就看不出公因数 2。

解 x² − 15 = (x + 15)²：二次项相消，只有一个根 x = −8

答案是 x = −8。右边展开得 x² + 30x + 225，两边的 x² 相互抵消，剩下一次方程 30x = −240，所以根只有一个。

解 x² − 2√3 = 0：答案是复合根式 x = ±√(2√3) ≈ ±1.8612

解为 x = ±√(2√3)，约等于 ±1.8612。等号右边是无理数，所以答案是一个复合根式，等于 2^(1/2)·3^(1/4)。

用平方差公式解 x² − 25 = 0：x = 5 或 x = −5

x = 5 或 x = −5。把 25 看成 5²，左边就化成 (x − 5)(x + 5)；这比直接两边开方更好，因为它自动把两个符号都摆了出来。

解 x² − 2x − 4 = 0：根为 1 ± √5

解是 x = 1 + √5 ≈ 3.2361 与 x = 1 − √5 ≈ −1.2361。判别式为 20，把 √20 化简成 2√5 后整个分式才能约干净；注意必须先化简根式再约分，否则 2 只约掉分子的一项就错了。

解 x² − 2x + 1 > 0：除 x = 1 之外的全体实数

解集是除 x = 1 以外的全体实数。左边其实是完全平方式 (x − 1)²，它除了在重根 x = 1 处为零，其余各处都严格大于零，所以解集是 (−∞, 1) ∪ (1, +∞)。

解 x² − 3x − 10 ≥ 0 与 x² − 1 ≤ 0 再求交集：交集为空集

第一个的解集是 (−∞, −2] ∪ [5, ∞)，第二个是 [−1, 1]；两者交集为空，所以没有任何一个 x 能同时满足这两个二次不等式。

解不等式 x² − 3x − 10 ≤ 0：因式分解后取两根之间，解集 −2 ≤ x ≤ 5

解集是 −2 ≤ x ≤ 5，即区间 [−2, 5]。分解成 (x − 5)(x + 2) 就能看出，开口向上的抛物线只在两根之间落到横轴下方；不等号带等号，所以两个端点都要包含进来。

十字相乘解 x² − 4x + 3 = 0：x = 1 或 x = 3

答案是 x = 1 和 x = 3。−1 与 −3 的积是 3、和是 −4，所以二次式干净地分解成 (x − 1)(x − 3)，再用「乘积为零」法则拆开。抛物线开口向上、顶点在 x = 2 处取最小值 −1，因此 x² − 4x + 3 < 0 的解集恰好是 (1, 3)。

从 x² − 4y + 1 = 0 解出 y = (x² + 1)/4，图像是顶点在 (0, 1/4) 的开口向上抛物线

答案是 y = (x² + 1)/4。先把 −4y 这一项单独留下，再两边除以 −4，右边每一项都要变号；结果是一条开口向上的抛物线，顶点在 (0, 1/4)。

用两个负因数解 x² − 5x + 6 = 0，得 x = 2 与 x = 3

解是 x = 2 和 x = 3。常数项为正而中间项为负，逼得两个因数都取负号；而 −2 乘 −3 得 6，−2 加 −3 得 −5，正好对上。

用求根公式解 x² − 6x − 5 = 0：判别式 56，两根 x = 3 ± √14

两根是 x = 3 + √14 和 x = 3 − √14。判别式算出来是 56，把 √56 化简成 2√14 之后，分子里的公因数 2 正好和分母约掉。

解 x² − 7x − 6 > 0：两个边界是无理数 (7 ± √73)/2

解集是 x < (7 − √73)/2 ≈ −0.7720 或 x > (7 + √73)/2 ≈ 7.7720。判别式 73 是质数，所以两个边界都只能保持无理数形式。

含参数 a 讨论 x² − ax + 1 < 0：|a| > 2 时解为两根之间，否则无解

答案按 |a| > 2 分档：此时解集是 (a − √(a²−4))/2 与 (a + √(a²−4))/2 之间的开区间；而当 −2 ≤ a ≤ 2 时判别式非正，开口向上的抛物线始终不在横轴下方，解集为空集。

用「找两个数」的办法解 x² − x − 42 = 0，得 x = 7 或 x = −6

x = 7 或 x = −6。要找积为 −42、和为 −1 的两个数，它们是 −7 和 6，于是因式分解为 (x − 7)(x + 6) = 0。看符号可以很快把搜索范围缩小。

用求根公式解 x² + 17x − 120 = 0，得 x ≈ 5.3654 与 −22.3654

x = (−17 + √769)/2 ≈ 5.3654，或 x = (−17 − √769)/2 ≈ −22.3654。判别式 769 不是完全平方数，所以这个二次式在整数范围内根本分解不了。

