解方程 x⁶ + 4x⁵ − 4x⁴ + 4x³ − 7x² − 8x + 10 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   第一步先找有理根。 由有理根定理，任何有理根都整除常数项 $10$：候选值是 $\pm1,\pm2,\pm5,\pm10$。先试 $x=1$ 最快，因为那不过是把系数加起来：

   $1+4-4+4-7-8+10=0$

   所以 $x=1$ 是根，$(x-1)$ 是一个因式。六次方程本来没有公式可用，所以找到一个根是关键的第一个突破口。

2. 2

   用综合除法除掉 $(x-1)$。 系数是 $1,4,-4,4,-7,-8,10$，除数取值为 $1$，得到的商是

   $x^{5}+5x^{4}+x^{3}+5x^{2}-2x-10$

   余数为 $0$，确认了这个根。

3. 3

   用分组分解法拆开这个五次式。 系数两两成对：$(1,5),(1,5),(-2,-10)$ —— 每一对都是 $1:5$，这正是含公因式 $(x+5)$ 的特征：

   $x^{5}+5x^{4}+x^{3}+5x^{2}-2x-10=x^{4}(x+5)+x^{2}(x+5)-2(x+5)=(x+5)\left(x^{4}+x^{2}-2\right)$

4. 4

   把四次式看成关于 $x^{2}$ 的二次式。 令 $y=x^{2}$，

   $y^{2}+y-2=(y+2)(y-1)\ \Longrightarrow\ x^{4}+x^{2}-2=\left(x^{2}+2\right)\left(x^{2}-1\right)=\left(x^{2}+2\right)(x-1)(x+1)$

   注意 $(x-1)$ 第二次出现了 —— 二重根就是从这里来的。

5. 5

   把完整的因式分解拼起来。

   $(x-1)^{2}(x+1)(x+5)\left(x^{2}+2\right)=0$

   把它乘开，能一字不差地复原出原来的系数 $1,4,-4,4,-7,-8,10$ ✓，这就是整条步骤链没有断裂的检验。

6. 6

   读出六个根。 让每个因式分别为零：

   $x=1\ \text{（二重根）},\quad x=-1,\quad x=-5,\quad x=\pm i\sqrt2$

   按重数计正好是六个根，这正是代数基本定理对六次多项式的要求。其中四个是实根（$1$ 重复出现），另两个是一对共轭虚根。