设 a > 0，b > 0，且 2a + b = 1，求 a/(2 − 2a) + b/(2 − b) 的最小值。

Step-by-step solution

1. 1

   先消元，再把定义域定下来。 由约束条件得 $b=1-2a$，而 $a>0,\ b>0$ 迫使

   $0<a<\tfrac12$

   在这个区间上 $2-2a\in(1,2)$、$2-b=1+2a\in(1,2)$，两个分母都保持为正，$T$ 是连续的。代入后得

   $T(a)=\frac{a}{2(1-a)}+\frac{1-2a}{1+2a}$

2. 2

   对两项分别求导。 第一项用商的求导法则，分子是 $1\cdot 2(1-a)-a\cdot(-2)=2$，所以

   $\frac{d}{da}\left[\frac{a}{2(1-a)}\right]=\frac{2}{4(1-a)^2}=\frac{1}{2(1-a)^2}$

   第二项的分子是 $(-2)(1+2a)-(1-2a)(2)=-4$，所以

   $\frac{d}{da}\left[\frac{1-2a}{1+2a}\right]=\frac{-4}{(1+2a)^2}$

   第一项递增、第二项递减，这正是内部存在最小值的原因。

3. 3

   令导数为零并求解。

   $\frac{1}{2(1-a)^2}=\frac{4}{(1+2a)^2}\quad\Longrightarrow\quad (1+2a)^2=8(1-a)^2$

   在 $0<a<\frac12$ 上 $1+2a$ 与 $1-a$ 都为正，所以两边取正的平方根：

   $1+2a=2\sqrt{2}\,(1-a)\quad\Longrightarrow\quad a\left(2+2\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2}-1$

   $a=\frac{2\sqrt{2}-1}{2+2\sqrt{2}}=\frac{5-3\sqrt{2}}{2}\approx 0.378680$

   （最后一步是分子分母同乘 $\sqrt{2}-1$，用到了 $(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)=1$。）于是 $b=1-2a=3\sqrt{2}-4\approx 0.242641>0$，这个驻点是允许的。

4. 4

   把两项分别化成精确形式。 由 $1-a=\frac{3(\sqrt{2}-1)}{2}$，

   $\frac{a}{2-2a}=\frac{5-3\sqrt{2}}{6(\sqrt{2}-1)}=\frac{(5-3\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}{6}=\frac{2\sqrt{2}-1}{6}$

   又由 $2-b=6-3\sqrt{2}$，

   $\frac{b}{2-b}=\frac{3\sqrt{2}-4}{3(2-\sqrt{2})}=\frac{(3\sqrt{2}-4)(2+\sqrt{2})}{6}=\frac{\sqrt{2}-1}{3}$

5. 5

   相加，并确认它就是最小值。

   $T_{\min}=\frac{2\sqrt{2}-1}{6}+\frac{2\sqrt{2}-2}{6}=\frac{4\sqrt{2}-3}{6}\approx 0.442809$

   再看开区间两端：当 $a\to 0^{+}$ 时 $T\to 1$；当 $a\to\tfrac12^{-}$ 时 $T\to\tfrac12$。两者都大于 $0.4428$，所以这个内部驻点就是全局最小值。

6. 6

   当心两个很有诱惑力的错误答案。 代入看起来很“对称”的 $a=b=\frac13$，得 $\frac14+\frac15=\frac{9}{20}=0.45$，接近但并不是最小值——$a=b$ 并没有以均衡的方式满足这个带权重的约束。而 $\frac15=0.2$ 在这里根本不可能取到，因为在整个 $0<a<\frac12$ 上 $T$ 都不会低于 $\frac{4\sqrt{2}-3}{6}\approx 0.4428$。精确的最小值就是 $\frac{4\sqrt{2}-3}{6}$。