用配方法解 2x + x² − 1 = 0：标准形式与两根 x = −1 ± √2

两根是 x = −1 + √2 和 x = −1 − √2。先整理成标准形式 x² + 2x − 1，因为一次项系数是偶数，配方成 (x + 1)² = 2 比套求根公式更快。

移项后因式分解解 x² + 3x = −2：x = −1 或 x = −2

两个解是 x = −1 和 x = −2。两边加 2 得到 x² + 3x + 2 = 0；因为 1 乘 2 得 2、1 加 2 得 3，所以它分解成 (x + 1)(x + 2)。

因式分解解 x² + 3x − 18 = 0：x = −6 或 x = 3

答案是 x = −6 与 x = 3。积为 −18、和为 +3 的两个数是 6 和 −3，所以二次式分解成 (x + 6)(x − 3) = 0。积为负说明两数异号，和为正说明绝对值大的那个取正号。

解 x² + 3x + 6 = 1：无实根，复数解为 x = (−3 ± i√11)/2

x = (−3 ± i√11)/2。两边减 1 得 x² + 3x + 5 = 0，判别式为 −11，所以完全没有实根，只有一对共轭复根。注意求根公式要用移项为零之后的 c。

因式分解解 x² + 4x − 21 = 0：异号因数对给出两根 x = −7 和 x = 3

两根是 x = −7 和 x = 3。常数项为负，说明两个因数必须异号；而 7 × (−3) = −21、7 + (−3) = 4，正好凑出中间的一次项系数。

把 x² + 5x + 6 = 0 分解成 (x+2)(x+3)：x = −2 或 x = −3

x = −2 或 x = −3。积为 6、和为 5 的两个数是 2 和 3，所以这个二次式可以因式分解，再用「乘积为零」的性质就能同时得到两个根。

因式分解解 x² + x = 210：分解成 (x+15)(x−14)，得 x = 14 或 −15

答案是 x = 14 与 x = −15。把 210 移过去得 x² + x − 210 = 0，而 15 与 −14 的积是 −210、和是 1，正好是一次项系数。左边其实是 x(x+1)，也就是两个连续整数之积，而 14×15 = 210。

解 x² + x − 1 ≥ 0：x ≤ −1.6180 或 x ≥ 0.6180，两个边界正是黄金分割共轭数

解集是 x ≤ (−1 − √5)/2 ≈ −1.6180 或 x ≥ (−1 + √5)/2 ≈ 0.6180。抛物线开口向上，所以取值区域在两根之外；不等号不严格，两个端点都要取到。

解 x(1 + 10%) = 518 求涨价前的数额，x = 5180/11 ≈ 470.9091

答案是 x = 5180/11 = 470.909091，而不是整齐的 470。518 除以 1.10 除不尽；而 1.1 × 470 = 517，比 518 整整少了一个单位。

解方程 60x = 35：两边同除以 60 并约分，得 x = 7/12 ≈ 0.5833

答案是 x = 7/12，约等于 0.5833。两边同除以 60 得到 35/60，再把分子分母的公因数 5 约掉；分母 12 里带着因数 3，所以小数形式是循环的。

x(75 − 2x − 1) = 690 为什么没有实数解：判别式等于 −11

没有实数解：x² − 37x + 345 的判别式是 −11。复数解是 (37 ± i√11)/2，所以这样面积的矩形根本不存在。

精确求解 x × 75 × 365 ÷ 1000 = 137.1：x = 1828/365 ≈ 5.0082，并不等于 5

x = 1828/365 = 5.00822，并不恰好等于 5。把 75 × 365 ÷ 1000 合成 27.375，方程就是 27.375x = 137.1；而 27.375 × 5 只有 136.875，差了 0.225，所以那个看着顺眼的整数 5 不是解。

提出 −5 解 x(−5x + 250) = 2625，得 x = 15 与 x = 35

两个答案是 x = 15 和 x = 35。整个方程除以 −5 后化成 x² − 50x + 525 = 0，它能干净地分解成 (x − 15)(x − 35)。这是典型的收入模型，答案必然是峰值两侧各一个。

令 u = x² 解 x⁴ − 6x² + 8 = 0，四个实根为 −2、−√2、√2、2

四个根是 x = −2、−√2、√2 和 2。换元 u = x² 把四次方程变成 u² − 6u + 8 = 0，它分解为 (u − 2)(u − 4)，两个 u 都为正，所以四个根全是实数。

