两个多项式相减并指出结果的次数：(10x⁴y² − 11x³y − 3y) − (9x⁴y² + 4x³y + 11y − 8x)。

Step-by-step solution

1. 1

   把减号分配给第二个多项式的全部四项。 第二个括号里每一项的符号都要翻转，包括 $-8x$，它会变成 $+8x$。恰恰是这一项最容易出错，因为它本来就带负号：

   $10x^{4}y^{2}-11x^{3}y-3y-9x^{4}y^{2}-4x^{3}y-11y+8x$

2. 2

   在二元情形下分辨同类项。 只有两个字母的指数都相同才是同类项，所以 $x^{4}y^{2}$ 只能与 $x^{4}y^{2}$ 配对，$x^{3}y$ 只能与 $x^{3}y$ 配对。两个 $y$ 项互相配对，而 $8x$ 根本找不到搭档。

3. 3

   把配上对的项合并。

   $10x^{4}y^{2}-9x^{4}y^{2}=x^{4}y^{2}$
   $-11x^{3}y-4x^{3}y=-15x^{3}y$
   $-3y-11y=-14y$

   孤零零的 $8x$ 原样保留，于是得到

   $x^{4}y^{2}-15x^{3}y-14y+8x$

4. 4

   对每一项的指数求和来确定次数。 对多元多项式来说，一项的次数是它各字母指数之和，而整个多项式的次数就是其中最大的那个和：

   $x^{4}y^{2}:\ 4+2=6,\qquad -15x^{3}y:\ 3+1=4,\qquad -14y:\ 1,\qquad 8x:\ 1$

   最大值是 $6$。

5. 5

   写出答案并做数值验证。 差为 $x^{4}y^{2}-15x^{3}y-14y+8x$，次数是 $6$。把 $(x,y)=(1.3,0.7)$ 代入原式得 $-21.069011$，代入化简后的结果同样得到 $-21.069011$；取 $(2,-1.5)$ 时两者都恰好等于 $253$。两个互相独立的测试点确认了每一个系数。