解方程 0.097x^2 - 2.20765x + 4.37114 = 0。

Step-by-step solution

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   列出求根公式。 这里 $a=0.097,\qquad b=-2.20765,\qquad c=4.37114,$ 没有现成的整数因式分解可用，所以直接套 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.$ 注意 $a$ 很小，这是一个危险信号：最后要除以 $2a=0.194$，会把每一个四舍五入误差放大约 $5$ 倍。

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   原封不动地按位算判别式。 $b^{2}=(-2.20765)^{2}=4.8737185225,$ $4ac=4(0.097)(4.37114)=1.6960023200,$ $D=4.8737185225-1.6960023200=3.1777162025.$ 这里保留全部十位小数，才能保证后面两个根有六位有效数字可信。

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   开平方，并由此判断根的个数。 $\sqrt{D}=\sqrt{3.1777162025}=1.78261499\ldots$ 因为 $D>0$，方程有两个不相等的实根；抛物线开口向上，与 $x$ 轴交于两点。

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   除以 $2a$ 收尾。 $x=\frac{2.20765\pm 1.78261499}{0.194}.$ 取加号那一支：$x=\frac{3.99026499}{0.194}=20.56837624,$ 取减号那一支：$x=\frac{0.42503501}{0.194}=2.19090211.$

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   用两根之和与两根之积验算。 由韦达定理，两根之和应为 $-b/a=2.20765/0.097=22.7592784$，两根之积应为 $c/a=4.37114/0.097=45.0632990$。我们求出的值给出 $20.56837624+2.19090211=22.75927835$，以及 $20.56837624\times 2.19090211=45.06329897$，两个根都正确。