把 2x + x² − 1 写成标准形式，并解方程 2x + x² − 1 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先重排成标准形式。 标准形式按次数从高到低排列各项，而这正是所有二次方程解法的前提：

   $2x+x^{2}-1=x^{2}+2x-1$

   于是 $a=1$，$b=2$，$c=-1$。重排丝毫不改变式子的值 —— 加法满足交换律 —— 但它能避免把 $2$ 误读成二次项系数。

2. 2

   先看能不能整数分解，然后放弃这条路。 需要两个整数，乘积为 $-1$、和为 $2$；而 $-1$ 的整数因数对只有 $(1,-1)$，其和是 $0$。所以不存在整数分解，两根是无理数。

3. 3

   配方 —— 当 $b$ 是偶数时比套公式更快。 $b=2$ 的一半是 $1$，于是

   $x^{2}+2x-1=(x+1)^{2}-1-1=(x+1)^{2}-2$

   令它等于零就得到 $(x+1)^{2}=2$，这个形式一眼就能解出来。

4. 4

   两边开平方，两个符号都要留。

   $x+1=\pm\sqrt{2}\qquad\Longrightarrow\qquad x=-1\pm\sqrt{2}$

5. 5

   用求根公式交叉验证。

   $x=\frac{-2\pm\sqrt{4+4}}{2}=\frac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}\ \checkmark$

   （这里用到 $\sqrt{8}=2\sqrt2$，于是那个 $2$ 约掉了。）韦达定理也能确认：两根之和为 $-2=-b/a$ ✓，两根之积为 $1-2=-1=c/a$ ✓。数值上 $x\approx0.4142$ 与 $x\approx-2.4142$，残差低于 $10^{-12}$ ✓。