解方程：(x² − 6x + 1) 的平方根等于 5 − 2x。

Step-by-step solution

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   先写清任何解都必须满足的两个条件。 右边必须非负，即 $5-2x\ge0$，也就是 $x\le\tfrac52$；被开方式也必须非负，即 $x^2-6x+1\ge0$，也就是 $x\le 3-2\sqrt2$ 或 $x\ge 3+2\sqrt2$。两条都是必要条件，所以候选解只可能落在 $x \le 3-2\sqrt2 \approx 0.1716$ 之中。

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   两边平方。 $x^2-6x+1 = (5-2x)^2 = 25-20x+4x^2.$

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   整理成标准形式。 把所有项移到一边：$0 = 25-20x+4x^2-x^2+6x-1 = 3x^2-14x+24.$

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   算判别式。 $\Delta = (-14)^2-4(3)(24) = 196-288 = -92 < 0.$ 判别式为负，说明这个二次式根本没有实根。

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   下结论。 既然连平方后的方程都没有实数解，原来的无理方程自然没有实数解。也就没有候选值需要再拿定义域条件去筛了。

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   再用一个具体值粗查一下。 取 $x=0$（它同时满足两个定义域条件），左边是 $\sqrt{1}=1$，右边是 $5$；而 $x$ 越往小走，右边涨得比根号那一边更快，所以两条曲线永远碰不到一起。