解 x^√(log x) = 10^125：令 y = log x 换元，解得 x = 10^25

解是 x = 10^25。令 y = log x，方程化成 y^(3/2) = 125，于是 y = 125^(2/3) = 25，回代就得到 x = 10^25。

夹逼加二分解 x⁷ + x⁵ + x³ + x = 4.66：唯一实根 x ≈ 1.038016

唯一的实根是 x ≈ 1.038016。左边严格单调递增，所以实根有且只有一个；f(1) = 4 与 f(1.1) = 5.990 正好把它夹在中间。

把 (3x² − 15x + 5)/(−3x) 拆成 −x + 5 − 5/(3x)

除以 −3x 会让每一项都变号：3x² 变成 −x，−15x 变成 +5，常数项 5 变成 −5/(3x)，并且要注明 x ≠ 0。

把 (4x¹⁰ − 5x⁹ − 20x⁴)/(4x²) 逐项相除，化简成 x⁸ − (5/4)x⁷ − 5x²

结果是 x⁸ − (5/4)x⁷ − 5x²（x ≠ 0）。分子的每一项分别除以 4x²：系数相除、指数相减；只有中间那一项除不尽，留下分数 5/4。

改写分子拆分 x/(x − 2)²：等于 1/(x − 2) + 2/(x − 2)²

拆分结果是 1/(x − 2) + 2/(x − 2)²。把分子 x 写成 (x − 2) + 2，两部分就能各自与分母约分，完全不用解待定系数的方程组。分子是一次式、分母是重复的一次因式时，这个技巧特别好用。

√(−19) 乘 √(−19) 为什么等于 −19 而不是 +19

乘积是 −19。必须先把 √(−19) 写成 i√19，因为当被开方数为负时，√a · √b = √(ab) 这条法则就不再成立了。

展开 (4√3a + √3a²)²：结果是 3a⁴ + 24a³ + 48a²

展开式是 3a⁴ + 24a³ + 48a²。先把公因式 √3a 提到括号外，问题就变成 3a²(a + 4)²，平方一做根号自然消失（因为 (√3)² = 3）。再用完全平方公式直接展开也能得到同样的结果。

求 (A+C)²：两个 3×3 矩阵先相加再平方的完整算法

A+C 的三行是 (19,3,3)、(3,5,3)、(3,37,3)，平方后为 (379,183,75)、(81,145,33)、(177,305,129)。先按元素相加，再让和矩阵自乘。

x²((8.9−x)²−64)=(631.9−79x)² 只有两个实根：x ≈ −78.515 和 80.499

这个四次方程只有两个实根，x ≈ −78.5149849 与 x ≈ 80.4985052。在 [0, 80] 上四次式最大也只有约 −3992，全程为负，所以这一整段里根本藏不住根。

两个三次多项式相减，结果是 −3x³+6x²+7x−18，次数为 3

差为 −3x³ + 6x² + 7x − 18，次数是 3。先把减号分配到第二个括号里的每一项，再合并同类项，最后按降幂排列写成标准形式。

(6x+5)/(x²−8x+12) − 6/(x−2) 化简得 41/((x−2)(x−6))

差是 41/((x − 2)(x − 6))。先把二次分母因式分解，公分母就露出来了；展开分子时 x 项正好抵消，只剩一个常数 41。

(−2x³y² + 4x²y³ − 3xy⁴) − (6x⁴y − 5x²y³ − y⁵) 的差是 −6x⁴y − 2x³y² + 9x²y³ − 3xy⁴ + y⁵

差为 −6x⁴y − 2x³y² + 9x²y³ − 3xy⁴ + y⁵。关键是把减号分配给第二个括号里的每一项，并弄清二元多项式中哪些项才真正是同类项。

把 (-2+8i) - (2-7i) 化成标准形式 a + bi：结果是 -4 + 15i

答案是 -4 + 15i。先把减号分配到第二个复数的实部和虚部上，再把实部与实部相加、虚部与虚部相加。

∛(16xy³) − y∛(128x) 的化简结果是 −2y∛(2x)

差等于 −2y 乘 2x 的立方根。把 8 和 y³ 这两个完全立方数从根号里提出来，两项就变成同类根式，直接减系数即可。

(9n³ − n⁷ − 9) − (8n³ − n⁷ − 11) 逐项相减得 n³ + 2

差是 n³ + 2。把负号分配到第二个括号的每一项上，两个 n⁷ 正好抵消，再把剩下的同类项合并即可。

已知 f = 2 − x² 和 g = x² + 4x − 60，求 (f − g)(x) = −2x² − 4x + 62

答案是 −2x² − 4x + 62。整道题的难点只在于把减号分配到 g 的全部三项上：4x 变成 −4x，−60 变成 +60。

(2x+1)/(x+5) − (3x−2)/(x+4) 通分化简为 (−x²−4x+14)/((x+5)(x+4))

