化简 (a − 2b)² + 8ab。

Step-by-step solution

1. 1

   先把平方展开。 用 $(p-q)^2=p^2-2pq+q^2$，取 $p=a$、$q=2b$：

   $(a-2b)^2=a^2-2(a)(2b)+(2b)^2=a^2-4ab+4b^2$

2. 2

   加上单独的那一项，再合并同类项。 只有 $ab$ 项之间会互相作用：

   $a^2-4ab+4b^2+8ab=a^2+4ab+4b^2$

   因为 $-4ab+8ab=4ab$。

3. 3

   认出这个结果是完全平方。 现在 $a^2$、$4b^2=(2b)^2$ 以及中间项 $2\cdot a\cdot 2b=4ab$ 全都对上了「和的平方」的形状：

   $a^2+4ab+4b^2=(a+2b)^2$

4. 4

   说清背后的结构性原因。 两个平方式 $(a\pm 2b)^2$ 恰好相差 $2\cdot 2\cdot(a)(2b)=8ab$：

   $(a+2b)^2-(a-2b)^2=8ab$

   所以给「差的平方」加上 $8ab$，必然得到「和的平方」。这个恒等式就是本题背后的一般事实。

5. 5

   做数值核对。 取 $a=3$、$b=1$：原式为 $(3-2)^2+24=1+24=25$，而 $(3+2)^2=25$ $\checkmark$。