化简 ((a^2 - 2a + 4)/(a + 2))^2 - ((a^2 + 2a + 4)/(a - 2))^2。

Step-by-step solution

1. 1

   先看出分子里藏着的立方公式。 两个分子都是立方公式里的那个二次因式：

   $a^3+8=(a+2)(a^2-2a+4),\qquad a^3-8=(a-2)(a^2+2a+4)$

   所以 $\dfrac{a^2-2a+4}{a+2}=\dfrac{a^3+8}{(a+2)^2}$，$\dfrac{a^2+2a+4}{a-2}=\dfrac{a^3-8}{(a-2)^2}$。看出这一点，才能让后面的代数不至于失控。

2. 2

   把两个平方都通分到公分母 $(a^2-4)^2$ 上。 因为 $(a+2)(a-2)=a^2-4$，

   $\left(\frac{a^2-2a+4}{a+2}\right)^{2}=\frac{(a^2-2a+4)^2(a-2)^2}{(a^2-4)^2},\qquad \left(\frac{a^2+2a+4}{a-2}\right)^{2}=\frac{(a^2+2a+4)^2(a+2)^2}{(a^2-4)^2}$

3. 3

   把两个分子相减并展开。 两个乘积都是 6 次多项式；做完乘法再逐项相减，得到

   $(a^2-2a+4)^2(a-2)^2-(a^2+2a+4)^2(a+2)^2=-16a^5-160a^3-256a$

   所有偶次项都消掉了 —— 这是一个有用的信号，说明两半在 $a\mapsto -a$ 下确实互为镜像。

4. 4

   把这个分子完全因式分解。

   $-16a^5-160a^3-256a=-16a\bigl(a^4+10a^2+16\bigr)=-16a\,(a^2+2)(a^2+8)$

   $a^2+2$ 与 $a^2+8$ 在实数范围内都不能再分解，所以到此为止；另外注意它们与 $(a^2-4)^2$ 之间没有任何可约的因式，所以当 $a\ne\pm 2$ 时这个分式已经是最简形式。

5. 5

   取两个 $a$ 值作数值验证。 取 $a=1$，原式为 $\left(\tfrac{3}{3}\right)^2-\left(\tfrac{7}{-1}\right)^2=1-49=-48$，而化简后的式子给出 $\dfrac{-16(1)(3)(9)}{9}=-48$。取 $a=3$，原式为 $\left(\tfrac{7}{5}\right)^2-\left(\tfrac{19}{1}\right)^2=1.96-361=-359.04$，化简后给出 $\dfrac{-16(3)(11)(17)}{25}=-\dfrac{8976}{25}=-359.04$。两次都完全一致。