Algebra
Real algebra questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.
(|x−2|−x)/(x²−4) ≤ 0 的解集是 (−2, 1] ∪ (2, +∞)。在 x = 2 处拆开绝对值，列符号表逐段判号，并说明为什么 x = 1 能取到而 ±2 必须排除。
解集是 x ≤ −9/2，即区间 (−∞, −9/2]。把连不等式拆成两个不等式，注意两边的 x² 项会全部抵消，最后对两个解集取交集而不是并集。
当 a、b 为正数时恒有 a³+b³ ≥ a²b+ab²，当且仅当 a = b 时取等号。原因是作差后可以分解成 (a+b)(a−b)²，是一个正数乘非负数的乘积。
实数解是 x = −33。两边同时立方消掉 1/3 次幂，解出 2x + 2 = −64，并说明为什么奇次方根不会像平方那样产生增根。
解集是 (−∞, −2) ∪ (1, 3)。先求出三个零点把数轴分段，再用符号表逐段判断三个因式乘积的正负，最后注意严格不等号要把端点去掉。
答案是 f(x) = 5(x + 3)(x − 6)(x − 10) = 5x³ − 65x² + 60x + 900。每个零点对应一个一次因式，首项系数 5 则定出了那个待定的比例常数。
所有根之和是 10。先减去 1、5、9、13 所在的直线 4x − 3，把差式分解成 a(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)，再用韦达定理，常数 a 恰好被约掉。
差商化简后是 2x + h − 5。展开 f(x+h)、减去 f(x)、把分子提出公因式 h 再约掉，并说明为什么不含 h 的项一定会全部抵消。
定义域是 (−∞, 5) ∪ (5, 9) ∪ (9, ∞)。繁分式里藏着两个限制：内层分母和外层分母都不能为零，先化简再求定义域就会把 x ≠ 5 弄丢。
解集是 ((3−√17)/2, 0) ∪ ((3+√17)/2, +∞)。先把两边化成同底，因为底数 2/5 小于 1 要把不等号反向，再对 (x²−3x−2)/x 列符号表判号。
27x³+y³=(3x+y)(9x²−3xy+y²)，x³−8y³=(x−2y)(x²+2xy+4y²)，x³+512=(x+8)(x²−8x+64)。关键是先认出两个完全立方，再按公式写出两个因式。
答案是 ab = −1/4，其中 a = −1/2，b = 1/2。解集落在两根之间说明 a<0，而常数项恰好是 1，这一条定出了那个自由的比例系数。
答案是 5/4。先两边同除分离出 z−1 的共轭，把分母有理化，再对两边取共轭还原出 z，最后用 |z|² = a² + b² 直接算出结果。
x = 6。当 y = 2x² − 21x + 64 与 y = 3x + a 只交于一点时，联立所得的二次方程有重根，于是 x = 24/4 = 6，此时 a = −8。判别式解法全程详解。
方程 log₃(2x² + 13x + 23) ÷ log₃(x + 5) = 1 只有一个根 x = −3，所以根之和是 −3。先写定义域（真数为正、分母不为零），再用换底公式把对数之商化成以 x + 5 为底的一个对数，最后解二次方程并检验。
解集是 x ≤ −5/2、x = 0 或 1/6 ≤ x < 1/2。按 x 的符号分三种情况讨论，除以 x 时 x < 0 要变号，再利用底数 1/3 小于 1 时对数递减把不等号反向，注意别把孤立点 x = 0 漏掉。
结论是 A = λI。证明的关键在于取基本矩阵单位 E_ij 作试验矩阵：比较 AE_ij 与 E_ij A 的对应元素，先逼出所有非对角元为零，再逼出对角元彼此相等，这也说明矩阵环的中心恰是数量矩阵。
取 20% 的溶液 10 升、50% 的溶液 10 升即可配成 20 升 35% 的酒精溶液。按总体积和纯酒精量各列一个方程，代入消元求解，最后用「35% 恰好落在 20% 与 50% 正中间」这个口诀快速验算。
两式之差化简为 12a²b² − 5ab⁵，是一个 6 次二项式。减号必须带括号逐项变号，a³b 项正好抵消；含多个字母的项，次数是各字母指数之和，所以 ab⁵ 的次数是 6 而不是 5。