答案是 (−x² − 4x + 14)/((x+5)(x+4))。交叉相乘通分到公分母上，把两个乘积展开，再把减号分配到第二个括号的三项上。

两个二元多项式相减并求次数：结果是 x⁴y² − 15x³y − 14y + 8x，次数为 6

差为 x⁴y² − 15x³y − 14y + 8x，次数是 6。先把减号分配给第二个括号的全部四项，合并同类项，再对每一项的指数求和取最大值。

减去 (2x³ + 3xy − 7y²) 得 −x³ − 10xy − 2y²，次数为 3

差是 −x³ − 10xy − 2y²，是一个 3 次多项式。先把负号分配进去，再把 x³、xy、y² 三类同类项分别配对，最后读出最高的总次数。

6s²t − 2st² 与 4s²t − 3st² 之和：3 次二项式 10s²t − 5st²

和是 10s²t − 5st²，是一个次数为 3 的二项式。只有同类项才能合并，而每一项的次数是各字母指数之和 2 + 1 = 3，不是 2。

等差数列偶数项之和 u2 + u4 + … + u2020 = 5101510

由 u3 + u5 − u6 = 6 与 u8 + u4 = 52 解得 d = 5、u1 = 1。偶数项自身构成公差为 10 的等差数列，共 1010 项，求和得 5101510。

不等式组无解且方程有非负整数解，满足条件的整数 m 之和为 6

答案是 6（m = 0、2、4）。不等式组无解要求 m ≥ −1，而 x + m − 2 = 2 − x 有非负整数根要求 m 为偶数且 m ≤ 4，三个条件取交集即得。

九个角成等差数列，首项 n1 的所有可能取值之和是 60

答案是 60，来自两个合法首项 24 和 36。九个角总和 540，所以中间项是 60；由 78 得 (k − 5)d = 18，d 必须整除 18。

解方程 (x²+4x−12)·√(x+5)=0 并求各根之和

各根之和是 −3。定义域 x ≥ −5 把 x = −6 排除掉，而根号那个因式本身又贡献了一个根 x = −5，所以方程的根是 2 和 −5。

(x² + 4x − 12)·√(x + 5) = 0 的根之和是 −3

根之和是 −3。定义域 x ≥ −5 把二次因式的根 x = −6 排除掉，只剩二次因式给的 x = 2 和根号因式给的 x = −5。

(x² − 5x)·√(4 + 3x − x²) = 0 的解之和是 3

解之和为 3。定义域是 [−1, 4]，所以候选值 x = 5 被排除，只有 x = −1、x = 0 和 x = 4 能通过两个因式的零乘积检验。

解 (1+x)²⁷ + … + (1+x)³⁶ = 70/3：化成等比级数求根

两个实根是 x ≈ 0.027167 和 x ≈ −2.122636。令 y = 1 + x，左边变成等比级数 y²⁷(y¹⁰ − 1)/(y − 1)，它只在 y > 0 时严格递增——负半轴上还藏着第二个根。

分三段讨论解不等式 |x+1| + |x−1| ≤ 3，解集是 −3/2 ≤ x ≤ 3/2

解集是区间 −3/2 ≤ x ≤ 3/2。在 x = −1 和 x = 1 处分段，左边依次化为 −2x、常数 2、2x，只有两侧的两段才真正起限制作用。

x=(√3+1)/(√3−1) 时求 x+y、xy 和 x³+y³

分母有理化后得 x = 2+√3、y = 2−√3，于是 x+y = 4、xy = 1；再套对称式公式即得 x²+y² = 14，x³+y³ = 52，4x²+7xy+4y² = 63。

x = 1/(√5−2)、y = 1/(√5+2) 时 x + y = 2√5，xy = 1，x² + y² = 18

分母有理化后 x = √5 + 2、y = √5 − 2，所以和为 2√5，积为 1。再用 x² + y² = (x+y)² − 2xy 得到 20 − 2 = 18。

x³ − 7x + 6 除以 −2x + 1 的综合除法：商 −x²/2 − x/4 + 27/8，余数 21/8

相除得到商 −x²/2 − x/4 + 27/8，余数 21/8。先把除式写成 −2(x − 1/2)，用综合除法除以 x − 1/2，再把商除以 −2，余数保持不变。

