因式分解 x⁴ − x² + 1/4。

Step-by-step solution

1. 1

   把 $x^2$ 当作要处理的变量。 式子里只出现偶次幂，而且 $x^4=\left(x^2\right)^2$，所以它其实是关于 $u=x^2$ 的二次式：

   $u^2-u+\frac14$

2. 2

   常数是分数，照样核对完全平方的模式。 $\tfrac14=\left(\tfrac12\right)^2$，而中间那一项应当等于 $-2ab$：

   $-2\cdot u\cdot\frac12=-u$

   正好对上。常数是分数并不妨事——这个恒等式在任何数域上都成立。

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   写成平方，再换回原来的字母。

   $u^2-u+\frac14=\left(u-\frac12\right)^2\quad\Longrightarrow\quad x^4-x^2+\frac14=\left(x^2-\frac12\right)^2$

4. 4

   再判断要不要继续分下去。 在实数范围内，可以把 $x^2-\tfrac12$ 按平方差再拆：

   $\left(x-\tfrac{1}{\sqrt2}\right)^2\left(x+\tfrac{1}{\sqrt2}\right)^2$

   但在有理数范围内，$\left(x^2-\tfrac12\right)^2$ 就是最终结果了，因为 $\tfrac12$ 不是有理数的平方。

5. 5

   代数验证。 取 $x=2$：原式为 $16-4+0.25=12.25$，而 $\left(4-0.5\right)^2=3.5^2=12.25$ $\checkmark$。