解不等式 (3 × 10⁹)/4ˣ < 1，并给出满足它的最小整数 x。

Step-by-step solution

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   放心去分母。 指数式 $4^x$ 对每个实数 $x$ 都严格为正，所以两边同乘它不会让不等号翻向：

   $3\times10^9<4^x,\qquad\text{即}\qquad 4^x>3\times10^9$

   这正是这里不需要分情况讨论的原因——分母是多项式的不等式就没这么省事了。

2. 2

   两边取以 4 为底的对数。 因为 $4>1$，函数 $\log_4$ 单调递增，所以取对数保持不等号方向：

   $x>\log_4\!\left(3\times10^9\right)$

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   用换底公式转换。 计算器上没有 $\log_4$，所以用

   $\log_4 N=\frac{\log_{10}N}{\log_{10}4}$

   分子那部分按对数运算法则把乘积拆开：

   $\log_{10}\!\left(3\times10^9\right)=\log_{10}3+\log_{10}10^9=0.4771+9=9.4771$

4. 4

   除以 log 4。 代入 $\log_{10}4=0.6020600$：

   $x>\frac{9.4771213}{0.6020600}=15.7411575\ldots$

   所以实数解集是 $x>15.7412$，精确地写就是 $x>\log_4\!\left(3\times10^9\right)$。

5. 5

   读出最小的整数。 严格大于 $15.7412$ 的最小整数是

   $x=16$

   粗略估一下量级也能确认：$4^{15}=2^{30}\approx1.07\times10^9$，比 $3\times10^9$ 小；而 $4^{16}=2^{32}\approx4.29\times10^9$，比它大。

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   在临界点两侧各验一次。 取 $x=16$：$\dfrac{3\times10^9}{4^{16}}=\dfrac{3\times10^9}{4.295\times10^9}=0.6985<1$ ✓。取 $x=15$：$\dfrac{3\times10^9}{1.074\times10^9}=2.7933>1$ ✗。而在精确临界点 $x=15.7412$ 处，商正好等于 $0.999941$ ✓。