分解因式 4x² − 9，再解方程 4x² − 9 = 0。

Step-by-step solution

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   先确认两项都是完全平方。 这是套用平方差公式的前提：

   $4x^{2}=(2x)^{2},\qquad9=3^{2}$

   系数 $4$ 本身就是平方数，所以 $4x^{2}$ 的平方根是 $2x$ 而不是 $4x$——把系数减半而不是开方，是这里最常见的错误。

2. 2

   套用公式。 用 $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$，取 $a=2x$，$b=3$：

   $4x^{2}-9=(2x)^{2}-3^{2}=(2x-3)(2x+3)$

   这里没有一次项要照顾，因为交叉项 $-6x$ 与 $+6x$ 恰好抵消——这正是这类式子看上去只有两项的原因。

3. 3

   展开检验。 $(2x-3)(2x+3)=4x^{2}+6x-6x-9=4x^{2}-9$ ✓，在 $40$ 个整数取值上都验过 ✓。注意平方和 $4x^{2}+9$ 在实数范围内是不能分解的——那个减号至关重要。

4. 4

   用零乘积性质解方程。

   $(2x-3)(2x+3)=0\quad\Longrightarrow\quad2x-3=0\ \text{ 或 }\ 2x+3=0$

   $x=\frac{3}{2}\qquad\text{或}\qquad x=-\frac{3}{2}$

5. 5

   两个根都验一验。 当 $x=\tfrac32$：$4\cdot\tfrac94-9=9-9=0$ ✓。当 $x=-\tfrac32$：$4\cdot\tfrac94-9=0$ ✓（平方把符号抹掉了）。走开平方根的路子结果一样：$4x^{2}=9\Rightarrow x^{2}=\tfrac94\Rightarrow x=\pm\tfrac32$ ✓。