把 3x⁵ + 9x⁴ + 4x³ − 9x² − 15x − 10 完全因式分解，并列出它的全部实根。

Step-by-step solution

1. 1

   先找一个有理根。 可能的有理根形如 $\pm\frac{p}{q}$，其中 $p\mid 10$、$q\mid 3$：$\pm1,\pm2,\pm5,\pm10,\pm\tfrac13,\pm\tfrac23,\pm\tfrac53,\pm\tfrac{10}{3}$。试 $x=-2$：

   $3(-32)+9(16)+4(-8)-9(4)-15(-2)-10=-96+144-32-36+30-10=0,$

   所以 $x=-2$ 是根，$(x+2)$ 是一个因式。这个多项式硬凑分组是行不通的，这也正是先找根才是正确开局的原因。

2. 2

   用综合除法除掉 $(x+2)$。 把系数 $3,\;9,\;4,\;-9,\;-15,\;-10$ 依次落下，每一步乘以 $-2$，得到这一行 $3,\;3,\;-2,\;-5,\;-5$，余数为 $0$：

   $3x^{5}+9x^{4}+4x^{3}-9x^{2}-15x-10=(x+2)\left(3x^{4}+3x^{3}-2x^{2}-5x-5\right).$

   余数为零，正好确认刚才试出的根没错。

3. 3

   先说明四次式没有有理根，再照样把它拆成两个二次式。 在 $3x^{4}+3x^{3}-2x^{2}-5x-5$ 中试 $\pm1,\pm5,\pm\tfrac13,\pm\tfrac53$ 都不为零（例如 $x=-1$ 处的值是 $-2$），所以在 $\mathbb{Q}$ 上再也分不出一次因式。改设

   $3x^{4}+3x^{3}-2x^{2}-5x-5=(3x^{2}+ax+b)(x^{2}+cx+d).$

4. 4

   比较系数，解这个小方程组。 把乘积展开得到

   $3x^{4}+(3c+a)x^{3}+(3d+ac+b)x^{2}+(ad+bc)x+bd,$

   于是 $3c+a=3$、$3d+ac+b=-2$、$ad+bc=-5$、$bd=-5$。试 $b=-5$ 就逼出 $d=1$，进而 $c=1$、$a=0$ 同时满足这四个式子。因此

   $3x^{4}+3x^{3}-2x^{2}-5x-5=(3x^{2}-5)(x^{2}+x+1).$

   展开检验：$3x^{4}+3x^{3}+3x^{2}-5x^{2}-5x-5=3x^{4}+3x^{3}-2x^{2}-5x-5$ ✓。

5. 5

   拼出完整分解式，并读出实根。

   $3x^{5}+9x^{4}+4x^{3}-9x^{2}-15x-10=(x+2)(3x^{2}-5)(x^{2}+x+1).$

   令每个因式为零：$x=-2$；由 $3x^{2}=5$ 得 $x=\pm\sqrt{\tfrac53}=\pm\tfrac{\sqrt{15}}{3}\approx\pm1.290994$；而 $x^{2}+x+1$ 的判别式为 $1-4=-3<0$，不贡献实根。所以实根恰好有三个。

6. 6

   数值验证。 数值求解这个五次方程，得到 $-2$、$\pm1.2909944$ 以及一对共轭复根 $-0.5\pm0.8660254i$ —— 正是 $-\tfrac12\pm\tfrac{\sqrt3}{2}i$，也就是本原三次单位根，与 $x^{2}+x+1$ 预言的完全一致 ✓。