若 (x + 1)³ + (x − 2)³ − 2x²(x − 1.5) = 3，求 x。

Step-by-step solution

1. 1

   用二项式公式把两个立方展开。 利用 $(x+b)^3=x^3+3bx^2+3b^2x+b^3$：

   $(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1$

   $(x-2)^3=x^3-6x^2+12x-8$

   第二个才是符号要当心的地方：$3(-2)^2=12$ 是正的，而 $3(-2)=-6$ 与 $(-2)^3=-8$ 都是负的。

2. 2

   把两式相加。

   $(x+1)^3+(x-2)^3=2x^3-3x^2+15x-7$

3. 3

   展开被减掉的那个乘积。

   $2x^2\left(x-1.5\right)=2x^3-3x^2$

   注意 $1.5=\tfrac32$，所以 $2x^2\cdot\tfrac32=3x^2$ —— 这个小数只是把一个干净分数伪装了一下。

4. 4

   相减，看次数如何塌缩。

   $\left(2x^3-3x^2+15x-7\right)-\left(2x^3-3x^2\right)=15x-7$

   三次项和二次项都被消掉了，这正是这道题的用意：系数 $1.5$ 就是为了干掉 $x^2$ 项而挑的。

5. 5

   求解并验证。

   $15x-7=3\;\Longrightarrow\;15x=10\;\Longrightarrow\;x=\frac{2}{3}$

   代回检验：$\left(\tfrac53\right)^3+\left(-\tfrac43\right)^3-2\cdot\tfrac49\left(\tfrac23-\tfrac32\right)=\tfrac{125}{27}-\tfrac{64}{27}+\tfrac{8}{9}\cdot\tfrac{5}{6}=\tfrac{61}{27}+\tfrac{20}{27}=\tfrac{81}{27}=3\;\checkmark$