用综合除法算 2t³ − t − 15 除以 t − 1：商 2t²+2t+1，余数 −14

商是 2t² + 2t + 1，余数是 −14。缺失的 t² 项必须补一个 0 占位，系数行才是 2、0、−1、−15，否则整道题就算成了别的式子。

2t² − t − 15 除以 t − 1 的综合除法：商 2t + 1，余数 −14

商是 2t + 1，余数是 −14，所以 2t² − t − 15 = (t − 1)(2t + 1) − 14。首项系数是 2 完全没关系，综合除法只要求除式首一。

用综合除法把 2x³ + 2x² + 2x − 1 除以 x − 1：商为 2x² + 4x + 6，余数为 5

商是 2x² + 4x + 6，余数是 5。除式 x − 1 对应 c = 1，注意符号要翻转；最后再用余数定理独立验证这个 5。

综合除法算 x³ − 2x + 3 除以 x − 2：商 x² + 2x + 2，余 7

综合除法得到商 x² + 2x + 2、余数 7。重点看缺失的 x² 项要补一个 0 占位，以及每一行的落下、乘、加是怎么走的。

综合除法：x³ − 2x² − 4x + 8 除以 x − 2，商 x² − 4、余数 0

商是 x² − 4，余数为 0，说明 x − 2 能整除这个三次式。取 c = 2，先把首项系数 1 落下来，再沿系数逐个「乘一次、加一次」。

综合除法算 x³ − 4x + 5 除以 x − 2：商 x²+2x，余数 5

商是 x² + 2x，余数是 5，即原式等于 (x − 2)(x² + 2x) + 5。缺少的 x² 项要补 0 占位，表头取 c = 2。

x³ − 4x² + x + 6 除以 x + 1：商 x² − 5x + 6，分解为 (x+1)(x−2)(x−3)

商是 x² − 5x + 6，余数为 0，所以这个三次式分解成 (x + 1)(x − 2)(x − 3)。注意表格左上角要填的是 c = −1，不是 c = 1。

缺一次项的综合除法：x³ − x² − 4 除以 x − 2，商是 x² + x + 2，余数为 0

商是 x² + x + 2，余数是 0。这个三次式没有一次项，列系数时必须在那一列补一个 0 占位，否则后面各列全部错位。

综合除法算 x³ + 3x² − 6x − 8 除以 x − 1，余数 −10

商是 x² + 4x − 2，余数是 −10，所以这个三次式等于 (x − 1)(x² + 4x − 2) − 10。余数不为零，说明 x − 1 不是它的因式。

用加减消元法解方程组 8(x+y) = 3520、6x + 12y = 3480，得 x = 300、y = 140

解是 x = 300，y = 140。两个方程分别除以 8 和 6，化成 x + y = 440 与 x + 2y = 580，两式相减立刻解出 y。

用代入法解方程组 2(x−y)+x=95 与 (x−y)+3(x+y)=150，得 x=35，y=5

答案是 x = 35，y = 5。先去括号化成 3x − 2y = 95 与 2x + y = 75，再从第二式解出 y 代入，一步得到 7x = 245。

x² + x − 6 < 0 与 x² + 4x − 12 > 0 联立：解集为空集，无实数解

这个方程组没有实数解。第一个不等式给出 −3 < x < 2，第二个给出 x < −6 或 x > 2，两个解集完全不重叠。

解方程组 x + y − 3z = 0 与两个二次约束：z = 14/13，x、y 含 √595

z = 14/13，两组解为 ((28 ∓ √595)/13, (14 ± √595)/13)。诀窍是看出第二个方程的二次部分恰好是第三个方程的 2 倍，代入后 z 立刻被定死。

为什么 x² + y = 2 与 −x² + y = 10 组成的方程组无实数解

两式相加得 2y = 12，即 y = 6；代回去便得 x² = −4，没有实数满足它。所以这个方程组没有实数解。

含铜 40% 与 55% 的合金熔成 45%，第三种合金质量为 150 kg

第三种合金重 150 kg。按铜的质量守恒列式 0.40(100) + 0.55m = 0.45(100 + m)，解得第二种合金 m = 50 kg，再加上第一种的 100 kg。

三个连续整数的和是 51：这三个数是 16、17、18

这三个整数是 16、17 和 18。把它们设成 n−1、n、n+1，求和恰好是 3n，于是 n = 51/3 = 17，中间那个数立刻就出来了。

三元一次方程组应用题：三种花各买一朵多少钱

各买一朵共 6.00 英镑。由 2 白 + 1 黄 = 5、2 白 + 3 红 = 10.50、3 黄 + 2 红 = 11 这三个方程，用代入消元法逐步解出单价。

