解 0.2 * 0.2 * x^6 + (1 + 0.2 * 0.2) x^4 + x^2 - 4 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先把小数系数算简。 由 $0.2\times 0.2=0.04$、$1+0.04=1.04$，方程就是

   $0.04x^{6}+1.04x^{4}+x^{2}-4=0$

2. 2

   两边乘 25 去掉小数。 因为 $25\times 0.04=1$、$25\times 1.04=26$：

   $x^{6}+26x^{4}+25x^{2}-100=0$

   改用整数运算，后面求根时就不会有舍入误差累积的风险。

3. 3

   换元 $y=x^{2}$ —— 式中只出现偶次幂。 由 $x^{6}=y^{3}$、$x^{4}=y^{2}$：

   $y^{3}+26y^{2}+25y-100=0$

   次数从六降到三，而且关键在于 $y=x^{2}\ge 0$，所以只有非负的根 $y$ 才能给出实数 $x$。

4. 4

   先试有理根，再转数值方法。 候选 $\pm1,\pm2,\pm4,\pm5,\pm10,\pm20,\pm25,\pm50,\pm100$ 全都不成 —— 例如 $y=1$ 给出 $-48$，$y=2$ 给出 $+62$。于是 $1$ 与 $2$ 之间的变号就把那个唯一的正根定了位，它只能用数值方法求。

5. 5

   把正根算准。 对 $f(y)=y^{3}+26y^{2}+25y-100$ 从 $y=1.5$ 出发做牛顿迭代，收敛到

   $y=1.5056857750$

   这里的验证很要紧：$f(1.5056858)=0.0000027$，而附近一个错误的值比如 $y=1.417075$ 会给出 $f=-9.5$，离零差得远。另外两个根 $y\approx-2.6747$ 与 $y\approx-24.8310$ 都是负的，给不出实数 $x$。

6. 6

   换回 $x$。 由 $x^{2}=1.5056857750$，

   $x=\pm\sqrt{1.5056857750}=\pm 1.2270638838$

   代回检验：$0.04(1.22706)^{6}+1.04(1.22706)^{4}+(1.22706)^{2}-4=-0.000042$ ✓。这个六次方程恰有两个实根和四个复根。