解齐次方程组 x + 2y − 2z = 0，2x − y + z = 0，3x + y − z = 0。

Step-by-step solution

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   先注意零解总是存在的。 每个方程右端都是 $0$，所以 $(0,0,0)$ 自动是解。真正值得问的是还有没有别的解——而这恰好在三个方程线性相关时才会发生。

2. 2

   把第 2、3 式相加，一次消掉两个变量。 $-y$ 与 $+y$ 相消，$+z$ 与 $-z$ 也相消：

   $(2x-y+z)+(3x+y-z)=5x=0\;\Longrightarrow\;x=0.$

   这种配对值得留心：因为第 2、3 式的 $y$、$z$ 系数恰好相反，一次相加就消掉了两个变量。

3. 3

   把 $x=0$ 代回其余方程。 第 2 式变成 $-y+z=0$，即 $z=y$。第 1 式变成 $2y-2z=0$，还是 $y=z$——是同一个条件，并非新条件。这种重复正是方程组相关的代数特征：三个方程其实只给出两个独立约束。

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   把解集参数化。 由于 $x=0$，而 $y$ 与 $z$ 只能同步变动，令 $y=z=t$：

   $(x,y,z)=(0,t,t),\qquad t\in\mathbb{R}.$

   从几何上看，三个平面都包含由 $(0,1,1)$ 张成的那条直线，所以它们交于一条直线，而不是一个点。

5. 5

   用行列式和代入两头验证。 按第一行展开，

   $\begin{vmatrix}1&2&-2\\2&-1&1\\3&1&-1\end{vmatrix}=1(1-1)-2(-2-3)-2(2+3)=0+10-10=0,$

   这印证了必然存在非零解。再验算 $(0,1,1)$：$0+2-2=0$ ✓，$0-1+1=0$ ✓，$0+1-1=0$ ✓。