商里缺失的那一项是 A = −3，所以商为 x − 3、余式为 0。文中讲清了除法表格的每个格子是怎么来的：用当前首项除以除式首项定出商的一项，再乘回去相减，最后展开验证整除。
两个根是 x = (11 − √29)/2 ≈ 2.807 和 x = (3 + √13)/2 ≈ 3.303。以 x = 3 为分界点去掉绝对值，两侧各解一个二次方程，再把不落在对应范围里的根舍去，最后代回原式验证。
答案是 2 − 2√3 ≤ x ≤ 2 + 2√3。解集的两个端点就是零点，于是 f(x) = a(x+1)(x−5)；对称轴 x = 2 处取最小值 −18 定出 a = 2，代回后解 2x² − 8x − 10 ≤ 6 即可。
实数解是 x = −12 和 x = −13。令 u = x + 4，把「可化为二次」的方程变成 u² + 17u + 72 = 0，十字相乘分解因式求出 u，最后别忘了把 u 换回 x 再检验。
n 的最大值是 14。由两个根写出 f(x) = a(x − 1)(x + 7)，展开对比系数得 b = 6a，于是 a + b = 7a；a 是大于 1 的整数，最小取 2，所以 a + b 的最小值 14 就是 n 能取到的上限。
答案是 7/4 < k < 13/6。把「根在哪个区间」翻译成 f(0)>0、f(1)<0、f(2)<0、f(3)>0 四个符号条件就能定出参数范围，判别式不必另外讨论；再用韦达定理两根互为倒数复核一遍。
答案是 (2√7 − 2√2)/5。分子分母同乘共轭式 √7 − √2，利用平方差公式一次消掉两个根号；文中还说明了为什么只乘 √7 不行，最后检查能否约分并做数值验算。
余式是 26x − 47。已知 f(x) 除以 2x² − 3x + 4 余 2x + 1，那么 f(x)³ 的余式就等于 (2x+1)³ 的余式；再用 x² = (3x−4)/2 这条改写规则给三次项降次，比长除法快得多。
余数是 −1。用余数定理，多项式除以 x − 1 时余数就等于 f(1)，一步就能算出来，完全不用做长除法；文中还说明了为什么余数一定是常数而不会含 x。
去程速度是 50 km/h，返程是 60 km/h。先把 4 小时 24 分化成 4.4 小时，再把两段时间都写成路程除以速度，解方程 220/v = 4.4。
答案是 3037。特征方程 (r − 2)^2 = 0 出现重根，通项为 a_n = (A + Bn)2^n，于是 a_2025 = 6,149,925 × 2^2025，b/c = 6,149,925/2025 = 3037。
第 19 项约为 91.66672，整数部分是 91。相邻两项之差每次减半且正负交替，数列收敛到 (a1 + 2a2)/3 = 275/3，而不是 2a2 − a1。
结果是 m^8/(256n^44)。先在括号里做除法得到 −4m^-2 n^11，再把外层的 −4 次幂分配到每个因式上；负底数取偶次幂结果为正。
整个式子最后只剩下 a⁴b。先从第一个括号提出公因式 ab，再套立方和公式，乘开之后 ab⁴ 与 −ab⁴ 恰好抵消。
整个式子最终化简为 a。先把每个括号通分成分母是 a+b 的单一分式，−1 次幂表示取倒数，约分之后再减去末尾的 3b。
答案是 17。把 2log₅(√x+2) 并成一个对数，因为底数 5 > 1 可以直接比较真数，x 项抵消后得 28 < 7√x，即 x > 16。
四个根是 x = −1、3/2、2−√3 和 2+√3。先用有理根定理试根、综合除法降次，最后对剩下的二次式用求根公式。
各根之和是 −3。定义域 x ≥ −5 把 x = −6 排除掉，而根号那个因式本身又贡献了一个根 x = −5，所以方程的根是 2 和 −5。
分母有理化后得 x = 2+√3、y = 2−√3，于是 x+y = 4、xy = 1；再套对称式公式即得 x²+y² = 14，x³+y³ = 52，4x²+7xy+4y² = 63。
各买一朵共 6.00 英镑。由 2 白 + 1 黄 = 5、2 白 + 3 红 = 10.50、3 黄 + 2 红 = 11 这三个方程，用代入消元法逐步解出单价。