为什么 a+b+c=100、600a+c=1200、600b+599c=0 无解

这个方程组是矛盾的。消去 b 和 c 后 a 全部抵消，只剩下 2 = 100 这个假命题，所以没有任何三元组 (a, b, c) 能同时满足三式。

解含小数系数的三元方程组 x + y = z，得 x≈0.21936，y≈−0.14766，z≈0.07169

解为 x ≈ 0.21936，y ≈ −0.14766，z ≈ 0.07169。先把 z = x + y 代入，三个方程化成两个；再把 25.33333 认成 76/3，就能得到精确的分数解。

首排 15 座、每排多 4 座的 30 排看台共有 2190 个座位

每排座位数构成等差数列，u₁ = 15，d = 4，n = 30，所以末排有 131 个座位，总数为 (30/2)(15 + 131) = 2190。

底面放大 3 倍的两个水池共需 16.6xy 立方米水，代入得 249

两池合计体积是 16.6xy 立方米，当 x = 5、y = 3 时为 249 立方米。底面长宽同时乘以 3，底面积就变成原来的 9 倍，而不是 3 倍。

由晚点 6 分钟求火车原速：答案是 77 km/h

答案是 77 km/h。把全程写成 10v，剩下那一段恰好是 v 公里，于是晚点方程化简成 v/(v − 7) = 11/10。

把 f(x) = 2|x + 6| − 1 右移 1、下移 7，得到 2|x + 5| − 8

结果是 f(x) = 2|x + 5| − 8。右移 1 个单位要把 x 换成 x − 1，顶点从 (−6, −1) 移到 (−5, −1)；再下移 7 个单位，顶点落到 (−5, −8)。

f(x) = |x − 1| + 5 右移 2、上移 4 后变成 |x − 3| + 9

结果是 f(x) = |x − 3| + 9，顶点从 (1, 5) 移到 (3, 9)。两个常数都要变：绝对值内的 1 变成 3，外面的 5 变成 9。

把 f(x) = |x − 4| − 3 右移 2、上移 6：新解析式是 f(x) = |x − 6| + 3

结果是 f(x) = |x − 6| + 3，顶点从 (4, −3) 移到 (6, 3)。左右平移写在绝对值符号里面且要变号，上下平移写在外面且符号不变。

把 f(x) = |x − 4| 右移 2、上移 6 得到 |x − 6| + 6

结果是 f(x) = |x − 6| + 6，顶点从 (4, 0) 移到 (6, 6)。原式外面本来没有常数项，所以上移量直接就成了括号外的那个常数。

把 f(x) = |x − 5| 向左平移 4 个单位，得到的函数是 |x − 1|

把 x 换成 x + 4，得 |(x + 4) − 5| = |x − 1|，顶点从 x = 5 移到 x = 1。向左平移在函数内部用的是加号。

把 f(x) = |x + 2| 向下平移 3 个单位，得到 |x + 2| − 3

竖直平移是在绝对值外面做减法，结果为 |x + 2| − 3。顶点从 (−2, 0) 降到 (−2, −3)，图像因此与 x 轴有了两个交点。

把 f(x) = |x| + 10 左移 8、下移 2：新解析式是 f(x) = |x + 8| + 8

结果是 f(x) = |x + 8| + 8。水平平移写进绝对值里面且符号相反，竖直平移写在外面且符号相同，顶点由 (0, 10) 移到 (−8, 8)。

把母函数 |x| 右移 2、上移 4：一步步得到 |x − 2| + 4

结果是 f(x) = |x − 2| + 4，顶点为 (2, 4)。从母函数 |x| 出发，规律一目了然：h 写在绝对值里面且带减号，k 写在外面且带加号。

p = 1 时没有任何 q、r、s 能让 (p → ((¬p∨r)∧¬s)) ∧ (¬s → (¬r∧p)) 为真

q、r、s 怎么取都不行。p = 1 时第一个合取项化为 r ∧ ¬s，第二个化为 s ∨ ¬r，这两个要求互相矛盾，所以这个式子在任何选项下都为假。

两名骑手同骑 120 km，速度差 3 km/h、时间差 2 小时：两人速度是 12 和 15 km/h

两人的速度分别是 12 km/h 和 15 km/h。列出 120/x − 120/(x+3) = 2，去分母化成 x² + 3x − 180 = 0，其正根是 x = 12。

