用综合除法计算 x^3 - 4x^2 + x + 6 除以 x + 1，再据此把这个三次式完全因式分解。

Step-by-step solution

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   先把 $x+1$ 改写成 $x-c$ 的形式。 综合除法左上角那个数永远是除式的零点，所以动手之前先改写：

   $x+1=x-(-1)\;\Longrightarrow\; c=-1$

   碰到这种除式，写成 $+1$ 是最常犯的一个错。余数定理正好当安全网用：表格算出来的结果必须等于 $f(-1)=-1-4-1+6=0$。

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   把系数列出来。 $x^3-4x^2+x+6$ 里四个次数一个不缺，所以首行是

   $1,\;-4,\;1,\;6$

   正负号要跟着系数走，而不是跟着运算走；符号的记账本来就是这张表替你自动完成的。

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   逐列乘以 $-1$ 再相加。

   $\begin{array}{r|rrrr}-1 & 1 & -4 & 1 & 6\\ & & -1 & 5 & -6\\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0\end{array}$

   一步步来：$1\cdot(-1)=-1$，$-4+(-1)=-5$；接着 $-5\cdot(-1)=5$，$1+5=6$；再 $6\cdot(-1)=-6$，$6+(-6)=0$。乘以一个负的 $c$ 会让中间那一行的符号正负交替，这本身就是个方便的目测检查。

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   读出商和余数。 次数降一次，底行的 $1,-5,6,0$ 意味着

   $\text{商}=x^2-5x+6,\qquad \text{余数}=0$

   于是 $x^3-4x^2+x+6=(x+1)(x^2-5x+6)$。

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   把二次的商也分解掉，收尾。 商 $x^2-5x+6$ 需要找两个数，乘积为 $6$、和为 $-5$，也就是 $-2$ 和 $-3$：

   $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$

   于是完全因式分解和三个根是

   $x^3-4x^2+x+6=(x+1)(x-2)(x-3),\qquad x=-1,\,2,\,3$

   检查常数项：$(1)(-2)(-3)=6\;\checkmark$，与原三次式里的 $+6$ 对得上。