解三次方程 20.2x³ − 80.8x² + 60.6 = 0，给出三个根的精确值和小数值。

Step-by-step solution

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   先去掉小数再约简。 两边乘以 $10$ 得 $202x^{3}-808x^{2}+606=0$，各项系数都是偶数，于是再除以 $2$：

   $101x^{3}-404x^{2}+303=0.$

   注意方程里没有 $x$ 的一次项——它的系数是 $0$，后面做除法时必须记住这一点。从这里开始全是整数运算，有理根的试根就是精确的而不是近似的。

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   找出有理根。 系数呈现出很有提示性的规律，全是 $101$ 的倍数：$101$、$-404=-4\cdot101$、$303=3\cdot101$。试 $x=1$：

   $101-404+303=0 ✓,$

   所以 $x=1$ 是根，$(x-1)$ 整除这个三次式。这就是先约简的好处：试根只要一行心算。

3. 3

   除掉因式 $(x-1)$。 对系数 $101,\;-404,\;0,\;303$ 以根 $1$ 作综合除法，得到 $101,\;-303,\;-303$，余数为 $0$：

   $101x^{3}-404x^{2}+303=(x-1)\left(101x^{2}-303x-303\right).$

   缺失的 $x$ 一次项必须在除法那一行补上 $0$；漏掉它会让后面每个系数都错位，整个结果就废了。

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   解这个二次方程并化简根式。 对 $101x^{2}-303x-303=0$，

   $\Delta=303^{2}+4(101)(303)=91809+122412=214221.$

   这个判别式确实能化简：$214221=101^{2}\times 21$，所以 $\sqrt{214221}=101\sqrt{21}$。于是

   $x=\frac{303\pm101\sqrt{21}}{202}=\frac{101\left(3\pm\sqrt{21}\right)}{202}=\frac{3\pm\sqrt{21}}{2}.$

   公因数 $101$ 被彻底约掉了——原来整个三次式不过是 $101$ 乘上一个很简单的式子。

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   给出小数值并验算。 取 $\sqrt{21}\approx4.58258$，

   $x=1,\qquad x\approx 3.791288,\qquad x\approx -0.791288.$

   把三个根分别代回 $20.2x^{3}-80.8x^{2}+60.6$，结果在 $10^{-13}$ 以内都是 $0$ ✓。韦达定理也对得上：三根之和为 $1+3=4=\tfrac{404}{101}$ ✓，三根之积为 $1\cdot\frac{9-21}{4}=-3=-\tfrac{303}{101}$ ✓。