解方程 4x² + 16x + 7 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先算判别式。 取 $a=4$、$b=16$、$c=7$，

   $b^{2}-4ac=16^{2}-4(4)(7)=256-112=144$

   判别式是正的完全平方数，说明有两个不相等的有理根——所以求根公式和因式分解都走得通，其中公式这条路更机械、更稳。

2. 2

   代入求根公式。

   $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-16\pm\sqrt{144}}{8}=\frac{-16\pm 12}{8}$

3. 3

   分别算两支。

   $x=\frac{-16+12}{8}=\frac{-4}{8}=-\frac12,\qquad x=\frac{-16-12}{8}=\frac{-28}{8}=-\frac72$

   $\boxed{x=-\tfrac12\ \text{或}\ x=-\tfrac72}$

4. 4

   用因式分解交叉验证。 因为判别式是完全平方数，这个二次式在有理数范围内可以分解：

   $4x^{2}+16x+7=(2x+1)(2x+7)$

   展开检验：$4x^{2}+14x+2x+7=4x^{2}+16x+7$ ✓，再令每个括号为零，得到的正是同样的两个根。

5. 5

   用韦达定理复核。 两根之和应为 $-b/a=-4$，之积应为 $c/a=\tfrac74$：$-\tfrac12-\tfrac72=-4$ ✓，$\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac72\right)=\tfrac74$ ✓。两个根都是负的也在预期之内，因为 $a>0$ 而 $b$、$c$ 同为正。