用代入法精确解方程组 x + 3y = 6 与 x − y/3 = 0：x = 3/5，y = 9/5

答案是 x = 3/5、y = 9/5。第二个方程直接给出 x = y/3，连分母都不用去，代进第一个方程一步就化成 (10/3)y = 6。

为什么 0.055x − 570 对任何 x 都不等于 0.055(x − 78000) + 1280

方程无解。两个式子的斜率都是 0.055，所以对任意 x，它们的差恒为常数 2440——图象是两条永不相交的平行线。

一人先单独刷 2 天再合作的工程问题：全部刷完一共要 4 天

答案是 4 天。单独干 2 天后还剩 3/5 的房子，两人合起来每天 3/10，正好再用 2 天刷完。

把 (y + 397)/(−12) = (x − 362)/4 化成斜截式 y = −3x + 689

直线是 y = −3x + 689。这个式子是过点 (362, −397) 与 (366, −409) 的两点式；交叉相乘后除以 4，斜率就是 −3。

由三组总价求一红一白一黄玫瑰共花多少钱：6 英镑

一样一朵共 6 英镑：白玫瑰 1.50、黄玫瑰 2.00、红玫瑰 2.50。把 y = 5 − 2w 代进第三个方程，整个方程组就化成了只含 w 的一个方程。

由 144 美元的找补款反推单价：每罐 18 美元

每罐 18 美元。三人出钱相同，公平份额就是平均数；第一个人比份额多拿了 8 罐，144 除以 8 就是单价。

用韦达定理求 x² + 3x − 5 = 0 的 x₁ + x₂ − x₁x₂，答案是 2

结果是 2。由韦达定理得 x₁ + x₂ = −3、x₁x₂ = −5，所以原式等于 −3 − (−5) = 2，全程不必求出那两个无理根。

m − x² ≤ 1 − x 有正数解时 m 的取值范围：全体实数

任何实数 m 都可以。移项得 m ≤ x² − x + 1，而这个式子在 x > 0 上无上界，所以取一个足够大的正数 x 总能让不等式成立。

首周存 42 元、每周加 8 元，第 46 周首次攒够 400 元

第 n 周末的余额是 42 + 8(n − 1) = 8n + 34。解 8n + 34 ≥ 400 得 n ≥ 45.75，所以第 46 周（402 元）是第一次够用的时候。

(a+bi)²⁰²⁵ = (a−bi)²⁰²⁵ 说明什么：z 的 2025 次幂必须是实数

这个条件说的是 z²⁰²⁵ 等于它自己的共轭，因此 z²⁰²⁵ 是实数。化到极坐标就得到 arg(z) = kπ/2025（k 为整数）或 z = 0，而模长不受任何限制。

a^n + b^n 什么时候能因式分解：n 为奇数时 a + b 一定是因式

n 为奇数时，a + b 永远是它的因式，另一个因式的符号正负交替。n 为偶数时没有通用的分解，不过 n = 6 可以借助立方和拆开。

(2 − 3x)/(x(x − 1)) 在哪里为正？在 x < 0 与 2/3 < x < 1 上

临界点 0、2/3 和 1 把数轴分成四段；在每段各取一个点代入检验，可知这个分式在 (−∞, 0) 和 (2/3, 1) 上为正。

四个均值不等式结论哪个对？只有 √x + 1/√x ≥ 2 成立

只有选项 C 正确。A 给出的「最小值」不是常数，B 的最小值在 x > 1 上取不到，D 的 1 是最大值而不是最小值，因为 4x − 5 是负数。

邮资该用哪种函数模型：是阶梯函数，而不是一次函数

应选阶梯函数。因为每多出一盎司或不足一盎司的部分都要按整整 0.20 收费，总费用在整盎司处跳一次、其间保持不变。

由 −2 < a < 1 与 1 < b < 2 只能推出 −4 < a − b < 0 和 −2 < a/b < 1

正确的是 A 和 C。乘积 ab 的范围是 (−4, 2) 而不是 (−2, 2)；D 中 ab − 2 < a − 2b 移项后等价于 (a + 2)(b − 1) < 0，而两个因式都为正，所以不成立。

哪条直线与 y = 4x − 5 平行？斜率同为 4 的 y = 4x + 7

平行的充要条件是斜率相等。从 y = mx + b 里读斜率，只有 y = 4x + 7 的斜率是 4；斜率 −1/4 的那条是垂直，不是平行。

四个集合差恒等式哪个成立？只有 (A ∩ B) − C = (A − C) ∩ (B − C)

