把 f² − 16g² + 24gh − 9h² 彻底分解因式。

Step-by-step solution

1. 1

   在后三项里找隐藏的完全平方。 把它们单独拿出来并提出 $-1$：

   $-16g^2+24gh-9h^2=-\left(16g^2-24gh+9h^2\right)$

   括号里 $16g^2=(4g)^2$，$9h^2=(3h)^2$，中间项也恰好等于 $2(4g)(3h)=24gh$——所以它是一个完全平方 $(4g-3h)^2$。

2. 2

   把整个式子改写成两个平方之差。

   $f^2-16g^2+24gh-9h^2=f^2-(4g-3h)^2$

   之所以按 $3+1$ 而不是 $2+2$ 分组，正是因为这三项能凑成一个平方，而 $f^2$ 自己就是另一个平方。

3. 3

   套用 $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，其中 $a=f$，$b=4g-3h$：

   $f^2-(4g-3h)^2=\bigl[f-(4g-3h)\bigr]\bigl[f+(4g-3h)\bigr]$

4. 4

   去掉里层括号，留意符号。

   $f-(4g-3h)=f-4g+3h,\qquad f+(4g-3h)=f+4g-3h$

   注意第一个括号里两个符号都要变——最典型的失手就是写成 $f-4g-3h$。

5. 5

   展开回去并代数值检验。 $(f-4g+3h)(f+4g-3h)=f^2-(4g-3h)^2=f^2-16g^2+24gh-9h^2$ ✓。取 $f=5$、$g=1$、$h=1$：原式为 $25-16+24-9=24$，而 $(5-4+3)(5+4-3)=4\cdot 6=24$ ✓。两个括号都不能再分解，所以分解已经彻底。