用综合除法计算 x³ + 3x² − 6x − 8 除以 x − 1，写出商和余数，并判断 x − 1 是不是它的因式。

Step-by-step solution

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   取 $c=1$ 列式。 由 $x-1=x-(1)$ 知左上角的数是 $c=1$，系数行为

   $1,\;3,\;-6,\;-8$

   动手除之前，先用余数定理把余数预测出来：$f(1)=1+3-6-8=-10$。事先知道答案，表格就从「凭空一跃」变成了一次核对。

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   走一遍「乘一次、加一次」。 因为 $c=1$，乘法这一步几乎不用算，正好方便看清整个机制：

   $\begin{array}{r|rrrr}1 & 1 & 3 & -6 & -8\\ & & 1 & 4 & -2\\ \hline & 1 & 4 & -2 & -10\end{array}$

   先把 $1$ 落下来；$1\cdot 1=1$，$3+1=4$；$4\cdot 1=4$，$-6+4=-2$；$-2\cdot 1=-2$，$-8+(-2)=-10$。

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   把最后一行拆成商和余数。 末位的 $-10$ 是余数；前三个是商的系数，商的次数是 $2$：

   $\text{商}=x^2+4x-2,\qquad \text{余数}=-10$

   它与先前预测的 $f(1)=-10$ 一致，说明算术没出错。

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   写出带余除法式。 任何一次多项式除法都能写成两种等价形式——带分式的混合式，或者「乘积加余数」的恒等式：

   $\frac{x^3+3x^2-6x-8}{x-1}=x^2+4x-2-\frac{10}{x-1}$

   $x^3+3x^2-6x-8=(x-1)(x^2+4x-2)-10$

   要验算就用第二种，因为它里面没有分式。

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   回答因式的问题并加以确认。 余数是 $-10\ne 0$，由因式定理可知 $x-1$ 不是因式，$x=1$ 也不是根。把恒等式展开，两个数都能对上：

   $(x-1)(x^2+4x-2)=x^3+4x^2-2x-x^2-4x+2=x^3+3x^2-6x+2$

   而 $x^3+3x^2-6x+2-10=x^3+3x^2-6x-8\;\checkmark$。如果真要找根，应该去试 $8$ 的各个约数；这里 $f(1)\ne 0$ 只是把 $x=1$ 排除掉而已。