只有第 2 个是对的。把每个差集改写成 A − B = A ∩ B′，再用德摩根律逐一比对：另外三个之所以不成立，是因为并集与补集并不能那样交换。

x、y 为正且 x + y = 1 时，只有 1/x + 1/y ≥ 4 与 x² + y² ≥ 1/2 成立

正确的是 B 和 C。xy 的 1/4 是最大值而非最小值；√x + √y 的最大值是 √2 而不是 2，因为它的平方是 1 + 2√(xy) ≤ 2。

u₂ = 1、u₅ = 19 的等差数列中，103 是第 19 项

由 u₅ − u₂ = 3d 得 d = 6、u₁ = −5。解 −5 + 6(n − 1) = 103 得 n = 19，再用 u₁₉ = −5 + 108 = 103 验证无误。

285a + 315b + 590c = 21806 为什么没有整数解

三个系数都是 5 的倍数，所以左边永远能被 5 整除——但 21806 除以 5 余 1。在实数范围内，解集是一张平面。

为什么 5x² − 2x + 1 在实数范围内不能因式分解：判别式为 −16

判别式等于 −16，是负数，所以没有实根，也就没有实系数的一次因式。在复数范围内它可以分解成 5(x − r)(x − r 的共轭)。

证明等差数列中 uₙ − uₙ₋₁ = d，以及这个恒等式何时不成立

成立：把 uₙ₋₁ = u₁ + (n−2)d 从 uₙ = u₁ + (n−1)d 中减掉，剩下的正好是 d。这个恒等式反过来也刻画了等差数列，对别的数列则不成立。

为什么 x³ − 3x² + 5x + 1 只有一个实根：导数恒正，函数严格递增

1 和 −1 都不是根，所以它在有理数范围内不可约。导数 3x² − 6x + 5 恒为正，因此这个三次函数严格递增，实根只能有一个。

x³ − 5x² + 3x + 2 为什么在有理数范围内分解不了：三个实根都是无理数

有理根定理给出的四个候选全部不成立，所以它在有理数域上不可约——但它仍有三个实根，分别约为 −0.391、1.227 和 4.164。

为什么 (x² − 4x + 3)/(x² − 9) 要排除 x = 3：那里是一个空心点

x = 3 要排除，是因为它让分母 (x − 3)(x + 3) 为零，代进去得到无意义的 0/0。约掉 x − 3 之后 x = 3 处留下的是一个空心点，而不是一个可取的值。

为什么 x² − 4xy + 4y 在整数范围内不能因式分解

它分解不了。把它看成关于 x 的二次式，判别式是 16y(y − 1)，不是一个完全平方多项式，这一点和熟悉的 x² − 4xy + 4y² 不同。

把 256/625 写成幂：把指数配成一样，得到 (4/5)⁴

256/625 = (4/5)⁴，因为 256 = 4⁴、625 = 5⁴。两部分的指数都是 4，于是整个分数可以折成 4/5 的一个幂，也可写成 (2⁸)/(5⁴)。

把 81/16 写成幂的形式：分子分母各自分解得 (3/2)⁴

答案是 81/16 = (3/2)⁴。先分解 81 = 3⁴、16 = 2⁴，再用 aⁿ/bⁿ = (a/b)ⁿ。化成小数是 5.0625，它不是任何整数的整数次幂。

把 |x + 66| 写成分段函数：以 x = −66 为分界点

答案是：x ≥ −66 时取 x + 66，x < −66 时取 −x − 66。分界点就是绝对值内部变号的地方，由 x + 66 = 0 解出。

把 |x| 乘 x 写成分段函数：x ≥ 0 时为 x²，x < 0 时为 −x²

答案是 x ≥ 0 时取 x²，x < 0 时取 −x²。在零点处分段就能去掉绝对值，得到的是一个处处递增的奇函数。

长比宽的 2 倍多 2 米、周长 64 米的矩形：宽 10 米、长 22 米

方程是 2((2w + 2) + w) = 64，解得宽 10 米、长 22 米。关键是把「比宽的两倍多 2」翻译成 2w + 2，而不是 2(w + 2)。

长比宽的 3 倍多 4 米、周长 96 米的长方形：宽 11 米，长 37 米

方程是 2((3w + 4) + w) = 96，解得宽 11 米、长 37 米。翻译套路与「2w + 2」那一类完全相同，只是倍数和常数换了。

把 −(4x − 4y − 5) 去括号：结果是 −4x + 4y + 5

答案是 −4x + 4y + 5。括号前面的负号相当于把括号里每一项都乘以 −1，所以三项的符号统统翻转——最后那一项也不例外。

y = 2x² − 21x + 64 与直线恰好交于一点时，x = 6

答案是 x = 6。令两式相等得 2x² − 24x + 64 − a = 0，「恰有一个交点」意味着判别式为零，于是 x = 24/4 = 6。