解不等式 (2 − x)(2x − 3) > 0。

Step-by-step solution

1. 1

   保持因式形式，先求零点。 乘积的符号由各个因式决定，所以不要展开：

   $2-x=0\Rightarrow x=2,\qquad 2x-3=0\Rightarrow x=\frac32$

   这两个点把数轴分成 $\left(-\infty,\tfrac32\right)$、$\left(\tfrac32,2\right)$ 和 $(2,\infty)$。

2. 2

   每个区间取一个点代入试。 取 $x=0$：$(2)(-3)=-6<0$。取 $x=1.75$（在两根之间）：$(0.25)(0.5)=0.125>0$。取 $x=3$：$(-1)(3)=-3<0$。符号的规律是负、正、负。

3. 3

   从首项系数解释这个规律。 如果真把它展开，首项是 $(-x)(2x)=-2x^2$——这是一条开口向下的抛物线。开口向下的抛物线在两根之间为正、在两根之外为负，正好和我们最熟悉的情形相反。顺手写成「两根之外」是这里最典型的错误。

4. 4

   取两根之间的区间，注意哪个根更小。 因为 $\tfrac32=1.5<2$，所以

   $\frac32<x<2$

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   端点要排除。 不等式是严格的，所以乘积恰好等于 $0$ 的那两个点不在解集里。写成区间就是 $\left(\tfrac32,2\right)$——一个宽度仅为 $\tfrac12$ 的开区间。

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   逐点扫描验证。 在 $[-5,5]$ 上取 $10{,}001$ 个点，用精确分数计算乘积，再与 $\left(\tfrac32,2\right)$ 比对，每一点的结论都一致 ✓。